“倒数的认识”教学设计

陆李华

教材简析：

“倒数的认识”是分数乘法单元的最后一节，它既是分数乘法计算的后继内容，又是学习分数除法的先决条件，具有承上启下的作用。这部分内容主要包括两部分知识：一是理解倒数的意义；二是掌握求一个数的倒数的方法。

教学过程：

一、忆“数”引新，揭题认标

师：同学们，我们每天都要和一个老朋友打交道，它就是“数”（板书：数）。大家回忆一下，我们都认识哪些数？

生：整数、小数和分数。

师：你们能分别举些例子吗？

（学生随意地说数，教师有选择地进行板书）

师：今天我们要学习一个新的知识——倒数。它和我们以前认识的这些数有什么不同？什么是倒数？怎么求一个数的倒数？

板书：不同？是什么？怎么求？

【设计意图】以“数”为引子，引导学生回忆以前认识的数，作用有两点：一是便于和倒数作比较；二是可作为求各种类型的倒数的素材。随后一连抛出三个问题：倒数与这些数有什么不同？什么是倒数？怎么求一个数的倒数？清晰到位的学习目标的呈现，使学生产生积极的学习心向。

二、自主学习，建构新知

师：让我们带着这3个问题展开自学，看一下学习单。

学习单

认真阅读教材，思考下列问题：

1.圈一圈。仔细读一读倒数的意义。你觉得哪个词特别重要？把它圈出来。

2.说一说。和互为倒数，还可以怎么说？

3.想一想。观察例题中互为倒数的两个数，你有什么发现？

4.写一写。试着写出和的倒数。

学生围绕学习单自主学习。

师：下面老师检查一下大家自学的情况。出示：

师：你同意他的说法吗？

生：他说的不对，必须乘积是1的两个数才互为倒数。

教师相机在“乘积”下面加着重号，同时板书：（ ）×（ ）=1

师：听了大家的建议，他改了一下，出示：

因为×=1，所以和互为倒数。

师：现在对吗？

生：对了！

师：和互为倒数，这句话怎么理解？

生：的倒数是，的倒数是。

师：哦！这就像我和你互为朋友，还可以怎么说？

生：我是你的朋友，你是我的朋友。

师：对！都表示一种相互之间的关系。（板书：关系）

师：下面我们来探讨“怎么求一个分数的倒数？”看一个具体的例子：的倒数是多少？

生：。

师：我们一起来验证一下。和的乘积是不是1？

老师发现有同学中间用“=”连接，你们觉得对吗？

生：不可以，是个真分数，是个假分数，怎么可能相等呢？

师：对！为了方便起见，我们可以用“→”表示的倒数是。

师：的倒数是多少？

生（齐）：。

师：好！现在老师给大家一组数，你能很快说出它们的倒数吗？

（学生开火车口答）

师：说得这么快，有窍门吗？

生：太简单了，只要把分子、分母调换一下位置。

【设计意图】学习单主要围绕两个方面进行设计：一是倒数意义的理解；二是通过观察，发现求一个分数的倒数的方法。自学后的交流引导学生更进一步、更深层次地探讨，明确两个数互为倒数的先决条件必须是“乘积是1”，再者理解“互为”倒数的两个数是相互依存的关系，使学生对倒数意义的理解更为清晰、明朗。

三、共同探究，深化认知

1.研究整数、小数的倒数。

师：好！真分数和假分数已经研究了，那整数、小数，它们的倒数怎么求呢？

（教师在黑板上从学生举的例题中分别挑一个数：10、0.2）

师：先独立思考，怎么求这两个数的倒数？

（学生独立研究）

师：下面小组里再商量一下，还可以再举一些例子，验证你们的想法。

（小组内交流想法）

师：哪个小组来汇报？

生1：我们组研究了整数，想到了两种方法。我来说第一种：10=，的倒数是。

师：能把新知转化成我们刚刚研究过的分数的形式，再去思考，很会学习！

生2：我们还想到了1÷10=。

师：大家能看明白吗？

生3：我知道，因为要求10的倒数，就想10×（ ）=1，即用1÷10=。

师：学习数学，就要善于从不同的角度去思考，你们小组很棒！

师：接下去哪组来汇报小数？

生1：我们组认为小数可以转化成分数，0.2=，的倒数是5。

生2：太麻烦了，可以直接用1÷0.2=5。

师：大家同意吗？

生：同意。

师：那我再给大家一个数：0.3，试着求它的倒数。

（生一致都用转化成分数的方法）

师：咦？怎么都不用第二种方法啦？

生：因为1除以0.3，除不尽。

师：看来这种方法有局限性，所以我们要学会灵活运用各种方法。

【设计意图】考虑到本课内容相对简单，同时为了满足不同层次学生的需要，把求倒数的范围从“分数”延伸至“整数、小数”，以独立思考与合作交流相结合，不断扩展认知，深化认识。

