导数专题教学反思

江梅

一、本专题新课标与大纲的区别

1.课标不要求学习微分的概念和有关内容；

2.在没有学习极限的前提下，课标以速度作为背景，从学生的认知水平出发，直观感知导概念，得出定义，再用曲线的切线加以强化，与以往教材的处理形成鲜明对照；

3.课标对多项式函数单调性的研究明确规定不超过三次，教学中便于操作把握；

4.大纲要求“熟记基本导数公式”，而课标要求“会使用导数公式表”，强调了学生应用知识的能力，不要求死记硬背导数；

5.“导数”教学采用“平均速度→瞬时速度→导数概念”的方法，与物理背景联系起来，再用曲线的切线印证，与旧教材的“数列→数列极限→函数极限→导数概念”的讲法完全不同，要认真体会.

二、新课标导数内容的准确定位

性质：刻画函数的重要概念、函数性质学习的延续；

工具：研究函数性质的重要工具，研究可导函数性质的通用方法；

载体：是考查函数与方程、分类讨论转化与化归等数学思想方法的重要载体；

交汇点：是函数与方程、不等式等有关知识的交点，可以考查学生综合运用所学知识的能力.

三、新课标导数高考综合题的分析与研究

1.导数高考综合题题型分类：

（1）利用导数研究具体函数的性质，并求切线方程.

（2）研究一类含字母系数函数的性质， 在特定情况下求字母取值范围，处理存在性、恒成立问题.

（3）构造新函数，借助导数，研究两个函数间的关系.

2.导数综合性问题的处理策略：

（1）分类讨论问题.

（2）存在性、恒成立、零点或图像交点问题，等等，这些问题常常需要构造新函数、将问题等价转化变成函数的最值、极值或值域问题，最终还是通过函数的单调性解决问题.

重点：通过函数的单调性解决问题.

难点：学生的难点在如何构造函数、等价转化或分析推理.

四、结合教学实践例谈从新课标导数高考综合题看课堂教学

例. （2013课标全国Ⅰ文）20（本小题满分12分）已知函数f（x）=e■（ax+b）-x■-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.

解：（1）f′（x）=e■（ax+a+b）-2x-4.

由已知得f（0）=4，f′（0）=4.

故b=4，a+b=8.

从而得a=4，b=4.

（2）由（1）知，f（x）=4e■（x+1）-x■-4x

f′（x）=4e■（x+2）-2x-4=4（x+2）（e■-■）

令f′（x）=0得，x=-ln 2或x=-2.

从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln 2，+∞）时，f′（x）>2；

当x∈（-2，-ln 2）时，f′（x）<0.

故f（x）在（-∞，-2），（-ln 2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln 2）上单调递减.

当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e-2）.

考题评注：此题是典型的利用导数研究具体函数的性质，并求切线方程的问题.（1）问是与切线方程有关的问题.无论是何种教材，还是文科或理科，都是高考考查的主干知识，高频考点，数形结合的好材料.虽作为文科压轴题，但（2）问思维量小，用导数研究函数单调区间学生普遍感到会而不对，对而不全.在实际教学中此题学生真正的难点是如何解不等式，怎样比较对数大小，这要求教师在平常教学中对教学有深入了解，注意本专题与其他模块知识的横向关系，帮助学生总结通性通法，梳理知识脉络，将导数综合题分解进行针对性的训练.

