我的肯定，唤回了学生的自信

廖支斌

那是一次令人难忘的学生解题板演，虽然已过去好多年，但至今仍记忆犹新，情景历历在目.题目是：已知双曲线的方程为x■-■=1，以B（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，说明理由.

甲同学的解法：假设以B（1，1）为中点的弦存在，设该弦所在的直线方程为：y=k（x-1）+1，联立方程组y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因为直线与双曲线相交于不同两点，设两点为A（x■，y■），B（x■，y■），

则3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中点，则■=■=1？圯k=3但不满足（*），故以B（1，1）为中点的弦不存在.

乙同学的解法：假设以B（1，1）为中点的弦存在，设弦为AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），则x■■-■=1，x■■-■=1，两式相减，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由题设知x■≠x■，又∵B（1，1）为弦AB的中点，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程为3x-y-2=0.

板演结束，我与同学们进行了对话：

教师：两种答案摆在了同学们面前，哪位同学的解答正确呢？

学生（异口同声地）说：甲（这时，我看到乙同学的头慢慢低了下去）.我及时调节课堂气氛，将问题抛给学生.

教师：哪位同学的解法简捷呢？

学生：面面相觑，但仍然肯定了乙同学的解法（这时乙同学的头又抬起来了），但不知所以然；有的在揣摩老师的意图，但也是一脸茫然；有的在嘀咕，错了还讲什么简捷？

教师：是啊，错了，还谈什么简捷！学生哗然哄笑.

教师：乙同学的解法的确简捷，但错在哪里呢？将问题再次抛给学生.学生分小组研究讨论……

过了一会，丙同学站起来说：我按乙同学得的k■=3可得直线方程3x-y-2=0，联立方程组得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直线3x-y-2=0与双曲线x■-■=1无交点，故以点B（1，1）为中点的弦不存在.（一片掌声）但有的学生还是不太理解.

教师：能给出直观解释吗？这时丁同学上讲台一边画图，一边进行了解释：直线与双曲线没有交点，当然就不存在以B（1，1）为中点的弦.这时，我就抓住难得锻炼学生思维的契机，提出：将点改为A（2，1），以A为中点的弦存在吗？请同学们用乙同学的解法并结合丙同学的补充尝试一下.很快，大家都得到了正确答案，以A为中点的弦存在，为6x-y-11=0.

教师：一般对于点在曲线开口内时，以此点为中点的弦存在，但对于点在双曲线的外部（不含焦点的区域）时的弦有可能不存在，因此，对于求得的直线要进行检验.

教师：看来，乙同学的解法是个妙极的方法.他给了我们一个很好的启示，若检验一下直线是否与曲线相交，其解法就是一个“设点而不求”的简洁明快的好方法.全班同学对乙投向了赞许的目光（这时我发现乙同学会心地笑了）.接着，我又大加肯定，乙同学不因循陈规，不因袭前人，是自己思维的真实展示.这种解法独辟蹊径，独创新颖.他虽错犹“荣”，给了我们解决与”中点”有关的问题解法的有益补充.（当我的目光再次触及他时，我发现他脸上洋溢着得意的自信.）

从这以后，乙同学上数学课都是抬头挺胸，信心十足，课余对数学也是“情有独钟”，上课更是大胆发言，“显扬”自我，对有些问题的解决也常常与众不同，有自己的独到之处.他的数学成绩逐步提高，还积极报名参加了数学兴趣小组，通过努力拼搏、钻研学习，参加全国数学奥赛获得了全国一等奖，免试进入了华中科技大学.他工作后的第一个春节来看望我时，仍然谈到了那次板演评价，给他拾回了面子，唤回了他的自信，从此改变了他的学习状况，令他永生难忘.

反思：走进我们的课堂，学生“越雷池一步”的想法是异常多见的，但我们的教师常常有意无意地把此纳入自己的思维模式而加以扼杀，挫伤学生的独创精神.也有的教师常常对学生的种种创新（当然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而视为“另类”，这就不得不让人深思了.著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”.学生学习中产生的错误，是一种来源于学生学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料.

1.及时捕捉“错误”，建构正确的认知结构.

心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”因此，教师要独具慧眼，善于捕捉稍纵即逝的错误，引导他们分析掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，找到解决问题的办法，建构起正确的认知结构.

2.认真剖析“错误”，寻找思维的合理成分.

诚然，学生解题错误的原因是多方面的，但学生的“错解”往往就是他真实思维的流露，而也只有这种真实的思维才是学生自己的东西，才是学生能保持长久的东西.教师一定要认真剖析学生“错解”中合理的成分，哪怕只是一小点，也要予以充分肯定和赞赏，以保护学生的自尊、树立学生的自信.对学生勇于展示错误的态度给予充分的欣赏，对错误给其他学生带来的经验或提示表示感谢，让本以为错误的信息表现出它的价值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基础上做些补救，让其在“跌到处”爬起来.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“错误”，激活学生的创新思维.