2.及时练习中探讨1和0的倒数。

师：好！掌握了方法，咱们来看一组数：25 0.9 1 0

（部分学生开始埋头写）

师：别急着动笔，咱们先来说。说说你最喜欢求哪个数的倒数，最不喜欢求哪个数的倒数。

生1：我最喜欢求的倒数，它的倒数就是。

生2：我最喜欢求1的倒数，它的倒数是1。

师：哦？你是怎么想的？

生2：因为1×1=1，所以1的倒数就是1。

（教师相机板书）

生3：我不喜欢求0的倒数，感觉好像没有。

生4：我觉得0的倒数还是0。

师：0到底有没有倒数呢？你有办法证明你的结论吗？

（思考片刻后……）

生1：因为0和任何数相乘都得0，不可能等于1。所以0没有倒数。

师：从倒数的意义去思考，很有说服力。

生2：我认为0是整数，所以0=，的倒数是，分母为0的时候，没有意义。

师：用求倒数的方法也证明了0没有倒数。

（教师相机板书）

【设计意图】求1和0的倒数，没有刻意安排，而是巧妙地穿插在轻松的练习中，学生在自主选择时，发现1的倒数就是1，而对0是否有倒数产生疑惑，在此基础上组织学生探讨，顺应了学生的学习需要，可谓水到渠成。

3.回顾反思，交流总结。

师：学到这儿，咱们回头看看学习和研究的过程，一开始的三个问题，心中都有答案了吗？同桌互相说说。

师：找到答案了吗？还有疑问吗？

（学生交流分享）

【设计意图】此环节很好地呼应了一开始提出的三个问题，通过回顾，不仅梳理了知识，完善了认知，同时培养了学生的元认知意识，也使学生体验到数学学习的成功感。

四、巩固练习，拓展延伸

1.将互为倒数的两个数用线连起来。

100

8 4

0.25

2.我来当小法官。

（1）a和b互为倒数，所以a×b=1。（ ）

（2）因为×=1，所以是倒数，也是倒数。

（ ）

（3）一个数的倒数总比这个数小。（ ）

（4）9的倒数是。（ ）

（5）0.49的倒数是0.94。（ ）

3.先观察下面每组数有什么共同特点，再看看它们的倒数有什么共同点。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引导学生发现规律：

（1）真分数的倒数都是大于1的假分数。

（2）大于1的假分数的倒数都是真分数。

（3）几分之一的倒数都是整数。

（4）非0自然数的倒数都是几分之一。

4.拓展延伸。

师：其实倒数的一些特点，还可以通过图像清楚地表示出来。

如果用列所在的位置表示原来的数，行所在的位置表示它的倒数。我们取一些特殊的点。把这些点连成一条线，就形成了这样一个倒数的图像。

师：仔细看看，从图中你能什么发现？

生：我发现当一个数越来越大，它的倒数就越来越小。

师：那反过来说呢？

生：当一个数越来越小，它的倒数就越来越大。

师：想象一下，这时候会形成怎样的图像？

（学生用手势表示图像的大致走势）

（出示另外半段图像）

师：和你想的一样吗？

生：一样。

师：继续看，你能从图像上读出“0没有倒数”吗？

生1：倒数的图像没有经过0这个点。

生2：我看到围成的每个小长方形的面积都是1，如果有一条边是0的话，就不可能组成长方形了。

师：真会观察，相信大家现在对倒数又有了更深的理解。

【设计意图】通过观察，引导学生发现：一个数越大，它的倒数就越小，一个数越小，它的倒数就越大。同时，从图像中再次感受到0没有倒数，使学生对倒数获得更为丰富的理解。

◇责任编辑：张 莹◇

生1：我最喜欢求的倒数，它的倒数就是。

生2：我最喜欢求1的倒数，它的倒数是1。

师：哦？你是怎么想的？

生2：因为1×1=1，所以1的倒数就是1。

（教师相机板书）

生3：我不喜欢求0的倒数，感觉好像没有。

生4：我觉得0的倒数还是0。

师：0到底有没有倒数呢？你有办法证明你的结论吗？

（思考片刻后……）

生1：因为0和任何数相乘都得0，不可能等于1。所以0没有倒数。

师：从倒数的意义去思考，很有说服力。

生2：我认为0是整数，所以0=，的倒数是，分母为0的时候，没有意义。

师：用求倒数的方法也证明了0没有倒数。

（教师相机板书）

【设计意图】求1和0的倒数，没有刻意安排，而是巧妙地穿插在轻松的练习中，学生在自主选择时，发现1的倒数就是1，而对0是否有倒数产生疑惑，在此基础上组织学生探讨，顺应了学生的学习需要，可谓水到渠成。

3.回顾反思，交流总结。

师：学到这儿，咱们回头看看学习和研究的过程，一开始的三个问题，心中都有答案了吗？同桌互相说说。

师：找到答案了吗？还有疑问吗？

（学生交流分享）

【设计意图】此环节很好地呼应了一开始提出的三个问题，通过回顾，不仅梳理了知识，完善了认知，同时培养了学生的元认知意识，也使学生体验到数学学习的成功感。

四、巩固练习，拓展延伸

1.将互为倒数的两个数用线连起来。

100

8 4

0.25

2.我来当小法官。

（1）a和b互为倒数，所以a×b=1。（ ）

（2）因为×=1，所以是倒数，也是倒数。

（ ）

（3）一个数的倒数总比这个数小。（ ）

（4）9的倒数是。（ ）

（5）0.49的倒数是0.94。（ ）

3.先观察下面每组数有什么共同特点，再看看它们的倒数有什么共同点。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引导学生发现规律：