课堂教学：

1.切线方程的教学：我认为这是送分题，属于比较好处理的思维定势，题型变化不多的高考题.在平常教学中，我主要采取数形结合，不断渗透方程的思想，帮助学生总结提炼定势模型，实践证明，取得了较好的效果.具体操作如下：与切线方程有关的问题，先让学生任画一条曲线代表函数图像（这里要求画简图辅助找思路，要速度），再在曲线上找一点作出曲线的切线，记为切点（x■，y■），观察图像引导学生归纳得出：围绕切点可建立三个方程①切线的斜率等于切点的导数值（基础班要强调求切点的导数值的步骤：第一，求原函数的导数f′（x），第二，将切点的横坐标x■带入导函数f′（x）得出f′（x■）构建方程k■=f′（x■）；②观察切点在函数图像上，将切点（x■，y■）坐标代入函数解析式构建方程y■=f（x■）；③观察切点在函数图像上，将切点（x■，y■）坐标代入切线方程成立，如已知没有给出切线方程要灵活处理；面对三个方程让学生深刻体会方程的思想，三个方程可解三个待定系数，最多用完三个方程，切线问题迎刃而解.其中，围绕切点（x■，y■）是教学的关键，是高考常设的陷阱，例题的选择及变式要注意让学生区别过点作切线，过点处的切线，过（t，f（t））的切线的异同，课后提醒学生整理在错题本上，考试时谨慎审题.

2.导数研究函数单调区间的教学：教学中的实际情况是学生听得懂，做不了，有思路，更有障碍；利用导数求函数的单调区间学生易于掌握方法，学生真正的难点是如何解各类不等式（如指数，对数不等式，高次不等式，含参数不等式，等等），无法将本专题与其他模块知识横向沟通，形成能力.我在教学中采取的主要方式是将导数综合题分解进行针对训练，在高一、高二各个必修模块的教学中从学科整体高度上把握导数与其他模块知识的横向关系，进行小专题针对训练.具体做法是：在不等式教学中，为提高学生解题能力配合教材作了分解因式（主要是十字相乘法，立方差，立方和公式对三次多项式的分解因式及简单技巧处理）专题，解二次不等式强化训练，经常利用晚自习作解含参数二次不等式为什么要分类讨论，怎样分类讨论，分类的标准是什么的典题分析，旨在让学生从高一、高二起不断体会（注意这里强调的是体会，而不是掌握；否则学生会产生畏难情绪）分类讨论的重要数学思想，高三时学生有知识铺垫，有心理基础，才能有能力，有信心，轻松解决高考中最大的难题： 分类讨论问题.endprint

例. （2013课标全国Ⅱ理）

（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=e■-ln（x+m），

（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解：（1）f′（x）=e■-■

由x=0是f（x）的极值点得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=e■-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），f′（x）=e■-■，

函数f′（x）=e■-■在（-1，+∞）上单调递增，且f′（0）=0.

因此当x∈（-1，0）时，f′（x）<0；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，

所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

（2）当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f′（x）=e■-■在（-2，+∞）上单调递增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，

故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实根x■，且x■∈（-1，0）.

当x∈（-2，x■）时，f′（x）<0；

当x∈（x■，+∞）时，f′（x）>0，从而当x=x■时，f（x）取得最小值.

由f′（x■）=0得e■=■，ln（x■+2）=-x■，

故f（x）≥f（x■）=■+x■=■>0

综上，当m≤2时，f（x）>0.

考题评注：此题是2013年课标全国Ⅱ理科第21题，压轴题，难度明显高于文科，思维灵活，对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高，因此，在本专题理科的教学中对导数与其他模块知识的综合尤其是导数在函数中的应用，与不等式的综合要给予足够重视，解题教学要以提高学生能力，发散学生思维为核心，让个性品质优秀、数学成绩良好的考生脱颖而出，具有竞争力.

