基于变步长模式搜索法的轮胎纵向刚度估计算法研究

彭 瑾，黄元峰

（武汉工程大学 电气信息学院，湖北 武汉 430000）

根据汽车胎压的监测原理分类，主要有有直接式和间接式两种[1]。

直接式具有测量数据实时性较高的特点，但同时也有电池寿命短，无限收发端容易受到其他电子信号的干扰，以及安装更换繁琐等缺点。

对于间接式胎压监测技术，就不存在上述问题，因此，我们认为如果能将间接式监测技术的监测精度不高的这一问题攻克，那么在未来，间接式监测技术将更有市场前景[2]。

文中采用汽车自带的ABS轮速传感器的信号来计算车速，并利用此信号与轮胎的数学模型相结合，采用模式搜索法可以较准确的估计出轮胎纵向刚度这一参数，进而可以判断胎压的异常情况。

轮胎的纵向刚度是轮胎的基本力学参数，在研究轮胎纵向振动、牵引力、制动力及胎压监测时有重要意义。Chistopher.R.Carlson等的研究表明，轮胎气压降低10%，轮胎纵向刚度将增加20%，即轮胎纵向刚度可较明确地反映轮胎气压变化。文中通过建立轮速与轮胎纵向刚度之间的关系，只需采集ABS轮速传感器信号，并采用基于变步长模式搜索的方法对轮胎纵向刚度进行估计，最终实现利用轮胎纵向刚度对轮胎气压变化的间接监测。

1 轮胎纵向刚度估计模型

“魔术公式”是汽车操纵动力学研究中较流行的公式，它采用特殊三角函数多项式来近似轮胎纵向摩擦力与纵向滑移率、侧向摩擦力与侧滑角以及回正力矩与侧滑角之间的数关系[2]。

图1 魔术公式轮胎模型的力-滑移率曲线Fig.1 Curve of force and slip rate based on the magic formula

图1是“魔术公式”轮胎模型典型的力-滑移率曲线，从图中可以看出，当轮胎滑移率在3%以内时，力和滑移率两者之间是近似线性关系。而汽车正常行驶时，轮胎滑移率很少超过1%～2%，因此，在这个线性区域，两者之间的关系可以描述为下面的线性形式

式中，F——轮胎所受的纵向力；CX——轮胎的纵向刚度；S——轮胎的滑移率。

根据SAE的定义，滑移率为

式中，V——轮胎中心的速度；R——轮胎的滚动半径；ω——轮胎的角速度。

综合（1） （2）两式，得

从式（3）可以看出，如果能求得汽车行驶时的受力情况F，汽车运动时的速度V，以及轮胎旋转的角速度ω，则等式两边剩下的未知参数只有R和Cx了。

显然，F可以根据汽车动力学方面的知识将汽车受力情况进行分析，求出各种性质的分力，进而易求得总体受的合力情况[3]。而角速度ω可以利用ABS系统中的轮速传感器测得，只需经过一定信号处理手段即可采集得到角速度信号，而V则可由角速度ω间接求出。

根据系统辨识理论结合最优化方法理论的知识，可以估计出R和Cx这两个未知参数，而这两个参数均和轮胎胎压有关，可以反映轮胎气压的变化情况。

对每个驱动轮来说，它受到的驱动力Fq应该为汽车所受驱动力的一半，即

根据汽车行驶方程，这里Ft即汽车的驱动力。

式中Ff——滚动阻力，Ff=mf，m，f分别为汽车总质量和滚动阻力系数；Fw——空气阻力；Fi——坡度阻力；Fj——加速阻力；Fj=ma，a为汽车行驶加速度

其中

CD——空气阻力系数；A——迎风面积；V——汽车行驶速度。

由式（3）（4）（5）可得

则式（6）可以简化为

对于任一种特定的车型，CD，A，m均为已知参数，所以这里我们只需要通过测取车轮转速信号w，即可求得车速V，加速度a，然后即可估计出参数R和Cx，最后，根据汽车工程理论中的轮胎纵向刚度Cx与轮胎气压成反比的关系即可判断胎压的异常情况。

