非线性四阶多点边值问题的正解存在性

孔令彬，辛 彤

（东北石油大学 数学与统计学院，黑龙江 大庆 163318）

非线性四阶多点边值问题的正解存在性

孔令彬，辛 彤

（东北石油大学 数学与统计学院，黑龙江 大庆 163318）

研究一类含参数的非线性四阶多点边值问题，当参数属于一定范围时，利用常数变易法求得与边值问题等价的函数，并对它进行上下界估计，同时利用锥不动点定理，证明该四阶边值问题正解的存在性.

四阶边值问题；常数变易法；锥定理；正解

0 引言

近年来，非线性四阶边值问题受到人们的关注，主要应用在物理学的流体力学、弹性力学等领域问题中，其正解具有深刻意义[1-3].人们研究此类问题，并且得到一些结论[4-9].笔者讨论包含参数的非线性四阶多点边值问题，当参数属于给定范围时，得出该问题的正解.

1 问题与主要定理

考虑非线性四阶多点边值问题

式中：α为正数，0＜η＜1，满足αη＜1，λ＞0；ρ为参数

假设条件成立：

（H1）f（t，u）在[0，1]×[0，+∞）非负连续，且

定义 称函数u（t）为边值问题式（1）的正解，如果它满足u∈C3[0，1]∩C4[0，1]，在（0，1）内u（t）＞0，并且u（t）满足式（1）.

定理1 假设条件（H1）、（H2）成立，或者条件（H1）、（H3）成立，则所求非线性四阶多点边值问题式（1）有正解.

2 所求问题式（1）的Green函数

引理1 设m、n、q为实常数，φ1（t）、φ2（t）为非奇次方程mv″（t）+nv′（t）+qv（t）=h（t）的2个无关解，φ0（t）是边值问题，即的一个解，由非齐次方程通解的结构可以得到，φ（t）=c1φ1（t）+c2φ2（t）+φ0（t）是方程av″（t）+bv′（t）+cv（t）=h（t）的通解，其中c1、c2为任意常数.

证明 由非齐次方程通解结构直接验证即可.

先考虑非线性三点边值问题，即

容易求得非线性边值问题，即

又由于u″（t）+ρ2u（t）=0的2个无关解是φ1（t）=cos（ρt），φ2（t）=sin（ρt），根据引理1知，边值问题式（2）的通解可以表示为，并满足初值条件u（0）=0，u（1）=αu（η），利用初值条件可以计算常数c1、c2，经计算整理得边值问题式（2）的解，用积分方程表达式表示为

知道非线性边值问题，即

等价于积分方程

其中

又因为-v″（t）+ρ2v（t）=0的2个无关解是φ1（t）=eρt，φ2（t）=e-ρt.同理，再由引理1知非线性三点边值问题式（4）的通解可以表示为

并满足条件v（0）=0，v（1）-αu（η）=λ，由此确定常数c3、c4，得到边值问题式（4）的通解等价于积分方程，即

式中：γ=sinhρ-αsinh（ρη）＞0.将式（5）代入式（3）并整理可知，非线性边值问题式（1）的通解为

引理2 对于 Green函数G1（t，s）、G2（t，s）满足：∀s，t∈[0，1]，成立不等式，即

证明 容易得到下列关系利用Taylor公式，并注意到sinh（ρs）的单调性，可知

再由sinh（ρs）及sinh[ρ（1-s）]关于s单调性知，因此式（7）成立.

设C[0，1]是[0，1]上全体连续函数构成的Banach空间，C+[0，1]={u∈C[0，1]；u≥0}，定义映射F：C+[0，1]→C+[0，1]，则

引理3 F：K→K全连续

证明 ∀u∈K，由引理2知因此Fu∈K，即F（k）⊂K.另外，容易知道F：K→K全连续映射.

为了证明主要结论，用到锥不动点引理[10].

引理4 设E是Banach空间，K⊂E是E中的锥，W1、W2是E中的开子集，0∈W1⊂W2，又设F：K∩W1）→K全连续.如果

（1）‖Fu‖≤‖u‖，u∈K∩∂W1，并且‖Fu‖≥‖u‖，u∈K∩∂W2；

（2）‖Fu‖≥‖u‖，u∈K∩∂W1，并且‖Fu‖≤‖u‖，u∈K∩∂W2，则F在K∩（2W1）中至少存在一个不动点.

3 定理1的证明

假设条件（H1）、（H2）成立，则存在λ0∈（0，∞），使当λ∈（0，λ0]时，边值问题式（1）有正解.记

即有‖Fu‖≥‖u‖.

由引理4知，不动点u（t）存在于K∩（¯W2W1）中，并且满足Fu=u，因此u（t）是式（1）的一个正解.

假设条件（H1）、（H3）成立.由（H3）知，存在r＞0，使当0≤u≤r时，有f（t，u）≥μu，这里μ＞0，满足

即有‖Fu‖≥‖u‖.

再由条件（H3）知，存在 H＞0，使当u≥H 时有f（t，u）≤εu，这里ε＞0使，则当λ∈ （0，λ0]时 ∀u∈K∩∂W1，由引理2知：

（1）若f（t，u）无界，取R＞max{r，H}则有∀0＜u≤R，f（u）≤f（R），令W2={u∈C[0，1]；‖u‖＜R}，则∀u∈K∩∂W2，有

即有‖Fu‖≤‖u‖.

由引理4知，不动点u（t）存在于K∩（¯W2W1）中，并且满足Fu=u，因此u（t）是式（1）的一个正解[11-15].

4 结束语

研究一类含参数的非线性四阶多点边值问题，通过适当的变换应用常数变易法，以及结合非线性方程通解的结构，给出该问题的Green函数，因此求出与此问题等价的积分方程形式，并对其建立上下界估计，同时在锥中定义映射和应用锥不动点定理，最终证明该问题的正解存在性.

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O175.08

A

2095-4107（2014）04-0097-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.03.015

2014-04-09；

关开澄

黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12541076）

孔令彬（1956-）男，硕士，教授，主要从事非线性微分方程边值问题的研究.