直线方程题的多问与多解

王民

一、一题多问，巩固“双基”

例题 已知直线l过点P（1，2），求分别满足下列条件的直线方程.

①直线l的倾斜角为■；

②直线l与直线y=2的夹角成■；

③过l1：x-2y+2=0与l2：2x-y-2=0的交点；

④坐标原点到直线l的距离最长；

⑤直线l沿x轴的正方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移1个单位后，又回到原来的位置；

⑥夹在两直线l1：x-y=0与l2：2x+y+1=0之间的线段恰被点P平分；

⑦直线l在坐标轴上的截距相等；

⑧等腰三角形一腰所在的直线l1：x-2y-2=0，底边所在的直线l2：x+y-1=0，点P在另一腰上；

⑨被两条平行直线l1：x-2y+2=0与l2：x-2y-2=0截得的线段的长为2■.

参考答案 ①x-1=0. ②x-y+1=0或x+y-3=0. ③y-2=0. ④x+2y-5=0. ⑤x-2y+3=0. ⑥x-2y+3=0. ⑦2x-y=0或x+y-3=0. ⑧2x-y=0. ⑨■x+2y-4-■=0或■x-2y+4-■=0.

将过定点的直线整体把握，融于一个循序渐进的自然变式问题串中，抓住主干，一拎一串，顺藤摸瓜，我们就可将与直线相关的知识与方法一网打尽.

二、含参多解，提升能力

例题 已知直线l过点P（1，2），且在x轴、y轴的正半轴上的截距分别为a与b，求使a+b的值取得最小值时的直线的方程.

解 （解法1）设所求直线的方程为y-2=k（x-1）.由直线l在x轴、y轴的正半轴上都有截距，可知k<0.令y=0，得a=1-■；令x=0，得b=2-k，于是a+b=3-■-k≥3+2■=3+2■，当且仅当-■= -k，即k=-■时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法2）设直线l的方程为■+■=1.由直线l过点P（1，2），得■+■=1，于是有a+b=（a+b）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，当且仅当■=■时取等号.又■+■=1，即a=■+1，b=■+2时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法3）依题意有■+■=1，于是a+b=a+b+λ·（■+■）-λ≥2■+2■-λ=2■+2■-λ，当且仅当a=■且b=■时取等号.又■+■=1，解得λ=3+2■，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法4）依题意有■+■=1，解得b=■=2+■，其中a>1，于是有a+b= a+2+■=a-1+■+3≥2■+3=3+2■.当且仅当a-1=■，即a=■+1，b=■+2时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法5）依题意有■+■=1，设m=（■，■），n=（■，■）.由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得a+b=（a+b）（■+■）≥（■·■+■·■）2=3+2■，当且仅当m = λn（λ>0），即■=■时取等号.又■+■=1，解得a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法6）依题意有■+■=1，设■=■-d>0，■=■+d>0，则-■

令t=3-2d，由-■

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法7）依题意有■+■=1.记直线m：■x+■y=0，则其外一点P （■，■）到直线m的距离|PM|=■=1+■，它不大于点P到原点间的距离|PO|=■，即|PO|≥ |PM|，得a+b≥（1+■）2=3+2■.在点M与点O重合时等号成立，此时a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法8）依题意有■+■=1，a>0，b>0.令■=sin2α，■=cos2α，则有a=■=■=1+cot2α，b=■=■=2+2tan2α，于是a+b=■+■=3+cot2α+2tan2α≥3+2■=3+2■，当且仅当cot2α=2tan2α，即tan2α=■时取等号.解得a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法9）依题意有■+■=1，设a+b=y，则b=y-a.将b=y-a代入■+■=1，得关于a的一元二次方程a2+（1-y）a+y=0，其中a>0.上述方程有正实根，于是有a1+a2>0，a1a2>0，Δ≥0，即y-1>0，y>0，y2-6y+1≥0，解得y≥3+2■.所以，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法10）记直线l与x轴的交点为A，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于M与N两点.设∠PAM=α，0<α<■，得a=1+2cot α，b=2+tan α，则a+b=3+2cot α+tan α≥3+2■=3+2■，当且仅当2cot α=tan α，即tan α=■时取等号.所以，a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（作者单位：甘肃高台县职业中学）

（责任编校/周峰）

一、一题多问，巩固“双基”

例题 已知直线l过点P（1，2），求分别满足下列条件的直线方程.

