数学建模在高等数学中的应用

张芝华

摘要：数学模型是沟通实际问题与数学工具之间联系的桥梁，是将数学理论知识应用于实践的过程。如何在高等数学教学中体现数学建模思想呢？我们可以通过实例来建立数学模型，从而培养学生的数学建模意识，提高学生的数学运用能力和实践能力。

关键词：数学建模；高等数学；学生

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）09-0244-02

高等数学是高校经济学专业的一门主要基础课程，教学中一个重要任务就是培养学生的数学实际应用能力。数学模型则是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实践的过程。如何在高等数学教学中体现数学建模思想，我认为可以从分析处理教材、组织教学内容、选择教学方法等方面入手，在教学中注重培养学生的数学建模意识，意在提高学生的数学运用能力、实践能力和创造能力，这是一个有效的方法。下面通过实例进行数学建模讲解。

例1：计算复利息问题。

设本金为A0，利率为r，期数为t，如果每期结算一次，则本利和A为：A=A0（1+r）'.

如果每期结算m次，t期本利和Am为：Am=A0（1+■）m.

在现实世界中有许多事物是属于这种模型的，而且是立即产生立即结算，m→∞，得到下面的极限：■A0（1+■）m.

这个式子反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律，因此，它不仅在数学理论上，而且在实际应用中都是很有用的极限。为了使问题简化起见，在上式中，令n=■，则当m→∞时n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，问题归结为求极限：■（1+■）n.

这个极限就是我们高等数学中讲得重要极限，可以证明：■（1+■）n=e.

例2：养鱼问题：某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 万尾，乙种鱼放养x万尾，收获时，两种鱼的收获量分别为 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使产鱼总量最大的放养数（α>β>0）。

解：设产鱼总量为z，则z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由极值的必要条件得方程组：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由题设α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）处有极大值，即有最大值。

x与y分别为甲、乙两种鱼的放养数。通过上例的分析我们看到利用多元函数的偏导数，来解决实际问题。

例3：广告问题。设某产品销售单价为5万元，可变成本为每单位3.75万元。又设产品经广告宣传后能全部售出，且销量与广告费A有关系式x=200■，求使产品经营利润最大的广告投入。

解：依题意总收益函数为R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利润函数为L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（万元），又L''=

-■A■<0知A*为最优的广告投入，使利润最大。

通过上例的分析我们看到利用极值可以求利润最大问题，来解决实际问题。

例4：人口问题。Maltlhus于18世纪末在研究了人口统计资料后，提出在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增长量与人口总数成正比。记时刻t的人口数量为N（t），考虑 t到t+Δt时间内人口的增长率量，根据Maltlhus理论，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r为比例系数，而增长量与Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解为N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等数学最简单的一阶微分方程■=rx的模型，来解决实际问题。endprint

摘要：数学模型是沟通实际问题与数学工具之间联系的桥梁，是将数学理论知识应用于实践的过程。如何在高等数学教学中体现数学建模思想呢？我们可以通过实例来建立数学模型，从而培养学生的数学建模意识，提高学生的数学运用能力和实践能力。

关键词：数学建模；高等数学；学生

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）09-0244-02

高等数学是高校经济学专业的一门主要基础课程，教学中一个重要任务就是培养学生的数学实际应用能力。数学模型则是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实践的过程。如何在高等数学教学中体现数学建模思想，我认为可以从分析处理教材、组织教学内容、选择教学方法等方面入手，在教学中注重培养学生的数学建模意识，意在提高学生的数学运用能力、实践能力和创造能力，这是一个有效的方法。下面通过实例进行数学建模讲解。

例1：计算复利息问题。

设本金为A0，利率为r，期数为t，如果每期结算一次，则本利和A为：A=A0（1+r）'.

如果每期结算m次，t期本利和Am为：Am=A0（1+■）m.

在现实世界中有许多事物是属于这种模型的，而且是立即产生立即结算，m→∞，得到下面的极限：■A0（1+■）m.

这个式子反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律，因此，它不仅在数学理论上，而且在实际应用中都是很有用的极限。为了使问题简化起见，在上式中，令n=■，则当m→∞时n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，问题归结为求极限：■（1+■）n.

