“命题及其关系、充分条件与必要条件”考点复习及解题指导

洪其强

一、考点归纳

1. 命题

（1）用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.判断为真的为真命题，判断为假的为假命题.

（2）把一个命题表达为“若p，则q”的形式，则p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

2. 四种命题

（1）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命题.

（2）如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个叫做另一个的否命题.

（3）如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题.把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题.

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用劭p和劭q分别表示p和q的否定.于是四种命题的形式及关系为：

互为逆否的命题等价（同真同假），互逆（或互否）的两个命题的真假性没有关系.

“若p，则q”形式的命题为真命题时，记作“p圯q”.

3. 若p圯q，则p叫做q的充分条件；q叫做p的必要条件；如果p圳q，则p叫做q的充要条件.

4. 判断充要条件的方法：（1）定义法；（2）逆否法；（3）集合法.

逆否法：若劭A圯劭B，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若劭A圳劭B，则A与B互为充要条件.

集合法：从集合观点看，建立与命题p、q相应的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}，那么：若A哿B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.

二、题型解析

题型1. 四种命题及其关系

例1. 判断命题“若a≥0，则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.

分析：先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决.

解析：解法1：写出逆否命题，再判断其真假.

原命题：若a≥0，则x2+x-a=0有实根，

逆否命题：若x2+x-a=0无实根，则a<0，

判断如下：

∵ x2+x-a=0无实根，

∴ △=1+4a<0，∴ a<-<0，

∴“若x2+x-a=0无实根，则a<0”为真命题.

解法2：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假（即等价关系）证明.

∵ a≥0，∴ 4a≥0，∴ 4a+1>0，

∴方程x2+x-a=0的判别式△=4a+1>0，

∴方程x2+x-a=0有实根，

故原命题“若a≥0，则x2+x-a=0有实根”为真.

又因原命题与其逆否命题等价，

所以“若a≥0，则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.

例2. 下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②“a>b”与“a+c>b+c”不等价；③“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真. 其中说法不正确的序号是 .

分析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；

②由不等式的性质可知“a>b”与“a+c>b+c”等价，故②错误；

③“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故③错误；

④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性一致，故④正确.

答案：①②③.

点评：（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.（2）掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.

例3. 命题“若f（x）是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是 .

分析：原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f（x）是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是“若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数”.

答案：若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数.

点评：1. 命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.

2. 掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.

题型2. 充分条件与必要条件的判断

例4. “a=b”是“直线y=x+2与圆（x+a）2+（y+b）2=2相切”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

分析：若a=b则=，故相切；若=，则a=b或a-b-4=0，故选A.

答案：A

点评：要注意区分“A是B的充分条件”和“A是B的充分非必要条件”，若A圯B，则A是B的充分条件，若A圯B且BA，则A是B的充分非必要条件.

例5. 命题甲：“a、b、c成等差数列”， 命题乙：“+=2”，则甲是乙的（ ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件endprint

解析：∵ a=b=c=0，则a、b、c也成等差数列，但推不出+=2；反过来由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差数列.

综上所述，“a、b、c成等差数列”是“+=2”的必要不充分条件，故选A.

答案：A

点评：①若A是B的充要条件，则既有A圯B，又有B圯A.②充要条件判断中要特别注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，对数的底数、真数，直线方程中的斜率存在与不存在，等比数列中q=1与q≠1等等，注意各个定义、定理公式的限制条件.

例5. （1）设x∈R，则“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 则⊥的充要条件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集为{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故选A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

点评：充分条件、必要条件、充要条件的判定：

（1）定义法：①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p圯q”及“q圯p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论.

（2）等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.

题型3. 充分条件与必要条件的应用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要条件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

点评：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.

（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件.

题型4. 反证法

例7. 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论.

（2）写出其逆否命题，并证明你的结论.

分析：

解析：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0.它是成立的. 可用反证法证明它.

假设a+b<0，则a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命题为真.

（2）逆否命题是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，则a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上递增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，则a=-b， b=-a，由函数的定义知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

综上所述，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

点评：在本题（2）的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义.

例8. 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均为常数）至多有两个不等实数根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等词语的数学命题，常用反证法.

证明：假设方程ax2+bx+c=0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假设不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个不等实数根.

点评：1. 四种命题的真假判断：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

2. 用集合的观点来看充要条件：

设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有：

（1）若A哿B，则p是q的充分条件，若A芫B，则p是q的充分不必要条件；

（2）若B哿A，则p是q的必要条件，若B芫A，则p是q的必要不充分条件；

（3）若A=B，则p是q的充要条件；

（4）若A芫B，且B芫A，则p是q的既不充分也不必要条件.

