引导学生触摸数学的本质

李军

当前的数学课堂教学中普遍存在着重“形式”轻“本质”的现象，较少引导学生思考和探究数学知识的本源，这不能不引起重视。下面以《用数对确定位置》一课为例，谈谈如何引导学生触摸数学的本质。

笔者听过该内容的课堂教学，几乎都是一种模式。首先从座位表引入，座位表中讲台位于最下方，这样学生从前往后数正好对应着座位表中从下往上的方向，与坐标系中的纵轴方向一致。然后在教师的引导和要求下，采用统一的说法即第几列第几行（或第几组第几个）来描述位置。接着教师提问：“第3列第2行能否更简单地表示？”于是学生开始了各种创造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教师会组织大家小组讨论体会“数对用逗号隔开，外加一个括号”的合理性和优越性。

笔者认为，教师的提问有些牵强，缺少必要的解释和说明，仅凭3和2怎么能确定位置呢？“从左往右数第3列，从下往上数第2行”与“3，2”提供的信息量并不对称。问题同样缺少探索性，为了简洁必然要舍弃一些内容，而3和2是必须留下的，所以意义不大。

【思考】

课堂教学应给学生提供自主建构的机会，而学生自主建构的关键是提高对数学知识的本质及规律的理性认识，即让学生能够触摸数学的本质。但在上述教学中，教师更多的是主动给予，学生被动接受。

首先，教师在不断追问中引出数对，这一过程中学生是被动的。学生在低年级学习“上下左右”等方位词时，如果说：“小明在第3个。”教师一定会追问：“是从左数第3个，还是从右数第3个？”让学生明白描述位置时方向的重要性。而用数对表示位置这种方法简洁吗？从学生思维的角度看，未必。对初学者来说，首先要克服习惯性思维，如先看列再看行，要从左往右，从下往上看。其次，许多规定如坐标轴的方向，数对的书写形式等对学生而言知道并记住这些规定就足够了。其实，用数对的形式表示位置关键不是强调简洁性，而是强调这种表示方法的统一性和结构性。

既然数对的形式不是知识的本质，那么什么是确定位置的本质？学生自主建构的点在哪里呢？

用数对确定位置的本质是一个数对对应着平面上唯一的一个点，最重要的是对“原点（参照点）、方向、单位”的感悟和体会，这就是中学数学所学的平面直角坐标系的三要素。在自然语言里，其本身就包含着参照点、方向、单位等要素，而从自然语言描述到用数对描述的前提是建立平面坐标系，目的只是使得这些要素和数实现分离。这二者之间更多的是联系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐标系，而是在用自然语言描述位置时就可以对这些要素进行体会。

数对确定位置，重点不在数对本身，而在于要实现用数对确定位置究竟需要确定哪些要素，这正好与笛卡尔思考的“如何实现点与数的对应”这个问题一致。把建立坐标系替换成制定规则，从规则中分解出坐标系的要素让学生体会，在最重要、最本质的问题上做文章，让学生经历着类似笛卡尔那样的思考，这才是让学生自主发现并建构的数学知识。

【践行】

无论是一维空间、二维空间还是三维空间，数与点之间的一一对应性是用数对确定位置的本质。小学阶段所学的“用数对确定位置”是用有序数对来刻画二维空间中某点的位置，即在二维直角坐标系（平面直角坐标系）中研究点的位置是如何用数对来描述的，它也具备坐标系的三要素。在唯一确定的直角坐标系下，一个有序数对就与平面上的某一个点建立了一一对应关系。

因此，课堂教学中所有的学习活动都需要以这种一一对应关系为前提和基础，有了数与点的一一对应，就便于沟通、交流和表达了。在教学中，笔者创设“砸金蛋”游戏情境，通过让生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根据生A的描述找出金蛋的位置。情境图从一排金蛋（一维空间）到多排金蛋（二维空间），学生描述从“文字描述”到后来的两人商量合作只用“两个数”来表示金蛋的位置。这一环节的教学旨在让学生先建构一维上的规定，再建构二维上的规定，从用文字描述到用两个数描述，重在让学生经历空间结构化、抽象化的过程，通过学生间的自定标准来描述对应的位置，在此过程中初步体会和感悟两人规定的必要性和合理性。没有花费更多的时间去让学生创造“数对”来描述位置，不去关注用两个数表示位置的外在形式。