课堂教学：

1.改善学生思维品质，提高能力：由于我所任教的班级是学校珍珠班，基础好，学生学习兴趣浓厚，在黔南州高二期末统考中数学成绩的平均分位居全州第一，高考中能够期望高分亮点，所以导数与函数的综合压轴题虽然难度大，却是我课堂教学成功与否的关键.在导数专题的教学中，我关注学生对导数的深入理解及学生数学素养（具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力）的培养.但如果教学对象是基础班学生，建议教学时降低难度，从入口低的问题入手，从定势问题入手，帮助学生提炼解决此类问题的基本途径，导数综合题的第（2）问对能力较弱的学生可不要求. 具体做法是：收集本专题历年高考题，相关杂志上的好题妙题，近三年高中数学联赛各省预赛题，教学前由教师对题目进行深入分析，做好例题与练习的挑选，每日一题让学生自由选择（独立完成，交流讨论合作完成，查阅资料作好笔记）一种形式完成，重在学生思维的参与，过程的体验，以及教师讲解之后学生的顿悟；每周以竞赛辅导的形式对学生进行培优拔高，对一周所给题目详细讲解，辅导中注重暴露教师思维的过程，有意识地向学生渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等思维层次要求较高的数学思想方法，在潜移默化中改善学生思维品质，提高能力.从目前所任班级的实际教学情况来看，学生学得轻松，学得自信，大部分学生对难题不再有畏难情绪，思维活跃，经常自觉与同学交流探讨，数学成绩明显提高.这都说明以竞赛辅导的形式对基础好的学生进行培优拔高是必要的，会让学生具有高分潜力.

2.本专题对教师教学的要求：本专题综合压轴题难度大，重点在于与不等式的综合，出题形式多以存在性、恒成立、零点或图像交点、不等式的证明问题出现，这些问题常常需要构造新函数、将问题等价转化变成函数的最值、极值或值域问题，最终还是通过函数的单调性解决问题.实际教学中，我利用策略教学突破难点学生的难点在如何构造函数、等价转化或分析推理，所以我对本专题各类型题目的解题策略做了归类整理并写成论文发表，如构造函数证不等式的策略，用导数处理存在性、恒成立求参数范围问题的策略，分类讨论策略和高考中怎样避开分类讨论策略，通过这种备课、备教材、备学生的创造性活动，我与学生一起成长.我认为，只有教师对教学、对数学有深刻的认识，才会有深入浅出的教学，才会有高效课堂.

例. （2013课标全国Ⅱ文）21 （本小题满分12分）

已知函数f（x）=x■e■，

（1）求f（x）的极小值和极大值；

（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.

考题评注：此题为2013课标全国Ⅱ文科压轴题，第（1）问为利用导数研究函数单调性，极值，最值问题，属定势教学，中档题，学生易于接受掌握.第（2）问是导数与函数，导数与直线方程的综合题，对文科学生来说，要求模块之间知识互相沟通，拥有完整的知识网络和较强的计算能力.

课堂教学：

导数研究函数单调性，极值，最值问题教学困惑：一直以来，我对教材上利用导数研究函数单调性，极值，最值问题的例题教学颇有疑义.例如教材上强调的求函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）求方程f′（x）=0的全部实根；

（4）检查方程f′（x）=0的根左右两侧f′（x）的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值.为判断方程f′（x）=0的根左右两侧f′（x）的符号，可用列表的方法：用方程f′（x）=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.

教材例题：求函数f（x）=■-2的极值.

解：易知f（x）的定义域为R

f′（x）=■=■

令f′（x）=0，解得x=1或x=-1.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况为：

∴当x=-1时，f（x）有极小值-3；当x=1时，f（x）有极大值-1.

我认为，既然新课标突出学生创新能力培养，注重数学思想方法的渗透，那么在利用导数研究函数单调性、极值、最值问题的教学中，我对此节内容做了如下处理：第一步，求函数f（x）的导数f′（x）；第二步，令f′（x）≥0，解不等式，此不等式的解集在定义域内的部分即为函数f（x）的增区间，此不等式的解集在定义域内的补集即为减区间；第三步，根据以上单调区间画出函数f（x）的大致图像（求极值，最值只要求画出图像增减波浪）；第四步，观察图像数形结合即可快速准确找出极值、最值.这样处理教学的好处是整个思路流畅自然，数形结合落到实处，为分类讨论提供分类的标准，而且能提高解题速度.这里，我希望与大家一起分享，探讨教学的成功与困惑.