三、注意事项

1. 否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词.

2. 原命题圯它的逆否命题，（原命题的否命题圳原命题的逆命题）因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题.

3. 若p圳q，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若p圳q，则p与q互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“圯”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用.对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明.但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键.

（作者单位：贵州省龙里中学）

责任编校 徐国坚

解析：∵ a=b=c=0，则a、b、c也成等差数列，但推不出+=2；反过来由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差数列.

综上所述，“a、b、c成等差数列”是“+=2”的必要不充分条件，故选A.

答案：A

点评：①若A是B的充要条件，则既有A圯B，又有B圯A.②充要条件判断中要特别注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，对数的底数、真数，直线方程中的斜率存在与不存在，等比数列中q=1与q≠1等等，注意各个定义、定理公式的限制条件.

例5. （1）设x∈R，则“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 则⊥的充要条件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集为{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故选A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

点评：充分条件、必要条件、充要条件的判定：

（1）定义法：①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p圯q”及“q圯p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论.

（2）等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.

题型3. 充分条件与必要条件的应用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要条件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

点评：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.

（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件.

题型4. 反证法

例7. 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论.

（2）写出其逆否命题，并证明你的结论.

分析：

解析：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0.它是成立的. 可用反证法证明它.

假设a+b<0，则a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命题为真.

（2）逆否命题是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，则a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上递增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，则a=-b， b=-a，由函数的定义知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

综上所述，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

点评：在本题（2）的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义.

例8. 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均为常数）至多有两个不等实数根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等词语的数学命题，常用反证法.

证明：假设方程ax2+bx+c=0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假设不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个不等实数根.

点评：1. 四种命题的真假判断：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

2. 用集合的观点来看充要条件：

设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有：

（1）若A哿B，则p是q的充分条件，若A芫B，则p是q的充分不必要条件；

（2）若B哿A，则p是q的必要条件，若B芫A，则p是q的必要不充分条件；

（3）若A=B，则p是q的充要条件；

（4）若A芫B，且B芫A，则p是q的既不充分也不必要条件.

三、注意事项

1. 否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词.

2. 原命题圯它的逆否命题，（原命题的否命题圳原命题的逆命题）因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题.

3. 若p圳q，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若p圳q，则p与q互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“圯”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用.对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明.但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键.

（作者单位：贵州省龙里中学）

责任编校 徐国坚

解析：∵ a=b=c=0，则a、b、c也成等差数列，但推不出+=2；反过来由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差数列.

综上所述，“a、b、c成等差数列”是“+=2”的必要不充分条件，故选A.

答案：A

点评：①若A是B的充要条件，则既有A圯B，又有B圯A.②充要条件判断中要特别注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，对数的底数、真数，直线方程中的斜率存在与不存在，等比数列中q=1与q≠1等等，注意各个定义、定理公式的限制条件.

例5. （1）设x∈R，则“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 则⊥的充要条件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集为{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故选A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

点评：充分条件、必要条件、充要条件的判定：

（1）定义法：①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p圯q”及“q圯p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论.

（2）等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.

题型3. 充分条件与必要条件的应用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要条件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

点评：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.

（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件.

题型4. 反证法

例7. 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论.

（2）写出其逆否命题，并证明你的结论.

分析：

解析：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0.它是成立的. 可用反证法证明它.

假设a+b<0，则a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命题为真.

（2）逆否命题是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，则a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上递增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，则a=-b， b=-a，由函数的定义知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

综上所述，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

点评：在本题（2）的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义.

例8. 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均为常数）至多有两个不等实数根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等词语的数学命题，常用反证法.

证明：假设方程ax2+bx+c=0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假设不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个不等实数根.

点评：1. 四种命题的真假判断：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

2. 用集合的观点来看充要条件：

设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有：

（1）若A哿B，则p是q的充分条件，若A芫B，则p是q的充分不必要条件；

（2）若B哿A，则p是q的必要条件，若B芫A，则p是q的必要不充分条件；

（3）若A=B，则p是q的充要条件；

（4）若A芫B，且B芫A，则p是q的既不充分也不必要条件.

三、注意事项

1. 否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词.

2. 原命题圯它的逆否命题，（原命题的否命题圳原命题的逆命题）因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题.

3. 若p圳q，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若p圳q，则p与q互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“圯”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用.对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明.但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键.

（作者单位：贵州省龙里中学）

责任编校 徐国坚