基于模态能量分析的结构滞回能量估算方法

王 丰，孙建刚

(大连民族学院土木建筑工程学院，辽宁大连116605)

结构在地震中的运动反应是一个耗散能量的 过程，用结构在地震下的累积能量来分析和评估结构的抗震性能更具合理性。近年来基于能量的抗震设计理论和方法得到了一定的发展［1-3］。基于能量的抗震设计就是要使结构或构件的耗能能力大于地震作用下结构或构件的耗能需求。

目前，对能量设计方法的研究主要集中在两个方面:能量反应谱研究和结构能量反应研究。对于能量反应谱，学者们提出了各种各样的能量谱，并进行系统研究，如输入能量谱(Amiri和Darzi［4］;Benavent 等［5］)、滞回能量谱(Danny 和Mario［6］;公茂盛和谢礼立［7］)、吸收能量谱(Chou和 Uang［8］)、瞬时输入能量谱(陈逵和刘哲锋［9］)等。对结构能量反应的研究方面包括:结构的能量如何计算;结构的能量反应与结构的其他地震反应之间存在什么样的关系，如何综合各种反应指标评判结构的抗震性能等等。目前这些问题的研究只处于理论探讨和数值分析阶段(陈逵和刘哲锋［10］;Wong 和 Liu［11］;陆铁坚和秦素娟［12］)，很多研究只针对剪切型结构(经杰、叶列平和钱稼茹［13］;胡冗冗和王亚勇［14］)。

地震下结构的滞回耗能是评估结构及构件累积损伤程度的重要指标，通过能量谱来估算结构滞回能量简单，且具有统计意义。目前，滞回能量反应谱的研究已经得到了一定的发展，建立能量谱与结构耗能之间的关系则是当前需解决的关键问题，文章正是针对此问题展开研究。

1 基本原理

1.1 能量关系方程

考虑一幢n层对称结构，假设结构各楼层的水平恢复力特性为理想弹塑性，该结构在单向水平地震作用下的能量平衡方程为

式(1a)中，u(t)为结构各层质心处的瞬时相对位移向量;F(t)为结构的恢复力向量，可表示为Kep(t)u(t)，其中Kep(t)为系统的瞬时切线刚度阵;M和C分别为结构的质量矩阵和阻尼矩阵。式(1a)中的各项分别为结构的动能Ek、阻尼能Ed、滞回能Eh和相对输入能EI。式(1b)为其简化表达式。

将弹性模态分解的思路引入弹塑性分析中，假设弹塑性位移向量可以分解为

式中，Φ为振型矩阵，φi为第i阶振型向量。将式(2)代入式(1a)，有

根据振型正交性，式(3)可以转换为

式中，Fi(t)= φiTKep(t)φixi(t);γi为第 i阶振型参与系数。式(4a)可以看作结构的楼层侧向位移按振型φi分布的虚拟振动反应状态下的能量平衡方程。式(4a)中各项分别为动能Eki、阻尼能Edi、滞回能Ehi和输入能EIi。式(4b)为其简化表达式。式(4a)两侧同除以φTMφγ2，有iii

式(5a)中，qi(t)=xi(t)/ γi;Feq，i(t)= φiTKep(t)φiqi(t)。此式可以看作质量为1的各阶模态等效单自由度(简称SDOF)体系在地震动作用下的能量平衡方程，式(5b)为其简化表达式。

根据文献［15］的推导，可以得到如下关系:

式中，meqi=φiTMφi;下标 X 分别表示 k、d、h 和 I，对应着四种能量项。

1.2 弹塑性模态振型假设

定义楼层位移反应不均匀系数为

其中，Δdij为按第i阶振型模式的 Pushover得到的对应某基底剪力的第j楼层的层间位移，Δdmi为相应的n个楼层的平均层间位移。可以对结构按第i阶振型模式进行Pushover分析，随着推覆力的增大得到一系列的αi值，取αi最大值所对应的侧向位移模式为φp，i。定义归一化方法:n个楼层的绝对位移值(或楼层振型值)之和等于1。对弹性振型φi和侧向位移模式φp，i进行归一化处理。

由于传统等效SDOF体系是基于振型不变的假设，然而在塑性反应阶段结构的振型为瞬时振型。为使方法便于操作，在等效SDOF体系及能量转换过程中，设第i阶的弹塑性等效振型为