要让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，舍得花时间让学生暴露思维过程，及时挖掘其中的价值.创新思维是指一个人在已有经验和一般思维的逻辑规律的基础上，用一种灵活、新颖的思维方式解决问题.合理利用学生的错误，挖掘错误中蕴含的创新因素，适时适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的思维障碍，进入创新求异的新境界，让学生体验思维的价值、享受思维的快乐.

4.借鉴案例“错误”，提高学生探索的兴趣.

作为教师，我们要让学生真正参与到知识的探索中，不能以教师的教代替学生的学，要让学生亲身体验学习的成功与失败；也要尊重学生的思维选择，不要让学生思维成为老师思维的奴隶，尽量沿着学生的思维轨迹，拓展学生的思维，特别是学生提出有别于标准答案的独特想法时，要尊重学生的选择，沿着学生的思路前进，而不是一味地摒弃，毫无道理地强行纳入自己的思维轨道.

总之，学生在知识建构过程中，总会有一些认识上的偏差，对于学生生成的错误资源，教师大可不必藏着、捂着，而是要站在数学的角度上重新审视，挖掘其内在的“闪光点”，灵活地运用于数学教学中，最大限度地发挥学生错误的作用，为学生创造新的学习机会，为学生的成长与发展提供新的教育契机，给我们的数学课堂注入新的生命力.endprint

那是一次令人难忘的学生解题板演，虽然已过去好多年，但至今仍记忆犹新，情景历历在目.题目是：已知双曲线的方程为x■-■=1，以B（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，说明理由.

甲同学的解法：假设以B（1，1）为中点的弦存在，设该弦所在的直线方程为：y=k（x-1）+1，联立方程组y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因为直线与双曲线相交于不同两点，设两点为A（x■，y■），B（x■，y■），

则3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中点，则■=■=1？圯k=3但不满足（*），故以B（1，1）为中点的弦不存在.

乙同学的解法：假设以B（1，1）为中点的弦存在，设弦为AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），则x■■-■=1，x■■-■=1，两式相减，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由题设知x■≠x■，又∵B（1，1）为弦AB的中点，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程为3x-y-2=0.

板演结束，我与同学们进行了对话：

教师：两种答案摆在了同学们面前，哪位同学的解答正确呢？

学生（异口同声地）说：甲（这时，我看到乙同学的头慢慢低了下去）.我及时调节课堂气氛，将问题抛给学生.

教师：哪位同学的解法简捷呢？

学生：面面相觑，但仍然肯定了乙同学的解法（这时乙同学的头又抬起来了），但不知所以然；有的在揣摩老师的意图，但也是一脸茫然；有的在嘀咕，错了还讲什么简捷？

教师：是啊，错了，还谈什么简捷！学生哗然哄笑.

教师：乙同学的解法的确简捷，但错在哪里呢？将问题再次抛给学生.学生分小组研究讨论……

过了一会，丙同学站起来说：我按乙同学得的k■=3可得直线方程3x-y-2=0，联立方程组得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直线3x-y-2=0与双曲线x■-■=1无交点，故以点B（1，1）为中点的弦不存在.（一片掌声）但有的学生还是不太理解.

教师：能给出直观解释吗？这时丁同学上讲台一边画图，一边进行了解释：直线与双曲线没有交点，当然就不存在以B（1，1）为中点的弦.这时，我就抓住难得锻炼学生思维的契机，提出：将点改为A（2，1），以A为中点的弦存在吗？请同学们用乙同学的解法并结合丙同学的补充尝试一下.很快，大家都得到了正确答案，以A为中点的弦存在，为6x-y-11=0.

教师：一般对于点在曲线开口内时，以此点为中点的弦存在，但对于点在双曲线的外部（不含焦点的区域）时的弦有可能不存在，因此，对于求得的直线要进行检验.

教师：看来，乙同学的解法是个妙极的方法.他给了我们一个很好的启示，若检验一下直线是否与曲线相交，其解法就是一个“设点而不求”的简洁明快的好方法.全班同学对乙投向了赞许的目光（这时我发现乙同学会心地笑了）.接着，我又大加肯定，乙同学不因循陈规，不因袭前人，是自己思维的真实展示.这种解法独辟蹊径，独创新颖.他虽错犹“荣”，给了我们解决与”中点”有关的问题解法的有益补充.（当我的目光再次触及他时，我发现他脸上洋溢着得意的自信.）

从这以后，乙同学上数学课都是抬头挺胸，信心十足，课余对数学也是“情有独钟”，上课更是大胆发言，“显扬”自我，对有些问题的解决也常常与众不同，有自己的独到之处.他的数学成绩逐步提高，还积极报名参加了数学兴趣小组，通过努力拼搏、钻研学习，参加全国数学奥赛获得了全国一等奖，免试进入了华中科技大学.他工作后的第一个春节来看望我时，仍然谈到了那次板演评价，给他拾回了面子，唤回了他的自信，从此改变了他的学习状况，令他永生难忘.

