多角度探究一道二元最值题

刘胜林

对问题进行多角度、全方位的分析，探究通性通法，可以拓展学生的思路，优化学生的思维品质，培养学生的创新与探究的意识，提高学生分析问题与解决问题的能力.二元函数的最值问题历来是高考的热点，也是难点.下面是本人在高三复习教学中遇到的一道试题：

已知x，y∈R，则（x+y）2+（x-■-1）2的最小值为

A.■ B.■ C.■ D.2■

现从多个角度进行分析与归纳，充分挖掘试题的价值与内涵，得到该题的三种不同解法，颇感受益.现整理出来，与大家分享.

一、转换视角——函数法

考虑到目标代数式中含有两个变元，我们不妨将其中一个变元x设为主元，另一个变元y视为常量，使其相对“固定”，从而将问题转化为关于x的函数的最值问题来求解.

解法1 记f（x）=（x+y）2+（x-■-1）2，x∈R，则f ′（x）=2（x+y）+2（x-■-1）.令f ′（x）=0，得x=■.于是当x<■时，f ′（x）<0；当x>■时，f ′（x）>0，从而当x=■时，fmin（x）= f（■）=■.又|y+■|=|y|+|■|≥2（当且仅当 |y|=1时取等号），于是有y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.所以（y+■+1）2≥1，即■≥■（当且仅当y=-1时取等号）.故当且仅当y=-1且x=■时，[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.选B.

小结 通过转换视角，我们将二元（多元）最值问题转化为关于某一变元的函数最值问题来求解，即将其中一个变元视为主元，其余的变元视为辅元，这是我们处理二元（多元）最值问题的常见解题思路.

二、转化——联系均值不等式

通过对目标代数式结构形式上的特征——平方和进行分析，且x+y与x-■-1中x的系数相同，我们联想到重要均值不等式■≥（■）2（当且仅当a=b时取等号），可对目标代数式作适当的变形后，利用不等式来求解.

解法2 据题意有（x+y）2+（x-■-1）2=（x+y）2+（■+1-x）2≥■=■（当且仅当x+y=■+1-x时取等号）.由|y+■|=|y|+ |■|≥2（当且仅当 |y|=1时取等号），得y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.于是有（y+■+1）2≥1，即■≥■（当且仅当y=-1时取等号）.

故（x+y）2+（x-■-1）2≥■≥■（当且仅当x=■且y=-1时取等号）.选B.

小结 着重于目标代数式结构形式上的特征分析，探究其本质，是问题求解的着眼点.通过对目标代数式的适当变形后应用均值不等式，我们很好地实现了变元的消减，降低了问题求解的难度.但值得注意的是，在两次使用基本不等式的过程中，只有当等号同时成立时，最终才能取到最值.

三、数形结合——几何法

依据目标代数式的结构特征——平方和，联想到平面内两点间的距离公式，于是我们可以利用目标代数式的几何意义，巧用数形结合来处理.

解法3 据题意易知（x+y）2+（x-■-1）2可看成平面内A（x，x-1）、B（-y，■）两点间距离的平方.由A、B两点的坐标，可知点A在直线y=x-1上，点B在曲线g（x）=-■上.如右图所示，由直线y=x-1与函数g（x）=-■的图像间的位置关系，可知当l0∥l且与曲线g（x）相切时，切点P到直线y=x-1的距离d为A、B两点间距离的最小值.设点P的坐标为（x0，y0），则g′（x0）=1，即■=1.由图可知x0>0，所以x0=1，y0=-1，即点P的坐标为（1，-1）.所以d=■=■，从而有d2=■，即[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.选B.

小结 利用目标代数式的几何意义，以形解数，这是二元（多元）最值问题的有效处理手段.解法3直观形象、简捷高效，值得提倡与掌握.因此，同学们在平时的复习中要多注意这方面的训练与培养.

通过对以上具有较强示范性和代表性的问题进行多角度的尝试与探究，我们看到在求解二元（多元）最值问题中，抓住题设条件及目标式进行形式结构上的特征分析，适当进行变形，合理联想与转化，这些是解题的关键，从而归纳出函数法、不等式法、几何法等基本策略.感悟方法的产生，既激发学生的兴趣，促进学生知识结构与方法体系的不断完善，又开发学生的潜力，培养学生的创新与探究精神，提高思维能力和解决问题的能力，从而能够更好地完善复习计划.