2 模型参数计算方法

2.1 车速计算方法

车速的求取本文这里打算采用最大轮速法，该方法是在汽车行驶和制动防抱调节过程中，把所采集的4个车轮轮速的最大值作为参考车速。优点是无须路面识别，计算简单，考虑到本文所研究对象的正常工作状况下，基本上都处于常速直线行驶状态，而且路况基本都属于市区道路，因此，这种方法完全可以适用于本文的研究对象。

根据最大轮速法，车轮的转速等于4个车轮中转速最大的值，即

再由转速可以求出车速V

其中f是ABS轮速传感器输出的信号频率，Z是齿轮的齿数，R为车轮的半径。

2.2 加速度a的求取

根据加速度的差分方程定义，

按照上面介绍的求取v的方法求取两个检测时点的车速，并记录两次检测的时间差，即可求得a。

3 轮胎纵向刚度的估计

目前，国内对轮胎纵向刚度的估计这方面研究较少，而且在现有的研究成果中采用的是都是基本模式搜索法（Pattern search method，PSM），这种算法虽然不需考虑初始搜素点和梯度计算的问题，但是同时也有搜索精度不高的缺陷，采用此种算法的系统时有对结果进行误报警的情况发生。针对此技术缺陷，本文提出了一种新的变步长的模式搜索法（Variable step-length pattern search method， VSLPSM）来估计轮胎纵向刚度这一关键参数，并将此算法与之前普遍采用的基本模式搜索法（PSM）进行对比，并在文章最后给出了两者的估计流程和仿真结果对比的示意图，从对比的结果可以得知，改进后的算法较之前的基本算法在精度方面有了较大提高，这对轮胎气压监测报警系统来说可以减少误报。

3.1 采用基本模式搜索法

记 E=ma，T=（w，V），B=（Cx，R）， 则可以简化为 E=f（T，B），因此可以建立对B进行估计的目标函数

采用基本模式搜索法的估计流程图如图2所示。

3.2 采用改进的变步长模式搜素法

3.2.1 变步长的模式搜索法介绍

图2 采用基本模式搜索法的估计流程图Fig.2 Estimation flow chart using basic pattern search method

常规的模式搜索法在进行探测移动时，优先考虑点（ti+aei），再考虑点（ti-aei），这对于一般情况没有太大影响。但是如果搜索点ti为函数局部极大点时，这样的做法就可能导致探测移动选取了次优点（ti+aei）而舍弃了更优点（ti-aei）。如图3所示，若点A为搜索点，按照常规的模式搜索法则会优先考虑B点而放弃更优点C点。基于此种缺陷，本文在这里提出一种改进的变步长模式搜索法，其基本思想是，在探测选点时，首先将B点和C点处的函数值进行比较，再进行较优点的选择，这样可以从搜索机制上避免较优点被遗漏，在整个搜索过程中更容易搜索到近似最优解[4]。

图3 搜索点示意图Fig.3 Brief graph of search points

常规的模式搜索法在一个探测模式迭代周期内步长都是相对不变的，在模式移动后才进行步长的调整。但是考虑到函数值在各个方向上的差异，各方向的步长可根据实际情况做变动。此外，借鉴模拟退火的思想，随着搜索越来越接近最优点，加速因子可相应减小。

基于上述考虑，为了提高算法的收敛速度和精度，本文在模式搜索法的基础上作出改进，提出一种新的变步长模式搜索法。

3.2.2 变步长模式搜索法应用于轮胎纵向刚度的搜索

1）选择初始点 x（1）=（Cx，R），初始步长（jump1，jump2）＞0，步长增加率 λ＞1，步长缩减率 β∈（0，1），加速因子 δ≧1，置精度要求 ε，置 y（1）=x（1），搜索循环步数 r=1。

2）对于 i=1，2，进行以下工作：

①如果

③否则，置 y（i+1）=y（i）

3）如 果 Q（y（3））＜Q（x（r）），则 令 x（r+1）=y（3），y（1）=x（r+1）+δ*（x（r+1）-x（r）），jump=jump*λ， 置 r=r+1，转第 2）步。