这个极限就是我们高等数学中讲得重要极限，可以证明：■（1+■）n=e.

例2：养鱼问题：某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 万尾，乙种鱼放养x万尾，收获时，两种鱼的收获量分别为 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使产鱼总量最大的放养数（α>β>0）。

解：设产鱼总量为z，则z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由极值的必要条件得方程组：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由题设α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）处有极大值，即有最大值。

x与y分别为甲、乙两种鱼的放养数。通过上例的分析我们看到利用多元函数的偏导数，来解决实际问题。

例3：广告问题。设某产品销售单价为5万元，可变成本为每单位3.75万元。又设产品经广告宣传后能全部售出，且销量与广告费A有关系式x=200■，求使产品经营利润最大的广告投入。

解：依题意总收益函数为R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利润函数为L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（万元），又L''=

-■A■<0知A*为最优的广告投入，使利润最大。

通过上例的分析我们看到利用极值可以求利润最大问题，来解决实际问题。

例4：人口问题。Maltlhus于18世纪末在研究了人口统计资料后，提出在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增长量与人口总数成正比。记时刻t的人口数量为N（t），考虑 t到t+Δt时间内人口的增长率量，根据Maltlhus理论，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r为比例系数，而增长量与Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解为N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等数学最简单的一阶微分方程■=rx的模型，来解决实际问题。endprint

摘要：数学模型是沟通实际问题与数学工具之间联系的桥梁，是将数学理论知识应用于实践的过程。如何在高等数学教学中体现数学建模思想呢？我们可以通过实例来建立数学模型，从而培养学生的数学建模意识，提高学生的数学运用能力和实践能力。

关键词：数学建模；高等数学；学生

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）09-0244-02

高等数学是高校经济学专业的一门主要基础课程，教学中一个重要任务就是培养学生的数学实际应用能力。数学模型则是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实践的过程。如何在高等数学教学中体现数学建模思想，我认为可以从分析处理教材、组织教学内容、选择教学方法等方面入手，在教学中注重培养学生的数学建模意识，意在提高学生的数学运用能力、实践能力和创造能力，这是一个有效的方法。下面通过实例进行数学建模讲解。

例1：计算复利息问题。

设本金为A0，利率为r，期数为t，如果每期结算一次，则本利和A为：A=A0（1+r）'.

如果每期结算m次，t期本利和Am为：Am=A0（1+■）m.

在现实世界中有许多事物是属于这种模型的，而且是立即产生立即结算，m→∞，得到下面的极限：■A0（1+■）m.

这个式子反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律，因此，它不仅在数学理论上，而且在实际应用中都是很有用的极限。为了使问题简化起见，在上式中，令n=■，则当m→∞时n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，问题归结为求极限：■（1+■）n.

这个极限就是我们高等数学中讲得重要极限，可以证明：■（1+■）n=e.

例2：养鱼问题：某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 万尾，乙种鱼放养x万尾，收获时，两种鱼的收获量分别为 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使产鱼总量最大的放养数（α>β>0）。

解：设产鱼总量为z，则z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由极值的必要条件得方程组：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由题设α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）处有极大值，即有最大值。

x与y分别为甲、乙两种鱼的放养数。通过上例的分析我们看到利用多元函数的偏导数，来解决实际问题。

例3：广告问题。设某产品销售单价为5万元，可变成本为每单位3.75万元。又设产品经广告宣传后能全部售出，且销量与广告费A有关系式x=200■，求使产品经营利润最大的广告投入。

解：依题意总收益函数为R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利润函数为L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（万元），又L''=

-■A■<0知A*为最优的广告投入，使利润最大。

通过上例的分析我们看到利用极值可以求利润最大问题，来解决实际问题。

例4：人口问题。Maltlhus于18世纪末在研究了人口统计资料后，提出在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增长量与人口总数成正比。记时刻t的人口数量为N（t），考虑 t到t+Δt时间内人口的增长率量，根据Maltlhus理论，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r为比例系数，而增长量与Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解为N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等数学最简单的一阶微分方程■=rx的模型，来解决实际问题。endprint