解答函数图像题有技巧

童永奇

技巧1：利用函数的奇偶性解答

例1 （2014年西安高级中学月考卷）设曲线 f（x）=x2+1，其图像上任意一点（x， f（x））处的切线的斜率记为 g（x），则函数y= g（x）cos x的部分图像可以为

难度系数 0.65

分析 观察选项可知，选项A、C为奇函数的图像，选项B、D为偶函数的图像，由此启迪我们：本题可借助函数的奇偶性加以灵活分析.

解 根据导数的几何意义，可知 g（x）=2x，所以y= g（x）cos x=2xcos x.再结合奇偶性的定义，可知函数y= g（x）cos x是奇函数，所以排除选项B、D.又当x从原点的右侧趋向于0时，y>0，所以排除选项C.选A.

小结 遇到函数的图像关于原点或y轴对称时，我们应考虑函数的奇偶性在解题中的活用.

技巧2：利用函数的单调性解答

例2 （2014年高考密码模拟卷）函数y=esin x（-π≤x≤π）的大致图像是

难度系数 0.63

分析 观察选项可知，各选项中函数的单调性互不相同，由此启迪我们：本题可借助函数的单调性加以灵活分析.

解 令u=sin x（-π≤x≤π），则y=eu，显然该函数单调递增.于是，结合正弦函数的单调性以及复合函数的同增异减法则，可知：当-π≤x<-■时，y=esin x单调递减；当-■≤x≤■时，y=esin x单调递增；当■

小结 遇到各选项中函数图像的单调性互不相同时，我们一般应考虑函数的单调性在解题中的活用.有时，我们也可考虑取特殊值，利用排除法解答.如本题中取x=■，则ymax=e，排除选项A、B、C，可知选项D正确.

技巧3：利用二次函数的特性解答

例3 （2014年高考博恩单元卷）对数函数y=logax与二次函数y=（a-1）x2-x在同一坐标系内的图像可能是

难度系数 0.68

分析 注意到二次函数y=（a-1）x2-x的常数项为零，所以对应方程的根容易求得，且二次项系数a-1与零的大小关系不但决定其图像的开口方向以及与x轴的交点位置，而且还决定对数函数的单调性.据此，在分类讨论的基础上，本题可顺利获解.

解 当01时，二次函数的图像开口向上，且与x轴的两个交点中一个是坐标原点，一个在x轴的正半轴上，所以选项B错误.又此时对数函数单调递增，所以选项D错误.选A.

小结 一般地，遇到二次函数与指数函数、对数函数在图像方面的交汇问题时，我们需要特别关注二次函数图像的开口方向、对称轴的位置以及与坐标轴的交点情况.

技巧4：利用指数函数、对数函数的特性解答

例4 （2014年高考博恩专题卷）已知函数f（x）=（x-a）（x-b）的图像如图所示，则函数g（x）=（■）x+b的图像是

难度系数 0.58

分析 从已知函数的图像出发，我们可得到参数a，b各自的取值范围.从解题目标来看，关键是确定指数函数y=（■）x的单调性，并充分利用指数函数的图像恒过定点（0，1）来解答.

解 由函数f（x）=（x-a）（x-b）的图像，可知a>1，-10.选A.

小结 遇到与指数函数或对数函数有关的函数图像问题时，我们可灵活运用指数函数或对数函数的图像与性质来加以分析.

技巧5：利用求导法解答

例5 （原创题）函数f（x）= xln|x|的图像大致是

难度系数 0.63

分析 当x>0时，原函数可化简为f（x）= xln x，而该函数又便于求导，所以我们可借助导函数来分析原函数的单调性，这样就确定了y轴右侧的大致图像.再利用函数的奇偶性，即可迅速确定y轴左侧的大致图像.

解 当x>0时，由于f（x）= xln x，所以f ′（x）=ln x+1.令f ′（x）>0，可得x>■；令f ′（x）<0，可得0

小结 当函数的解析式中涉及形如ln x，ex，xn等便于求导的函数时，我们可考虑求导法在解题中的灵活运用.