（作者单位：湖北武穴市实验高中）

（责任编校/周峰）

对问题进行多角度、全方位的分析，探究通性通法，可以拓展学生的思路，优化学生的思维品质，培养学生的创新与探究的意识，提高学生分析问题与解决问题的能力.二元函数的最值问题历来是高考的热点，也是难点.下面是本人在高三复习教学中遇到的一道试题：

已知x，y∈R，则（x+y）2+（x-■-1）2的最小值为

A.■ B.■ C.■ D.2■

现从多个角度进行分析与归纳，充分挖掘试题的价值与内涵，得到该题的三种不同解法，颇感受益.现整理出来，与大家分享.

一、转换视角——函数法

考虑到目标代数式中含有两个变元，我们不妨将其中一个变元x设为主元，另一个变元y视为常量，使其相对“固定”，从而将问题转化为关于x的函数的最值问题来求解.

解法1 记f（x）=（x+y）2+（x-■-1）2，x∈R，则f ′（x）=2（x+y）+2（x-■-1）.令f ′（x）=0，得x=■.于是当x<■时，f ′（x）<0；当x>■时，f ′（x）>0，从而当x=■时，fmin（x）= f（■）=■.又|y+■|=|y|+|■|≥2（当且仅当 |y|=1时取等号），于是有y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.所以（y+■+1）2≥1，即■≥■（当且仅当y=-1时取等号）.故当且仅当y=-1且x=■时，[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.选B.

小结 通过转换视角，我们将二元（多元）最值问题转化为关于某一变元的函数最值问题来求解，即将其中一个变元视为主元，其余的变元视为辅元，这是我们处理二元（多元）最值问题的常见解题思路.

二、转化——联系均值不等式

通过对目标代数式结构形式上的特征——平方和进行分析，且x+y与x-■-1中x的系数相同，我们联想到重要均值不等式■≥（■）2（当且仅当a=b时取等号），可对目标代数式作适当的变形后，利用不等式来求解.

解法2 据题意有（x+y）2+（x-■-1）2=（x+y）2+（■+1-x）2≥■=■（当且仅当x+y=■+1-x时取等号）.由|y+■|=|y|+ |■|≥2（当且仅当 |y|=1时取等号），得y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.于是有（y+■+1）2≥1，即■≥■（当且仅当y=-1时取等号）.

故（x+y）2+（x-■-1）2≥■≥■（当且仅当x=■且y=-1时取等号）.选B.

小结 着重于目标代数式结构形式上的特征分析，探究其本质，是问题求解的着眼点.通过对目标代数式的适当变形后应用均值不等式，我们很好地实现了变元的消减，降低了问题求解的难度.但值得注意的是，在两次使用基本不等式的过程中，只有当等号同时成立时，最终才能取到最值.

三、数形结合——几何法

依据目标代数式的结构特征——平方和，联想到平面内两点间的距离公式，于是我们可以利用目标代数式的几何意义，巧用数形结合来处理.

解法3 据题意易知（x+y）2+（x-■-1）2可看成平面内A（x，x-1）、B（-y，■）两点间距离的平方.由A、B两点的坐标，可知点A在直线y=x-1上，点B在曲线g（x）=-■上.如右图所示，由直线y=x-1与函数g（x）=-■的图像间的位置关系，可知当l0∥l且与曲线g（x）相切时，切点P到直线y=x-1的距离d为A、B两点间距离的最小值.设点P的坐标为（x0，y0），则g′（x0）=1，即■=1.由图可知x0>0，所以x0=1，y0=-1，即点P的坐标为（1，-1）.所以d=■=■，从而有d2=■，即[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.选B.

小结 利用目标代数式的几何意义，以形解数，这是二元（多元）最值问题的有效处理手段.解法3直观形象、简捷高效，值得提倡与掌握.因此，同学们在平时的复习中要多注意这方面的训练与培养.

通过对以上具有较强示范性和代表性的问题进行多角度的尝试与探究，我们看到在求解二元（多元）最值问题中，抓住题设条件及目标式进行形式结构上的特征分析，适当进行变形，合理联想与转化，这些是解题的关键，从而归纳出函数法、不等式法、几何法等基本策略.感悟方法的产生，既激发学生的兴趣，促进学生知识结构与方法体系的不断完善，又开发学生的潜力，培养学生的创新与探究精神，提高思维能力和解决问题的能力，从而能够更好地完善复习计划.