此教学设计为黔南州州级课题N130025的研究成果。endprint

例. （2013课标全国Ⅱ理）

（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=e■-ln（x+m），

（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解：（1）f′（x）=e■-■

由x=0是f（x）的极值点得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=e■-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），f′（x）=e■-■，

函数f′（x）=e■-■在（-1，+∞）上单调递增，且f′（0）=0.

因此当x∈（-1，0）时，f′（x）<0；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，

所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

（2）当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f′（x）=e■-■在（-2，+∞）上单调递增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，

故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实根x■，且x■∈（-1，0）.

当x∈（-2，x■）时，f′（x）<0；

当x∈（x■，+∞）时，f′（x）>0，从而当x=x■时，f（x）取得最小值.

由f′（x■）=0得e■=■，ln（x■+2）=-x■，

故f（x）≥f（x■）=■+x■=■>0

综上，当m≤2时，f（x）>0.

考题评注：此题是2013年课标全国Ⅱ理科第21题，压轴题，难度明显高于文科，思维灵活，对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高，因此，在本专题理科的教学中对导数与其他模块知识的综合尤其是导数在函数中的应用，与不等式的综合要给予足够重视，解题教学要以提高学生能力，发散学生思维为核心，让个性品质优秀、数学成绩良好的考生脱颖而出，具有竞争力.

课堂教学：

1.改善学生思维品质，提高能力：由于我所任教的班级是学校珍珠班，基础好，学生学习兴趣浓厚，在黔南州高二期末统考中数学成绩的平均分位居全州第一，高考中能够期望高分亮点，所以导数与函数的综合压轴题虽然难度大，却是我课堂教学成功与否的关键.在导数专题的教学中，我关注学生对导数的深入理解及学生数学素养（具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力）的培养.但如果教学对象是基础班学生，建议教学时降低难度，从入口低的问题入手，从定势问题入手，帮助学生提炼解决此类问题的基本途径，导数综合题的第（2）问对能力较弱的学生可不要求. 具体做法是：收集本专题历年高考题，相关杂志上的好题妙题，近三年高中数学联赛各省预赛题，教学前由教师对题目进行深入分析，做好例题与练习的挑选，每日一题让学生自由选择（独立完成，交流讨论合作完成，查阅资料作好笔记）一种形式完成，重在学生思维的参与，过程的体验，以及教师讲解之后学生的顿悟；每周以竞赛辅导的形式对学生进行培优拔高，对一周所给题目详细讲解，辅导中注重暴露教师思维的过程，有意识地向学生渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等思维层次要求较高的数学思想方法，在潜移默化中改善学生思维品质，提高能力.从目前所任班级的实际教学情况来看，学生学得轻松，学得自信，大部分学生对难题不再有畏难情绪，思维活跃，经常自觉与同学交流探讨，数学成绩明显提高.这都说明以竞赛辅导的形式对基础好的学生进行培优拔高是必要的，会让学生具有高分潜力.

2.本专题对教师教学的要求：本专题综合压轴题难度大，重点在于与不等式的综合，出题形式多以存在性、恒成立、零点或图像交点、不等式的证明问题出现，这些问题常常需要构造新函数、将问题等价转化变成函数的最值、极值或值域问题，最终还是通过函数的单调性解决问题.实际教学中，我利用策略教学突破难点学生的难点在如何构造函数、等价转化或分析推理，所以我对本专题各类型题目的解题策略做了归类整理并写成论文发表，如构造函数证不等式的策略，用导数处理存在性、恒成立求参数范围问题的策略，分类讨论策略和高考中怎样避开分类讨论策略，通过这种备课、备教材、备学生的创造性活动，我与学生一起成长.我认为，只有教师对教学、对数学有深刻的认识，才会有深入浅出的教学，才会有高效课堂.

例. （2013课标全国Ⅱ文）21 （本小题满分12分）

已知函数f（x）=x■e■，

（1）求f（x）的极小值和极大值；

（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.