（作者单位：陕西西安市临潼区马额中学）

（责任编校？筑周峰）

技巧1：利用函数的奇偶性解答

例1 （2014年西安高级中学月考卷）设曲线 f（x）=x2+1，其图像上任意一点（x， f（x））处的切线的斜率记为 g（x），则函数y= g（x）cos x的部分图像可以为

难度系数 0.65

分析 观察选项可知，选项A、C为奇函数的图像，选项B、D为偶函数的图像，由此启迪我们：本题可借助函数的奇偶性加以灵活分析.

解 根据导数的几何意义，可知 g（x）=2x，所以y= g（x）cos x=2xcos x.再结合奇偶性的定义，可知函数y= g（x）cos x是奇函数，所以排除选项B、D.又当x从原点的右侧趋向于0时，y>0，所以排除选项C.选A.

小结 遇到函数的图像关于原点或y轴对称时，我们应考虑函数的奇偶性在解题中的活用.

技巧2：利用函数的单调性解答

例2 （2014年高考密码模拟卷）函数y=esin x（-π≤x≤π）的大致图像是

难度系数 0.63

分析 观察选项可知，各选项中函数的单调性互不相同，由此启迪我们：本题可借助函数的单调性加以灵活分析.

解 令u=sin x（-π≤x≤π），则y=eu，显然该函数单调递增.于是，结合正弦函数的单调性以及复合函数的同增异减法则，可知：当-π≤x<-■时，y=esin x单调递减；当-■≤x≤■时，y=esin x单调递增；当■

小结 遇到各选项中函数图像的单调性互不相同时，我们一般应考虑函数的单调性在解题中的活用.有时，我们也可考虑取特殊值，利用排除法解答.如本题中取x=■，则ymax=e，排除选项A、B、C，可知选项D正确.

技巧3：利用二次函数的特性解答

例3 （2014年高考博恩单元卷）对数函数y=logax与二次函数y=（a-1）x2-x在同一坐标系内的图像可能是

难度系数 0.68

分析 注意到二次函数y=（a-1）x2-x的常数项为零，所以对应方程的根容易求得，且二次项系数a-1与零的大小关系不但决定其图像的开口方向以及与x轴的交点位置，而且还决定对数函数的单调性.据此，在分类讨论的基础上，本题可顺利获解.

解 当01时，二次函数的图像开口向上，且与x轴的两个交点中一个是坐标原点，一个在x轴的正半轴上，所以选项B错误.又此时对数函数单调递增，所以选项D错误.选A.

小结 一般地，遇到二次函数与指数函数、对数函数在图像方面的交汇问题时，我们需要特别关注二次函数图像的开口方向、对称轴的位置以及与坐标轴的交点情况.

技巧4：利用指数函数、对数函数的特性解答

例4 （2014年高考博恩专题卷）已知函数f（x）=（x-a）（x-b）的图像如图所示，则函数g（x）=（■）x+b的图像是

难度系数 0.58

分析 从已知函数的图像出发，我们可得到参数a，b各自的取值范围.从解题目标来看，关键是确定指数函数y=（■）x的单调性，并充分利用指数函数的图像恒过定点（0，1）来解答.

解 由函数f（x）=（x-a）（x-b）的图像，可知a>1，-10.选A.

小结 遇到与指数函数或对数函数有关的函数图像问题时，我们可灵活运用指数函数或对数函数的图像与性质来加以分析.

技巧5：利用求导法解答

例5 （原创题）函数f（x）= xln|x|的图像大致是

难度系数 0.63

分析 当x>0时，原函数可化简为f（x）= xln x，而该函数又便于求导，所以我们可借助导函数来分析原函数的单调性，这样就确定了y轴右侧的大致图像.再利用函数的奇偶性，即可迅速确定y轴左侧的大致图像.

解 当x>0时，由于f（x）= xln x，所以f ′（x）=ln x+1.令f ′（x）>0，可得x>■；令f ′（x）<0，可得0

小结 当函数的解析式中涉及形如ln x，ex，xn等便于求导的函数时，我们可考虑求导法在解题中的灵活运用.