（1）真分数的倒数都是大于1的假分数。

（2）大于1的假分数的倒数都是真分数。

（3）几分之一的倒数都是整数。

（4）非0自然数的倒数都是几分之一。

4.拓展延伸。

师：其实倒数的一些特点，还可以通过图像清楚地表示出来。

如果用列所在的位置表示原来的数，行所在的位置表示它的倒数。我们取一些特殊的点。把这些点连成一条线，就形成了这样一个倒数的图像。

师：仔细看看，从图中你能什么发现？

生：我发现当一个数越来越大，它的倒数就越来越小。

师：那反过来说呢？

生：当一个数越来越小，它的倒数就越来越大。

师：想象一下，这时候会形成怎样的图像？

（学生用手势表示图像的大致走势）

（出示另外半段图像）

师：和你想的一样吗？

生：一样。

师：继续看，你能从图像上读出“0没有倒数”吗？

生1：倒数的图像没有经过0这个点。

生2：我看到围成的每个小长方形的面积都是1，如果有一条边是0的话，就不可能组成长方形了。

师：真会观察，相信大家现在对倒数又有了更深的理解。

【设计意图】通过观察，引导学生发现：一个数越大，它的倒数就越小，一个数越小，它的倒数就越大。同时，从图像中再次感受到0没有倒数，使学生对倒数获得更为丰富的理解。

◇责任编辑：张 莹◇

生1：我最喜欢求的倒数，它的倒数就是。

生2：我最喜欢求1的倒数，它的倒数是1。

师：哦？你是怎么想的？

生2：因为1×1=1，所以1的倒数就是1。

（教师相机板书）

生3：我不喜欢求0的倒数，感觉好像没有。

生4：我觉得0的倒数还是0。

师：0到底有没有倒数呢？你有办法证明你的结论吗？

（思考片刻后……）

生1：因为0和任何数相乘都得0，不可能等于1。所以0没有倒数。

师：从倒数的意义去思考，很有说服力。

生2：我认为0是整数，所以0=，的倒数是，分母为0的时候，没有意义。

师：用求倒数的方法也证明了0没有倒数。

（教师相机板书）

【设计意图】求1和0的倒数，没有刻意安排，而是巧妙地穿插在轻松的练习中，学生在自主选择时，发现1的倒数就是1，而对0是否有倒数产生疑惑，在此基础上组织学生探讨，顺应了学生的学习需要，可谓水到渠成。

3.回顾反思，交流总结。

师：学到这儿，咱们回头看看学习和研究的过程，一开始的三个问题，心中都有答案了吗？同桌互相说说。

师：找到答案了吗？还有疑问吗？

（学生交流分享）

【设计意图】此环节很好地呼应了一开始提出的三个问题，通过回顾，不仅梳理了知识，完善了认知，同时培养了学生的元认知意识，也使学生体验到数学学习的成功感。

四、巩固练习，拓展延伸

1.将互为倒数的两个数用线连起来。

100

8 4

0.25

2.我来当小法官。

（1）a和b互为倒数，所以a×b=1。（ ）

（2）因为×=1，所以是倒数，也是倒数。

（ ）

（3）一个数的倒数总比这个数小。（ ）

（4）9的倒数是。（ ）

（5）0.49的倒数是0.94。（ ）

3.先观察下面每组数有什么共同特点，再看看它们的倒数有什么共同点。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引导学生发现规律：

（1）真分数的倒数都是大于1的假分数。

（2）大于1的假分数的倒数都是真分数。

（3）几分之一的倒数都是整数。

（4）非0自然数的倒数都是几分之一。

4.拓展延伸。

师：其实倒数的一些特点，还可以通过图像清楚地表示出来。

如果用列所在的位置表示原来的数，行所在的位置表示它的倒数。我们取一些特殊的点。把这些点连成一条线，就形成了这样一个倒数的图像。

师：仔细看看，从图中你能什么发现？

生：我发现当一个数越来越大，它的倒数就越来越小。

师：那反过来说呢？

生：当一个数越来越小，它的倒数就越来越大。

师：想象一下，这时候会形成怎样的图像？

（学生用手势表示图像的大致走势）

（出示另外半段图像）

师：和你想的一样吗？

生：一样。

师：继续看，你能从图像上读出“0没有倒数”吗？

生1：倒数的图像没有经过0这个点。

生2：我看到围成的每个小长方形的面积都是1，如果有一条边是0的话，就不可能组成长方形了。

师：真会观察，相信大家现在对倒数又有了更深的理解。

【设计意图】通过观察，引导学生发现：一个数越大，它的倒数就越小，一个数越小，它的倒数就越大。同时，从图像中再次感受到0没有倒数，使学生对倒数获得更为丰富的理解。

◇责任编辑：张 莹◇