论高考中的三角函数

李敬红

【摘 要】三角函数是中学数学的主要内容，是高考的重点，也是高考的热点。因此学好三角函数很重要。通过对高考试题的研究，总结出高考中三角函数的命题特点及如何复习好高考中的三角函数。

【关键词】三角函数典型例题复习建议

三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他学科领域中具有非常广泛的应用，因此，它是高中数学乃至高等数学的重要基础知识之一。高中新课程标准中的三角函数主要内容包括三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系、三角函数的图象和性质、两角和与差的三角函数、简单的三角恒等变换以及解三角形。新课程高考重视对三角函数的图象和性质的考查，重视对三角函数基础知识和基本技能的考查，重视对解三角形的考察。

一、高考中三角函数的考点分析

近几年高考对三角函数部分的考察保持了三个稳定（内容、题量、分值），一般在选择填空和解答题的17、18题出现，分值一般占10%左右。难度适中（中等难度或难度较小极个别的省份难度较大）。其考查方向主要涉及三个方面：一是三角函数的图象和性质：（三角函数的图象和性质是高考考查的重点，是学生学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决实际生产问题的工具，是解答题的主要题型。常与向量的数量积，向量的平行、垂直、夹角及模长公式有不同程度的交汇。）；二是简单的的恒等变换（三角恒等变换主要用于化简，求值和求解三角函数性质的问题，常出现在选择填空中或是解答题的一部分）；三是解三角形问题（解三角形在高考中主要利用正弦定理、余弦定理进行边角互化解三角形中的边和角及解决实际问题）。考查的知识点有三角函数的定义、诱导公式、三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、三角函数的值域（包括最值）、图象对称性、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，正弦定理、余弦定理。解题过程一般是先进行恒等变换，再利用三角函数图象和性质解题。对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、化简能力、抽象概括能力、综合应用知识解决问题的能力。体现的数学思想有化归转化思想、分类讨论思想、函数思想、数形结合的思想、方程的思想换元的思想、整体代换的思想等。

二、高考中三角函数的典型例题

1.三角恒等变换

例：（2013年高考江西（理）第11题）

函数的最小正周期为T为_______

答案：π分析：试题难度较小 ；考点：二倍角公式的变形公式、辅助角公式和三角函数的周期公式

2.解三角形

例：（2013年高考陕西卷（理）第7题）

设△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，若，则△ABC的形状为A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定

【答案】B 分析：将边化成角；试题难度中等，考察转化意识和求解能力

同类型：2013年高考辽宁数学（理）第6题，2013年高考湖南理第3题

3.知识点交叉：可以让三角函数与向量与数列等结合，考察知识的全面性和完整性。

例：（2013年高考陕西卷（理）第16题）

， 设函数。

（Ⅰ） 求的最小正周期.

（Ⅱ） 求在上的最大值和最小值.

分析：试题难度较小；知识点：向量数量积，三角恒等变换，三角函数的图像和性质；能力：化简能力，计算能力；同类型题：2013年辽宁省理第17题

三、高考三角函数的复习建议：

1．重视公式的复习，特别是公式之间的内在联系

三角函数的公式是进行三角计算和化简的基础，是三角变换的工具。三角函数公式虽多，但它们之间都有一定的内在联系。比如：诱导公式具有“奇变偶不变符号看象限”的共同特点；两角和与差的余弦公式是两角和与差的其他公式及倍角公式的母公式。因此在复习中教会学生理清公式间的关系，在理解的基础上熟悉并记忆，还要注重公式的变形和逆用。

２．注重三角函数解题规律的总结

由于三角函数的公式多，所以问题变化多。这就要求我们在复习三角函数的过程中除重视公式的复习还要关注三角函数解题过程规律的总结。比如化简求值常用到的方法：角的配凑，切割化弦，平方降幂，辅助角公式等。与三角函数的性质有关的问题要先有意识地运用公式转化为一角的一种三角函数的形式再利用整体代换的思想求解等。至于解三角形的问题可借助正、余弦定理进行边角互化。

3．强化数学思想，培养数学思维

在三角函数的复习中，引导学生用函数的观点理解三角函数，强调三角函数不同于其他函数的基本性质（周期性），用数形结合的思想增加学生学习数学的兴趣和积极性。在三角函数的学习中我们会学到：转化与化归（角与角的转化，角与边的转化，函数名的转化），函数与方程，换元，整体代换等数学思想，通过强化这些数学思想使学生更好地理解掌握三角函数。