反思：走进我们的课堂，学生“越雷池一步”的想法是异常多见的，但我们的教师常常有意无意地把此纳入自己的思维模式而加以扼杀，挫伤学生的独创精神.也有的教师常常对学生的种种创新（当然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而视为“另类”，这就不得不让人深思了.著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”.学生学习中产生的错误，是一种来源于学生学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料.

1.及时捕捉“错误”，建构正确的认知结构.

心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”因此，教师要独具慧眼，善于捕捉稍纵即逝的错误，引导他们分析掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，找到解决问题的办法，建构起正确的认知结构.

2.认真剖析“错误”，寻找思维的合理成分.

诚然，学生解题错误的原因是多方面的，但学生的“错解”往往就是他真实思维的流露，而也只有这种真实的思维才是学生自己的东西，才是学生能保持长久的东西.教师一定要认真剖析学生“错解”中合理的成分，哪怕只是一小点，也要予以充分肯定和赞赏，以保护学生的自尊、树立学生的自信.对学生勇于展示错误的态度给予充分的欣赏，对错误给其他学生带来的经验或提示表示感谢，让本以为错误的信息表现出它的价值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基础上做些补救，让其在“跌到处”爬起来.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“错误”，激活学生的创新思维.

要让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，舍得花时间让学生暴露思维过程，及时挖掘其中的价值.创新思维是指一个人在已有经验和一般思维的逻辑规律的基础上，用一种灵活、新颖的思维方式解决问题.合理利用学生的错误，挖掘错误中蕴含的创新因素，适时适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的思维障碍，进入创新求异的新境界，让学生体验思维的价值、享受思维的快乐.

4.借鉴案例“错误”，提高学生探索的兴趣.

作为教师，我们要让学生真正参与到知识的探索中，不能以教师的教代替学生的学，要让学生亲身体验学习的成功与失败；也要尊重学生的思维选择，不要让学生思维成为老师思维的奴隶，尽量沿着学生的思维轨迹，拓展学生的思维，特别是学生提出有别于标准答案的独特想法时，要尊重学生的选择，沿着学生的思路前进，而不是一味地摒弃，毫无道理地强行纳入自己的思维轨道.

总之，学生在知识建构过程中，总会有一些认识上的偏差，对于学生生成的错误资源，教师大可不必藏着、捂着，而是要站在数学的角度上重新审视，挖掘其内在的“闪光点”，灵活地运用于数学教学中，最大限度地发挥学生错误的作用，为学生创造新的学习机会，为学生的成长与发展提供新的教育契机，给我们的数学课堂注入新的生命力.endprint

那是一次令人难忘的学生解题板演，虽然已过去好多年，但至今仍记忆犹新，情景历历在目.题目是：已知双曲线的方程为x■-■=1，以B（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，说明理由.

甲同学的解法：假设以B（1，1）为中点的弦存在，设该弦所在的直线方程为：y=k（x-1）+1，联立方程组y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因为直线与双曲线相交于不同两点，设两点为A（x■，y■），B（x■，y■），

则3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中点，则■=■=1？圯k=3但不满足（*），故以B（1，1）为中点的弦不存在.

乙同学的解法：假设以B（1，1）为中点的弦存在，设弦为AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），则x■■-■=1，x■■-■=1，两式相减，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由题设知x■≠x■，又∵B（1，1）为弦AB的中点，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程为3x-y-2=0.

板演结束，我与同学们进行了对话：

教师：两种答案摆在了同学们面前，哪位同学的解答正确呢？

学生（异口同声地）说：甲（这时，我看到乙同学的头慢慢低了下去）.我及时调节课堂气氛，将问题抛给学生.

教师：哪位同学的解法简捷呢？

学生：面面相觑，但仍然肯定了乙同学的解法（这时乙同学的头又抬起来了），但不知所以然；有的在揣摩老师的意图，但也是一脸茫然；有的在嘀咕，错了还讲什么简捷？

教师：是啊，错了，还谈什么简捷！学生哗然哄笑.