随后，让学生用自己的规定来描述教室里同学的位置，在交流的过程中发现同一个数对竟然能表示几个学生，或者同一个学生可以用几个数对来表示，让学生在矛盾冲突中感受到统一规定的必要性和合理性，从而确定了用数对表示平面图上点的位置的顺序（先列再行）和方向（从左往右、从下往上）。

在规定了数对确定位置的顺序和方向后，通过比较两个点（1，5）（如下图1和图2）所在的位置，引导学生发现，还会出现同一个数对表示的点不同，或者同一个点不是同一个数对表示，从而进一步引发了学生的思考：用数对确定位置，除了规定顺序和方向外，还要规定图中的原点（参照点）（0，0）。这样的教学设计，让学生充分经历了结构化、抽象化的过程，并体会到数学规定的必要性和合理性，让学生经历了整个类似平面坐标系的形成过程，感悟到用数对确定位置的本质。

最后，也可以引入学生常见的魔方，让学生明白有时用两个数表示一个点的位置是不行的。从而使学生的认知由最初的一维空间向三维空间过渡，使得学生的思维有进一步拓展。

雅思贝尔斯指出：“全部教育的关键在于选择完美的教育内容和尽可能使学生之‘思不误入歧途，而是导向事物的本源。”关注数学本质，给学生一个有“根”的数学，以“再发现”的方式让数学思想、方法、精神根植于学生的数学学习，有助于促进教学方式和学习方式的根本性改变，使得学生有机会通过自己的发现获得新的数学知识、技能、方法及思想，在探究发现的过程中领悟数学的真谛，从而发展成为一个“具有数学思想和精神”的人。

（作者单位：江苏省泰州市许庄中心小学）

当前的数学课堂教学中普遍存在着重“形式”轻“本质”的现象，较少引导学生思考和探究数学知识的本源，这不能不引起重视。下面以《用数对确定位置》一课为例，谈谈如何引导学生触摸数学的本质。

笔者听过该内容的课堂教学，几乎都是一种模式。首先从座位表引入，座位表中讲台位于最下方，这样学生从前往后数正好对应着座位表中从下往上的方向，与坐标系中的纵轴方向一致。然后在教师的引导和要求下，采用统一的说法即第几列第几行（或第几组第几个）来描述位置。接着教师提问：“第3列第2行能否更简单地表示？”于是学生开始了各种创造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教师会组织大家小组讨论体会“数对用逗号隔开，外加一个括号”的合理性和优越性。

笔者认为，教师的提问有些牵强，缺少必要的解释和说明，仅凭3和2怎么能确定位置呢？“从左往右数第3列，从下往上数第2行”与“3，2”提供的信息量并不对称。问题同样缺少探索性，为了简洁必然要舍弃一些内容，而3和2是必须留下的，所以意义不大。

【思考】

课堂教学应给学生提供自主建构的机会，而学生自主建构的关键是提高对数学知识的本质及规律的理性认识，即让学生能够触摸数学的本质。但在上述教学中，教师更多的是主动给予，学生被动接受。

首先，教师在不断追问中引出数对，这一过程中学生是被动的。学生在低年级学习“上下左右”等方位词时，如果说：“小明在第3个。”教师一定会追问：“是从左数第3个，还是从右数第3个？”让学生明白描述位置时方向的重要性。而用数对表示位置这种方法简洁吗？从学生思维的角度看，未必。对初学者来说，首先要克服习惯性思维，如先看列再看行，要从左往右，从下往上看。其次，许多规定如坐标轴的方向，数对的书写形式等对学生而言知道并记住这些规定就足够了。其实，用数对的形式表示位置关键不是强调简洁性，而是强调这种表示方法的统一性和结构性。

既然数对的形式不是知识的本质，那么什么是确定位置的本质？学生自主建构的点在哪里呢？

用数对确定位置的本质是一个数对对应着平面上唯一的一个点，最重要的是对“原点（参照点）、方向、单位”的感悟和体会，这就是中学数学所学的平面直角坐标系的三要素。在自然语言里，其本身就包含着参照点、方向、单位等要素，而从自然语言描述到用数对描述的前提是建立平面坐标系，目的只是使得这些要素和数实现分离。这二者之间更多的是联系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐标系，而是在用自然语言描述位置时就可以对这些要素进行体会。

数对确定位置，重点不在数对本身，而在于要实现用数对确定位置究竟需要确定哪些要素，这正好与笛卡尔思考的“如何实现点与数的对应”这个问题一致。把建立坐标系替换成制定规则，从规则中分解出坐标系的要素让学生体会，在最重要、最本质的问题上做文章，让学生经历着类似笛卡尔那样的思考，这才是让学生自主发现并建构的数学知识。