①直线l的倾斜角为■；

②直线l与直线y=2的夹角成■；

③过l1：x-2y+2=0与l2：2x-y-2=0的交点；

④坐标原点到直线l的距离最长；

⑤直线l沿x轴的正方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移1个单位后，又回到原来的位置；

⑥夹在两直线l1：x-y=0与l2：2x+y+1=0之间的线段恰被点P平分；

⑦直线l在坐标轴上的截距相等；

⑧等腰三角形一腰所在的直线l1：x-2y-2=0，底边所在的直线l2：x+y-1=0，点P在另一腰上；

⑨被两条平行直线l1：x-2y+2=0与l2：x-2y-2=0截得的线段的长为2■.

参考答案 ①x-1=0. ②x-y+1=0或x+y-3=0. ③y-2=0. ④x+2y-5=0. ⑤x-2y+3=0. ⑥x-2y+3=0. ⑦2x-y=0或x+y-3=0. ⑧2x-y=0. ⑨■x+2y-4-■=0或■x-2y+4-■=0.

将过定点的直线整体把握，融于一个循序渐进的自然变式问题串中，抓住主干，一拎一串，顺藤摸瓜，我们就可将与直线相关的知识与方法一网打尽.

二、含参多解，提升能力

例题 已知直线l过点P（1，2），且在x轴、y轴的正半轴上的截距分别为a与b，求使a+b的值取得最小值时的直线的方程.

解 （解法1）设所求直线的方程为y-2=k（x-1）.由直线l在x轴、y轴的正半轴上都有截距，可知k<0.令y=0，得a=1-■；令x=0，得b=2-k，于是a+b=3-■-k≥3+2■=3+2■，当且仅当-■= -k，即k=-■时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法2）设直线l的方程为■+■=1.由直线l过点P（1，2），得■+■=1，于是有a+b=（a+b）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，当且仅当■=■时取等号.又■+■=1，即a=■+1，b=■+2时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法3）依题意有■+■=1，于是a+b=a+b+λ·（■+■）-λ≥2■+2■-λ=2■+2■-λ，当且仅当a=■且b=■时取等号.又■+■=1，解得λ=3+2■，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法4）依题意有■+■=1，解得b=■=2+■，其中a>1，于是有a+b= a+2+■=a-1+■+3≥2■+3=3+2■.当且仅当a-1=■，即a=■+1，b=■+2时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法5）依题意有■+■=1，设m=（■，■），n=（■，■）.由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得a+b=（a+b）（■+■）≥（■·■+■·■）2=3+2■，当且仅当m = λn（λ>0），即■=■时取等号.又■+■=1，解得a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法6）依题意有■+■=1，设■=■-d>0，■=■+d>0，则-■

令t=3-2d，由-■

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法7）依题意有■+■=1.记直线m：■x+■y=0，则其外一点P （■，■）到直线m的距离|PM|=■=1+■，它不大于点P到原点间的距离|PO|=■，即|PO|≥ |PM|，得a+b≥（1+■）2=3+2■.在点M与点O重合时等号成立，此时a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法8）依题意有■+■=1，a>0，b>0.令■=sin2α，■=cos2α，则有a=■=■=1+cot2α，b=■=■=2+2tan2α，于是a+b=■+■=3+cot2α+2tan2α≥3+2■=3+2■，当且仅当cot2α=2tan2α，即tan2α=■时取等号.解得a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法9）依题意有■+■=1，设a+b=y，则b=y-a.将b=y-a代入■+■=1，得关于a的一元二次方程a2+（1-y）a+y=0，其中a>0.上述方程有正实根，于是有a1+a2>0，a1a2>0，Δ≥0，即y-1>0，y>0，y2-6y+1≥0，解得y≥3+2■.所以，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法10）记直线l与x轴的交点为A，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于M与N两点.设∠PAM=α，0<α<■，得a=1+2cot α，b=2+tan α，则a+b=3+2cot α+tan α≥3+2■=3+2■，当且仅当2cot α=tan α，即tan α=■时取等号.所以，a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（作者单位：甘肃高台县职业中学）

（责任编校/周峰）

一、一题多问，巩固“双基”

例题 已知直线l过点P（1，2），求分别满足下列条件的直线方程.