1.3 能量估算步骤

(1)将结构按各阶模态等效为多个SDOF体系，通常取结构的前3～5阶模态。计算各阶模态等效SDOF体系的等效质量、等效阻尼。

(2)设各阶模态等效SDOF体系的恢复力特性均为理想弹塑性。通过Pushover分析的方法得到结构基底剪力-顶层位移的能力曲线，然后简化为双线性形式，进一步可转化为等效SDOF体系的力-位移关系。第i阶模态推覆力分布模式为

(3)通过弹塑性滞回能量反应谱或者对等效SDOF体系输入地震动的方法确定第i阶模态等效SDOF体系的滞回能量值ehi(t)，其中i=3～5。

(4)将ehi(t)代入式(6)，计算结构总滞回能量。

2 算例分析

2.1 算例说明

考虑1幢6层建筑，针对《建筑抗震设计规范》给出的I、II、IV类场运用按振型分解反应谱方法设计楼层的抗剪强度，这样相当于3座6层建筑。为了比较分析的方便，将算例建筑简化为3个多自由度体系，建筑层高均设为3.6 m，侧向刚度及屈服剪力系数沿楼层的分布均设计为均匀分布，楼层的力-位移模型采用双线性理想弹塑性模型，阻尼采用Rayleigh阻尼，阻尼比取5%。楼层重量、振型、周期及楼层抗剪强度见表1。

表1 算例结构基本信息表

2.2 地震记录的选取

将场地条件分为硬土(I)、中硬(软)土(Ⅱ)、软土(Ⅳ)三类。每类场地选4条地震记录，三类场地共12条，见表2。地震加速度峰值调整为4 m·s-2。

表2 地震记录表

2.3 滞回能量估算分析

对算例工程分别采用非线性动力反应能量分析(简称NL-EA)法和模态能量反应分析(简称MEA)法，计算在选取地震动记录作用下的结构整体滞回能量，并将两种方法的结果进行比较分析。

分别运用NL-EA法和本文提出的模态能量分析(简称MEA)法计算得到结构总滞回能量值，见表3。其中NL-EA方法的结果可看作精确解，MEA方法的结果与精确解的偏差也列于表中。从表3可知，三类场地下MEA法估算滞回能量的平均偏差分别为9.4%、4.6%和12%。总平均偏差为8.7%，说明通过MEA方法得到的结构整体滞回能量时程在趋势上与精确解符合较好。

分析偏差与各地震动特点可知:高振幅持时较长的地震动作为输入时，能量估算偏差较大;相反，高振幅持时短或出现少数明显的峰值加速度的地震动作为输入时，估算偏差则较小。分析原因:地震作用下结构经过往返多次大位移变形后，它的整体恢复力关系(顶层位移-基底剪力)与其等效SDOF体系的恢复力关系的差异会逐渐增大，基于模态的能量估算偏差自然也会很大;相反，只经历少数几次大的变形则偏差会较小。

表3 结构整体滞回能量表

采用MEA方法和NL-EA方法得到的结构整体滞回能量时程如图1-图3。从图中可以看到，基于MEA方法与NL-EA方法的滞回能时程在趋势上符合较好。对于能量偏差较大的情况，通常在时程开始阶段偏差较小，随着持时增加结构耗能逐渐增大，偏差也逐渐增加。分析原因:MEA方法是基于模态等效SDOF体系假设，而等效SDOF体系分析适用于塑性反应较小时，当塑性反应增大，特别是往复塑性反应增大，其准确度也相应降低。

图1 硬土场地下通过MEA法和NL-EA法计算得到的滞回能量时程比较

图2 中硬(软)土场地下通过MEA法和NL-EA法计算得到的滞回能量时程比较

图3 软土场地下通过MEA法和NL-EA法计算得到的滞回能量时程比较

3 结论

借鉴模态Pushover分析理论的思路，假设结构的弹塑性能量反应近似等于结构模态分解后各阶模态能量反应的叠加，用“等效振型”替代弹性振型，通过推导得到结构模态等效SDOF体系能量值与结构模态反应能量值的关系，进而建立通过模态能量分析估算结构滞回能量的方法。按硬、中、软土三类场地设计3座6层建筑，采用三类场地选取的12条地震动作为激励进行能量分析，结果表明:

(1)通过MEA方法得到的结构整体滞回能量时程在趋势上与精确解符合较好;

(2)对于高振幅持时较短或出现少数明显峰值加速度的地震动，MEA方法的能量估算偏差较小;而对于高振幅持时较长的地震动，MEA方法的能量估算偏差较大。

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