（作者单位：湖北武穴市实验高中）

（责任编校/周峰）

对问题进行多角度、全方位的分析，探究通性通法，可以拓展学生的思路，优化学生的思维品质，培养学生的创新与探究的意识，提高学生分析问题与解决问题的能力.二元函数的最值问题历来是高考的热点，也是难点.下面是本人在高三复习教学中遇到的一道试题：

已知x，y∈R，则（x+y）2+（x-■-1）2的最小值为

A.■ B.■ C.■ D.2■

现从多个角度进行分析与归纳，充分挖掘试题的价值与内涵，得到该题的三种不同解法，颇感受益.现整理出来，与大家分享.

一、转换视角——函数法

考虑到目标代数式中含有两个变元，我们不妨将其中一个变元x设为主元，另一个变元y视为常量，使其相对“固定”，从而将问题转化为关于x的函数的最值问题来求解.

解法1 记f（x）=（x+y）2+（x-■-1）2，x∈R，则f ′（x）=2（x+y）+2（x-■-1）.令f ′（x）=0，得x=■.于是当x<■时，f ′（x）<0；当x>■时，f ′（x）>0，从而当x=■时，fmin（x）= f（■）=■.又|y+■|=|y|+|■|≥2（当且仅当 |y|=1时取等号），于是有y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.所以（y+■+1）2≥1，即■≥■（当且仅当y=-1时取等号）.故当且仅当y=-1且x=■时，[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.选B.

小结 通过转换视角，我们将二元（多元）最值问题转化为关于某一变元的函数最值问题来求解，即将其中一个变元视为主元，其余的变元视为辅元，这是我们处理二元（多元）最值问题的常见解题思路.

二、转化——联系均值不等式

通过对目标代数式结构形式上的特征——平方和进行分析，且x+y与x-■-1中x的系数相同，我们联想到重要均值不等式■≥（■）2（当且仅当a=b时取等号），可对目标代数式作适当的变形后，利用不等式来求解.

解法2 据题意有（x+y）2+（x-■-1）2=（x+y）2+（■+1-x）2≥■=■（当且仅当x+y=■+1-x时取等号）.由|y+■|=|y|+ |■|≥2（当且仅当 |y|=1时取等号），得y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.于是有（y+■+1）2≥1，即■≥■（当且仅当y=-1时取等号）.

故（x+y）2+（x-■-1）2≥■≥■（当且仅当x=■且y=-1时取等号）.选B.

小结 着重于目标代数式结构形式上的特征分析，探究其本质，是问题求解的着眼点.通过对目标代数式的适当变形后应用均值不等式，我们很好地实现了变元的消减，降低了问题求解的难度.但值得注意的是，在两次使用基本不等式的过程中，只有当等号同时成立时，最终才能取到最值.

三、数形结合——几何法

依据目标代数式的结构特征——平方和，联想到平面内两点间的距离公式，于是我们可以利用目标代数式的几何意义，巧用数形结合来处理.

解法3 据题意易知（x+y）2+（x-■-1）2可看成平面内A（x，x-1）、B（-y，■）两点间距离的平方.由A、B两点的坐标，可知点A在直线y=x-1上，点B在曲线g（x）=-■上.如右图所示，由直线y=x-1与函数g（x）=-■的图像间的位置关系，可知当l0∥l且与曲线g（x）相切时，切点P到直线y=x-1的距离d为A、B两点间距离的最小值.设点P的坐标为（x0，y0），则g′（x0）=1，即■=1.由图可知x0>0，所以x0=1，y0=-1，即点P的坐标为（1，-1）.所以d=■=■，从而有d2=■，即[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.选B.

小结 利用目标代数式的几何意义，以形解数，这是二元（多元）最值问题的有效处理手段.解法3直观形象、简捷高效，值得提倡与掌握.因此，同学们在平时的复习中要多注意这方面的训练与培养.

通过对以上具有较强示范性和代表性的问题进行多角度的尝试与探究，我们看到在求解二元（多元）最值问题中，抓住题设条件及目标式进行形式结构上的特征分析，适当进行变形，合理联想与转化，这些是解题的关键，从而归纳出函数法、不等式法、几何法等基本策略.感悟方法的产生，既激发学生的兴趣，促进学生知识结构与方法体系的不断完善，又开发学生的潜力，培养学生的创新与探究精神，提高思维能力和解决问题的能力，从而能够更好地完善复习计划.

（作者单位：湖北武穴市实验高中）

（责任编校/周峰）