①直线l的倾斜角为■；

②直线l与直线y=2的夹角成■；

③过l1：x-2y+2=0与l2：2x-y-2=0的交点；

④坐标原点到直线l的距离最长；

⑤直线l沿x轴的正方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移1个单位后，又回到原来的位置；

⑥夹在两直线l1：x-y=0与l2：2x+y+1=0之间的线段恰被点P平分；

⑦直线l在坐标轴上的截距相等；

⑧等腰三角形一腰所在的直线l1：x-2y-2=0，底边所在的直线l2：x+y-1=0，点P在另一腰上；

⑨被两条平行直线l1：x-2y+2=0与l2：x-2y-2=0截得的线段的长为2■.

参考答案 ①x-1=0. ②x-y+1=0或x+y-3=0. ③y-2=0. ④x+2y-5=0. ⑤x-2y+3=0. ⑥x-2y+3=0. ⑦2x-y=0或x+y-3=0. ⑧2x-y=0. ⑨■x+2y-4-■=0或■x-2y+4-■=0.

将过定点的直线整体把握，融于一个循序渐进的自然变式问题串中，抓住主干，一拎一串，顺藤摸瓜，我们就可将与直线相关的知识与方法一网打尽.

二、含参多解，提升能力

例题 已知直线l过点P（1，2），且在x轴、y轴的正半轴上的截距分别为a与b，求使a+b的值取得最小值时的直线的方程.

解 （解法1）设所求直线的方程为y-2=k（x-1）.由直线l在x轴、y轴的正半轴上都有截距，可知k<0.令y=0，得a=1-■；令x=0，得b=2-k，于是a+b=3-■-k≥3+2■=3+2■，当且仅当-■= -k，即k=-■时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法2）设直线l的方程为■+■=1.由直线l过点P（1，2），得■+■=1，于是有a+b=（a+b）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，当且仅当■=■时取等号.又■+■=1，即a=■+1，b=■+2时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法3）依题意有■+■=1，于是a+b=a+b+λ·（■+■）-λ≥2■+2■-λ=2■+2■-λ，当且仅当a=■且b=■时取等号.又■+■=1，解得λ=3+2■，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法4）依题意有■+■=1，解得b=■=2+■，其中a>1，于是有a+b= a+2+■=a-1+■+3≥2■+3=3+2■.当且仅当a-1=■，即a=■+1，b=■+2时，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法5）依题意有■+■=1，设m=（■，■），n=（■，■）.由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得a+b=（a+b）（■+■）≥（■·■+■·■）2=3+2■，当且仅当m = λn（λ>0），即■=■时取等号.又■+■=1，解得a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法6）依题意有■+■=1，设■=■-d>0，■=■+d>0，则-■

令t=3-2d，由-■

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法7）依题意有■+■=1.记直线m：■x+■y=0，则其外一点P （■，■）到直线m的距离|PM|=■=1+■，它不大于点P到原点间的距离|PO|=■，即|PO|≥ |PM|，得a+b≥（1+■）2=3+2■.在点M与点O重合时等号成立，此时a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法8）依题意有■+■=1，a>0，b>0.令■=sin2α，■=cos2α，则有a=■=■=1+cot2α，b=■=■=2+2tan2α，于是a+b=■+■=3+cot2α+2tan2α≥3+2■=3+2■，当且仅当cot2α=2tan2α，即tan2α=■时取等号.解得a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法9）依题意有■+■=1，设a+b=y，则b=y-a.将b=y-a代入■+■=1，得关于a的一元二次方程a2+（1-y）a+y=0，其中a>0.上述方程有正实根，于是有a1+a2>0，a1a2>0，Δ≥0，即y-1>0，y>0，y2-6y+1≥0，解得y≥3+2■.所以，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（解法10）记直线l与x轴的交点为A，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于M与N两点.设∠PAM=α，0<α<■，得a=1+2cot α，b=2+tan α，则a+b=3+2cot α+tan α≥3+2■=3+2■，当且仅当2cot α=tan α，即tan α=■时取等号.所以，a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直线的方程为■x+y-2-■=0.

（作者单位：甘肃高台县职业中学）

（责任编校/周峰）