【践行】

无论是一维空间、二维空间还是三维空间，数与点之间的一一对应性是用数对确定位置的本质。小学阶段所学的“用数对确定位置”是用有序数对来刻画二维空间中某点的位置，即在二维直角坐标系（平面直角坐标系）中研究点的位置是如何用数对来描述的，它也具备坐标系的三要素。在唯一确定的直角坐标系下，一个有序数对就与平面上的某一个点建立了一一对应关系。

因此，课堂教学中所有的学习活动都需要以这种一一对应关系为前提和基础，有了数与点的一一对应，就便于沟通、交流和表达了。在教学中，笔者创设“砸金蛋”游戏情境，通过让生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根据生A的描述找出金蛋的位置。情境图从一排金蛋（一维空间）到多排金蛋（二维空间），学生描述从“文字描述”到后来的两人商量合作只用“两个数”来表示金蛋的位置。这一环节的教学旨在让学生先建构一维上的规定，再建构二维上的规定，从用文字描述到用两个数描述，重在让学生经历空间结构化、抽象化的过程，通过学生间的自定标准来描述对应的位置，在此过程中初步体会和感悟两人规定的必要性和合理性。没有花费更多的时间去让学生创造“数对”来描述位置，不去关注用两个数表示位置的外在形式。

随后，让学生用自己的规定来描述教室里同学的位置，在交流的过程中发现同一个数对竟然能表示几个学生，或者同一个学生可以用几个数对来表示，让学生在矛盾冲突中感受到统一规定的必要性和合理性，从而确定了用数对表示平面图上点的位置的顺序（先列再行）和方向（从左往右、从下往上）。

在规定了数对确定位置的顺序和方向后，通过比较两个点（1，5）（如下图1和图2）所在的位置，引导学生发现，还会出现同一个数对表示的点不同，或者同一个点不是同一个数对表示，从而进一步引发了学生的思考：用数对确定位置，除了规定顺序和方向外，还要规定图中的原点（参照点）（0，0）。这样的教学设计，让学生充分经历了结构化、抽象化的过程，并体会到数学规定的必要性和合理性，让学生经历了整个类似平面坐标系的形成过程，感悟到用数对确定位置的本质。

最后，也可以引入学生常见的魔方，让学生明白有时用两个数表示一个点的位置是不行的。从而使学生的认知由最初的一维空间向三维空间过渡，使得学生的思维有进一步拓展。

雅思贝尔斯指出：“全部教育的关键在于选择完美的教育内容和尽可能使学生之‘思不误入歧途，而是导向事物的本源。”关注数学本质，给学生一个有“根”的数学，以“再发现”的方式让数学思想、方法、精神根植于学生的数学学习，有助于促进教学方式和学习方式的根本性改变，使得学生有机会通过自己的发现获得新的数学知识、技能、方法及思想，在探究发现的过程中领悟数学的真谛，从而发展成为一个“具有数学思想和精神”的人。

（作者单位：江苏省泰州市许庄中心小学）

当前的数学课堂教学中普遍存在着重“形式”轻“本质”的现象，较少引导学生思考和探究数学知识的本源，这不能不引起重视。下面以《用数对确定位置》一课为例，谈谈如何引导学生触摸数学的本质。

笔者听过该内容的课堂教学，几乎都是一种模式。首先从座位表引入，座位表中讲台位于最下方，这样学生从前往后数正好对应着座位表中从下往上的方向，与坐标系中的纵轴方向一致。然后在教师的引导和要求下，采用统一的说法即第几列第几行（或第几组第几个）来描述位置。接着教师提问：“第3列第2行能否更简单地表示？”于是学生开始了各种创造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教师会组织大家小组讨论体会“数对用逗号隔开，外加一个括号”的合理性和优越性。

笔者认为，教师的提问有些牵强，缺少必要的解释和说明，仅凭3和2怎么能确定位置呢？“从左往右数第3列，从下往上数第2行”与“3，2”提供的信息量并不对称。问题同样缺少探索性，为了简洁必然要舍弃一些内容，而3和2是必须留下的，所以意义不大。

【思考】

课堂教学应给学生提供自主建构的机会，而学生自主建构的关键是提高对数学知识的本质及规律的理性认识，即让学生能够触摸数学的本质。但在上述教学中，教师更多的是主动给予，学生被动接受。