考题评注：此题为2013课标全国Ⅱ文科压轴题，第（1）问为利用导数研究函数单调性，极值，最值问题，属定势教学，中档题，学生易于接受掌握.第（2）问是导数与函数，导数与直线方程的综合题，对文科学生来说，要求模块之间知识互相沟通，拥有完整的知识网络和较强的计算能力.

课堂教学：

导数研究函数单调性，极值，最值问题教学困惑：一直以来，我对教材上利用导数研究函数单调性，极值，最值问题的例题教学颇有疑义.例如教材上强调的求函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）求方程f′（x）=0的全部实根；

（4）检查方程f′（x）=0的根左右两侧f′（x）的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值.为判断方程f′（x）=0的根左右两侧f′（x）的符号，可用列表的方法：用方程f′（x）=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.

教材例题：求函数f（x）=■-2的极值.

解：易知f（x）的定义域为R

f′（x）=■=■

令f′（x）=0，解得x=1或x=-1.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况为：

∴当x=-1时，f（x）有极小值-3；当x=1时，f（x）有极大值-1.

我认为，既然新课标突出学生创新能力培养，注重数学思想方法的渗透，那么在利用导数研究函数单调性、极值、最值问题的教学中，我对此节内容做了如下处理：第一步，求函数f（x）的导数f′（x）；第二步，令f′（x）≥0，解不等式，此不等式的解集在定义域内的部分即为函数f（x）的增区间，此不等式的解集在定义域内的补集即为减区间；第三步，根据以上单调区间画出函数f（x）的大致图像（求极值，最值只要求画出图像增减波浪）；第四步，观察图像数形结合即可快速准确找出极值、最值.这样处理教学的好处是整个思路流畅自然，数形结合落到实处，为分类讨论提供分类的标准，而且能提高解题速度.这里，我希望与大家一起分享，探讨教学的成功与困惑.

此教学设计为黔南州州级课题N130025的研究成果。endprint

例. （2013课标全国Ⅱ理）

（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=e■-ln（x+m），

（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解：（1）f′（x）=e■-■

由x=0是f（x）的极值点得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=e■-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），f′（x）=e■-■，

函数f′（x）=e■-■在（-1，+∞）上单调递增，且f′（0）=0.

因此当x∈（-1，0）时，f′（x）<0；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，

所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

（2）当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f′（x）=e■-■在（-2，+∞）上单调递增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，

故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实根x■，且x■∈（-1，0）.

当x∈（-2，x■）时，f′（x）<0；

当x∈（x■，+∞）时，f′（x）>0，从而当x=x■时，f（x）取得最小值.

由f′（x■）=0得e■=■，ln（x■+2）=-x■，

故f（x）≥f（x■）=■+x■=■>0

综上，当m≤2时，f（x）>0.

考题评注：此题是2013年课标全国Ⅱ理科第21题，压轴题，难度明显高于文科，思维灵活，对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高，因此，在本专题理科的教学中对导数与其他模块知识的综合尤其是导数在函数中的应用，与不等式的综合要给予足够重视，解题教学要以提高学生能力，发散学生思维为核心，让个性品质优秀、数学成绩良好的考生脱颖而出，具有竞争力.