教师：乙同学的解法的确简捷，但错在哪里呢？将问题再次抛给学生.学生分小组研究讨论……

过了一会，丙同学站起来说：我按乙同学得的k■=3可得直线方程3x-y-2=0，联立方程组得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直线3x-y-2=0与双曲线x■-■=1无交点，故以点B（1，1）为中点的弦不存在.（一片掌声）但有的学生还是不太理解.

教师：能给出直观解释吗？这时丁同学上讲台一边画图，一边进行了解释：直线与双曲线没有交点，当然就不存在以B（1，1）为中点的弦.这时，我就抓住难得锻炼学生思维的契机，提出：将点改为A（2，1），以A为中点的弦存在吗？请同学们用乙同学的解法并结合丙同学的补充尝试一下.很快，大家都得到了正确答案，以A为中点的弦存在，为6x-y-11=0.

教师：一般对于点在曲线开口内时，以此点为中点的弦存在，但对于点在双曲线的外部（不含焦点的区域）时的弦有可能不存在，因此，对于求得的直线要进行检验.

教师：看来，乙同学的解法是个妙极的方法.他给了我们一个很好的启示，若检验一下直线是否与曲线相交，其解法就是一个“设点而不求”的简洁明快的好方法.全班同学对乙投向了赞许的目光（这时我发现乙同学会心地笑了）.接着，我又大加肯定，乙同学不因循陈规，不因袭前人，是自己思维的真实展示.这种解法独辟蹊径，独创新颖.他虽错犹“荣”，给了我们解决与”中点”有关的问题解法的有益补充.（当我的目光再次触及他时，我发现他脸上洋溢着得意的自信.）

从这以后，乙同学上数学课都是抬头挺胸，信心十足，课余对数学也是“情有独钟”，上课更是大胆发言，“显扬”自我，对有些问题的解决也常常与众不同，有自己的独到之处.他的数学成绩逐步提高，还积极报名参加了数学兴趣小组，通过努力拼搏、钻研学习，参加全国数学奥赛获得了全国一等奖，免试进入了华中科技大学.他工作后的第一个春节来看望我时，仍然谈到了那次板演评价，给他拾回了面子，唤回了他的自信，从此改变了他的学习状况，令他永生难忘.

反思：走进我们的课堂，学生“越雷池一步”的想法是异常多见的，但我们的教师常常有意无意地把此纳入自己的思维模式而加以扼杀，挫伤学生的独创精神.也有的教师常常对学生的种种创新（当然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而视为“另类”，这就不得不让人深思了.著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”.学生学习中产生的错误，是一种来源于学生学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料.

1.及时捕捉“错误”，建构正确的认知结构.

心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”因此，教师要独具慧眼，善于捕捉稍纵即逝的错误，引导他们分析掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，找到解决问题的办法，建构起正确的认知结构.

2.认真剖析“错误”，寻找思维的合理成分.

诚然，学生解题错误的原因是多方面的，但学生的“错解”往往就是他真实思维的流露，而也只有这种真实的思维才是学生自己的东西，才是学生能保持长久的东西.教师一定要认真剖析学生“错解”中合理的成分，哪怕只是一小点，也要予以充分肯定和赞赏，以保护学生的自尊、树立学生的自信.对学生勇于展示错误的态度给予充分的欣赏，对错误给其他学生带来的经验或提示表示感谢，让本以为错误的信息表现出它的价值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基础上做些补救，让其在“跌到处”爬起来.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“错误”，激活学生的创新思维.

要让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，舍得花时间让学生暴露思维过程，及时挖掘其中的价值.创新思维是指一个人在已有经验和一般思维的逻辑规律的基础上，用一种灵活、新颖的思维方式解决问题.合理利用学生的错误，挖掘错误中蕴含的创新因素，适时适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的思维障碍，进入创新求异的新境界，让学生体验思维的价值、享受思维的快乐.

4.借鉴案例“错误”，提高学生探索的兴趣.

作为教师，我们要让学生真正参与到知识的探索中，不能以教师的教代替学生的学，要让学生亲身体验学习的成功与失败；也要尊重学生的思维选择，不要让学生思维成为老师思维的奴隶，尽量沿着学生的思维轨迹，拓展学生的思维，特别是学生提出有别于标准答案的独特想法时，要尊重学生的选择，沿着学生的思路前进，而不是一味地摒弃，毫无道理地强行纳入自己的思维轨道.

总之，学生在知识建构过程中，总会有一些认识上的偏差，对于学生生成的错误资源，教师大可不必藏着、捂着，而是要站在数学的角度上重新审视，挖掘其内在的“闪光点”，灵活地运用于数学教学中，最大限度地发挥学生错误的作用，为学生创造新的学习机会，为学生的成长与发展提供新的教育契机，给我们的数学课堂注入新的生命力.endprint