4）若 y（1）≠x（r），则置 y（1）=x（r），转第 2）步。

5）若 jump（i）＜ε，i∈[1，2]，则停止计算，输出 x（r）为近似最优解；否则置jump=jump*β，转第2步。

经过这种改进后的算法，步长jump不再是一个数字，而是一个n*1维的向量，其中每一个分量在刚开始时是相同的初始值，但进行若干次的沿坐标探测的动作之后，会根据函数值的大小而相应的变大或变小，在进行模式移动后，各个坐标分量方向上的步长会相应的同步变化。

因此，这种改进后的模式搜索法虽然较传统的模式搜索法运算量变大了，但是对于最终估计结果的准确性却有很大的提升，具体算法的流程图如图4所示。

图4 变步长模式搜索法的运算流程图Fig.4 Flow chart of estimation using VSLPSM

4 轮胎纵向刚度的估计结果

本文使用奇瑞QQ0.8汽车作试验车，保持其他轮胎气压为标准气压（207kPa）的情况下，改变左前轮轮胎气压，分别按标准气压、低于标准气压20%、低于标准气压30%变化，利用DEWE-2010PC数据采集系统分别采集各车轮的轮速信号用以计算车速及估计加速度，最终估计得出气压变化时轮胎的纵向刚度值。

这里，我们分别采用传统的模式搜索法及经过算法改进的变步长模式搜索法进行两组实验分析。

4.1 采用传统模式搜索法估计纵向刚度

采用此种估计方法，我们通过对三十组实验数据的分析估计得到在不同胎压情况下的纵向刚度估计结果，如图5～图7所示。

图5 标准胎压情况下纵向刚度的估计结果Fig.5 Estimation result in standard tire pressure

图6 胎压为标准胎压的80%时的纵向刚度估计结果Fig.6 Estimation result in 80%standard tire pressure

图7 胎压为标准胎压的70%时的纵向刚度估计结果Fig.7 Estimation result in 70%standard pressure

4.2 采用变步长模式搜索法估计纵向刚度

采用此种估计方法，我们通过对三十组实验数据的分析估计得到在不同胎压情况下的纵向刚度估计结果，如图8～图10所示。

图8 标准胎压情况下纵向刚度的估计结果Fig.8 Estimation result in standard tire pressure using VSLPSM

5 仿真结果对比分析

图9 胎压为标准胎压的80%时的纵向刚度估计结果Fig.9 Estimation result in 80%standard tire pressure using VSLPSM

图10 胎压为标准胎压的70%时的纵向刚度估计结果Fig.10 Estimation result in 80%standard tire pressure using VSLPSM

从分别采用了基本模式搜索法和变步长模式搜索法这两种算法的仿真估计结果来分析，再结合本文前面提到的轮胎纵向刚度与胎压近似成反比关系这个理论，假设此款轮胎的标准胎压为207KPa，标准胎压下对应的标准纵向刚度值为5.0×106（N/m），在胎压下降20%左右的情况下，轮胎纵向刚度理论上应该为7.0×106（N/m），在胎压下降30%左右的情况下，轮胎纵向刚度理论上应该为8.0×106（N/m）。

下面表1和表2分别列出了采用两种搜索算法的结果和理论真值的比较以及误差率的情况。

表1 采用PSM算法的轮胎纵向刚度估计结果Tab.1 The result of estimation of tire longitudinal stiffness by PSM

表2 采用VSLPSM算法的轮胎纵向刚度估计结果Tab.2 The result of estimation of tire longitudinal stiffness by VSLPSM

6 结 论

由表1和表2的分析可见，相同轮胎气压下，虽然采用基本模式搜索法对轮胎纵向刚度进行估计可以达到较好的一致性，但精度方面却不太理想，而VSLPSM算法比PSM算法在估计精度方面有了较大幅度的提升，同时也能保持估计结果的一致性，在仿真所假设的几种情况下，基本可以将估计误差控制在百分之十以内。不同轮胎气压下，轮胎纵向刚度估计值差别较为明显，可以清晰地反映轮胎气压的变化。

因外，经过改进后的变步长模式搜索法相比传统的模式搜索法，在参数估计的准确性方面更占优势，能搜索到更接近真值的最优点。

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