首先，教师在不断追问中引出数对，这一过程中学生是被动的。学生在低年级学习“上下左右”等方位词时，如果说：“小明在第3个。”教师一定会追问：“是从左数第3个，还是从右数第3个？”让学生明白描述位置时方向的重要性。而用数对表示位置这种方法简洁吗？从学生思维的角度看，未必。对初学者来说，首先要克服习惯性思维，如先看列再看行，要从左往右，从下往上看。其次，许多规定如坐标轴的方向，数对的书写形式等对学生而言知道并记住这些规定就足够了。其实，用数对的形式表示位置关键不是强调简洁性，而是强调这种表示方法的统一性和结构性。

既然数对的形式不是知识的本质，那么什么是确定位置的本质？学生自主建构的点在哪里呢？

用数对确定位置的本质是一个数对对应着平面上唯一的一个点，最重要的是对“原点（参照点）、方向、单位”的感悟和体会，这就是中学数学所学的平面直角坐标系的三要素。在自然语言里，其本身就包含着参照点、方向、单位等要素，而从自然语言描述到用数对描述的前提是建立平面坐标系，目的只是使得这些要素和数实现分离。这二者之间更多的是联系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐标系，而是在用自然语言描述位置时就可以对这些要素进行体会。

数对确定位置，重点不在数对本身，而在于要实现用数对确定位置究竟需要确定哪些要素，这正好与笛卡尔思考的“如何实现点与数的对应”这个问题一致。把建立坐标系替换成制定规则，从规则中分解出坐标系的要素让学生体会，在最重要、最本质的问题上做文章，让学生经历着类似笛卡尔那样的思考，这才是让学生自主发现并建构的数学知识。

【践行】

无论是一维空间、二维空间还是三维空间，数与点之间的一一对应性是用数对确定位置的本质。小学阶段所学的“用数对确定位置”是用有序数对来刻画二维空间中某点的位置，即在二维直角坐标系（平面直角坐标系）中研究点的位置是如何用数对来描述的，它也具备坐标系的三要素。在唯一确定的直角坐标系下，一个有序数对就与平面上的某一个点建立了一一对应关系。

因此，课堂教学中所有的学习活动都需要以这种一一对应关系为前提和基础，有了数与点的一一对应，就便于沟通、交流和表达了。在教学中，笔者创设“砸金蛋”游戏情境，通过让生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根据生A的描述找出金蛋的位置。情境图从一排金蛋（一维空间）到多排金蛋（二维空间），学生描述从“文字描述”到后来的两人商量合作只用“两个数”来表示金蛋的位置。这一环节的教学旨在让学生先建构一维上的规定，再建构二维上的规定，从用文字描述到用两个数描述，重在让学生经历空间结构化、抽象化的过程，通过学生间的自定标准来描述对应的位置，在此过程中初步体会和感悟两人规定的必要性和合理性。没有花费更多的时间去让学生创造“数对”来描述位置，不去关注用两个数表示位置的外在形式。

随后，让学生用自己的规定来描述教室里同学的位置，在交流的过程中发现同一个数对竟然能表示几个学生，或者同一个学生可以用几个数对来表示，让学生在矛盾冲突中感受到统一规定的必要性和合理性，从而确定了用数对表示平面图上点的位置的顺序（先列再行）和方向（从左往右、从下往上）。

在规定了数对确定位置的顺序和方向后，通过比较两个点（1，5）（如下图1和图2）所在的位置，引导学生发现，还会出现同一个数对表示的点不同，或者同一个点不是同一个数对表示，从而进一步引发了学生的思考：用数对确定位置，除了规定顺序和方向外，还要规定图中的原点（参照点）（0，0）。这样的教学设计，让学生充分经历了结构化、抽象化的过程，并体会到数学规定的必要性和合理性，让学生经历了整个类似平面坐标系的形成过程，感悟到用数对确定位置的本质。

最后，也可以引入学生常见的魔方，让学生明白有时用两个数表示一个点的位置是不行的。从而使学生的认知由最初的一维空间向三维空间过渡，使得学生的思维有进一步拓展。

雅思贝尔斯指出：“全部教育的关键在于选择完美的教育内容和尽可能使学生之‘思不误入歧途，而是导向事物的本源。”关注数学本质，给学生一个有“根”的数学，以“再发现”的方式让数学思想、方法、精神根植于学生的数学学习，有助于促进教学方式和学习方式的根本性改变，使得学生有机会通过自己的发现获得新的数学知识、技能、方法及思想，在探究发现的过程中领悟数学的真谛，从而发展成为一个“具有数学思想和精神”的人。

（作者单位：江苏省泰州市许庄中心小学）