（作者单位：陕西西安市临潼区马额中学）

（责任编校？筑周峰）

技巧1：利用函数的奇偶性解答

例1 （2014年西安高级中学月考卷）设曲线 f（x）=x2+1，其图像上任意一点（x， f（x））处的切线的斜率记为 g（x），则函数y= g（x）cos x的部分图像可以为

难度系数 0.65

分析 观察选项可知，选项A、C为奇函数的图像，选项B、D为偶函数的图像，由此启迪我们：本题可借助函数的奇偶性加以灵活分析.

解 根据导数的几何意义，可知 g（x）=2x，所以y= g（x）cos x=2xcos x.再结合奇偶性的定义，可知函数y= g（x）cos x是奇函数，所以排除选项B、D.又当x从原点的右侧趋向于0时，y>0，所以排除选项C.选A.

小结 遇到函数的图像关于原点或y轴对称时，我们应考虑函数的奇偶性在解题中的活用.

技巧2：利用函数的单调性解答

例2 （2014年高考密码模拟卷）函数y=esin x（-π≤x≤π）的大致图像是

难度系数 0.63

分析 观察选项可知，各选项中函数的单调性互不相同，由此启迪我们：本题可借助函数的单调性加以灵活分析.

解 令u=sin x（-π≤x≤π），则y=eu，显然该函数单调递增.于是，结合正弦函数的单调性以及复合函数的同增异减法则，可知：当-π≤x<-■时，y=esin x单调递减；当-■≤x≤■时，y=esin x单调递增；当■

小结 遇到各选项中函数图像的单调性互不相同时，我们一般应考虑函数的单调性在解题中的活用.有时，我们也可考虑取特殊值，利用排除法解答.如本题中取x=■，则ymax=e，排除选项A、B、C，可知选项D正确.

技巧3：利用二次函数的特性解答

例3 （2014年高考博恩单元卷）对数函数y=logax与二次函数y=（a-1）x2-x在同一坐标系内的图像可能是

难度系数 0.68

分析 注意到二次函数y=（a-1）x2-x的常数项为零，所以对应方程的根容易求得，且二次项系数a-1与零的大小关系不但决定其图像的开口方向以及与x轴的交点位置，而且还决定对数函数的单调性.据此，在分类讨论的基础上，本题可顺利获解.

解 当01时，二次函数的图像开口向上，且与x轴的两个交点中一个是坐标原点，一个在x轴的正半轴上，所以选项B错误.又此时对数函数单调递增，所以选项D错误.选A.

小结 一般地，遇到二次函数与指数函数、对数函数在图像方面的交汇问题时，我们需要特别关注二次函数图像的开口方向、对称轴的位置以及与坐标轴的交点情况.

技巧4：利用指数函数、对数函数的特性解答

例4 （2014年高考博恩专题卷）已知函数f（x）=（x-a）（x-b）的图像如图所示，则函数g（x）=（■）x+b的图像是

难度系数 0.58

分析 从已知函数的图像出发，我们可得到参数a，b各自的取值范围.从解题目标来看，关键是确定指数函数y=（■）x的单调性，并充分利用指数函数的图像恒过定点（0，1）来解答.

解 由函数f（x）=（x-a）（x-b）的图像，可知a>1，-10.选A.

小结 遇到与指数函数或对数函数有关的函数图像问题时，我们可灵活运用指数函数或对数函数的图像与性质来加以分析.

技巧5：利用求导法解答

例5 （原创题）函数f（x）= xln|x|的图像大致是

难度系数 0.63

分析 当x>0时，原函数可化简为f（x）= xln x，而该函数又便于求导，所以我们可借助导函数来分析原函数的单调性，这样就确定了y轴右侧的大致图像.再利用函数的奇偶性，即可迅速确定y轴左侧的大致图像.

解 当x>0时，由于f（x）= xln x，所以f ′（x）=ln x+1.令f ′（x）>0，可得x>■；令f ′（x）<0，可得0

小结 当函数的解析式中涉及形如ln x，ex，xn等便于求导的函数时，我们可考虑求导法在解题中的灵活运用.

（作者单位：陕西西安市临潼区马额中学）

（责任编校？筑周峰）