课堂教学：

1.改善学生思维品质，提高能力：由于我所任教的班级是学校珍珠班，基础好，学生学习兴趣浓厚，在黔南州高二期末统考中数学成绩的平均分位居全州第一，高考中能够期望高分亮点，所以导数与函数的综合压轴题虽然难度大，却是我课堂教学成功与否的关键.在导数专题的教学中，我关注学生对导数的深入理解及学生数学素养（具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力）的培养.但如果教学对象是基础班学生，建议教学时降低难度，从入口低的问题入手，从定势问题入手，帮助学生提炼解决此类问题的基本途径，导数综合题的第（2）问对能力较弱的学生可不要求. 具体做法是：收集本专题历年高考题，相关杂志上的好题妙题，近三年高中数学联赛各省预赛题，教学前由教师对题目进行深入分析，做好例题与练习的挑选，每日一题让学生自由选择（独立完成，交流讨论合作完成，查阅资料作好笔记）一种形式完成，重在学生思维的参与，过程的体验，以及教师讲解之后学生的顿悟；每周以竞赛辅导的形式对学生进行培优拔高，对一周所给题目详细讲解，辅导中注重暴露教师思维的过程，有意识地向学生渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等思维层次要求较高的数学思想方法，在潜移默化中改善学生思维品质，提高能力.从目前所任班级的实际教学情况来看，学生学得轻松，学得自信，大部分学生对难题不再有畏难情绪，思维活跃，经常自觉与同学交流探讨，数学成绩明显提高.这都说明以竞赛辅导的形式对基础好的学生进行培优拔高是必要的，会让学生具有高分潜力.

2.本专题对教师教学的要求：本专题综合压轴题难度大，重点在于与不等式的综合，出题形式多以存在性、恒成立、零点或图像交点、不等式的证明问题出现，这些问题常常需要构造新函数、将问题等价转化变成函数的最值、极值或值域问题，最终还是通过函数的单调性解决问题.实际教学中，我利用策略教学突破难点学生的难点在如何构造函数、等价转化或分析推理，所以我对本专题各类型题目的解题策略做了归类整理并写成论文发表，如构造函数证不等式的策略，用导数处理存在性、恒成立求参数范围问题的策略，分类讨论策略和高考中怎样避开分类讨论策略，通过这种备课、备教材、备学生的创造性活动，我与学生一起成长.我认为，只有教师对教学、对数学有深刻的认识，才会有深入浅出的教学，才会有高效课堂.

例. （2013课标全国Ⅱ文）21 （本小题满分12分）

已知函数f（x）=x■e■，

（1）求f（x）的极小值和极大值；

（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.

考题评注：此题为2013课标全国Ⅱ文科压轴题，第（1）问为利用导数研究函数单调性，极值，最值问题，属定势教学，中档题，学生易于接受掌握.第（2）问是导数与函数，导数与直线方程的综合题，对文科学生来说，要求模块之间知识互相沟通，拥有完整的知识网络和较强的计算能力.

课堂教学：

导数研究函数单调性，极值，最值问题教学困惑：一直以来，我对教材上利用导数研究函数单调性，极值，最值问题的例题教学颇有疑义.例如教材上强调的求函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）求方程f′（x）=0的全部实根；

（4）检查方程f′（x）=0的根左右两侧f′（x）的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值.为判断方程f′（x）=0的根左右两侧f′（x）的符号，可用列表的方法：用方程f′（x）=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.

教材例题：求函数f（x）=■-2的极值.

解：易知f（x）的定义域为R

f′（x）=■=■

令f′（x）=0，解得x=1或x=-1.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况为：

∴当x=-1时，f（x）有极小值-3；当x=1时，f（x）有极大值-1.

我认为，既然新课标突出学生创新能力培养，注重数学思想方法的渗透，那么在利用导数研究函数单调性、极值、最值问题的教学中，我对此节内容做了如下处理：第一步，求函数f（x）的导数f′（x）；第二步，令f′（x）≥0，解不等式，此不等式的解集在定义域内的部分即为函数f（x）的增区间，此不等式的解集在定义域内的补集即为减区间；第三步，根据以上单调区间画出函数f（x）的大致图像（求极值，最值只要求画出图像增减波浪）；第四步，观察图像数形结合即可快速准确找出极值、最值.这样处理教学的好处是整个思路流畅自然，数形结合落到实处，为分类讨论提供分类的标准，而且能提高解题速度.这里，我希望与大家一起分享，探讨教学的成功与困惑.

此教学设计为黔南州州级课题N130025的研究成果。endprint