浅谈一元二次不等式的解法

孙丽香

摘 要：一元二次不等式是初中一元一次不等式及一元一次不等式组的延续和深化，并且与后面的函数、数列等内容密切相关。它是中等数学的一个重要内容，通过归纳一元二次不等式的解法，可以学生提高解一元二次不等式的能力。

关键词：一元二次不等式；中等数学；解法

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式为：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）。当a<0时，我们可以运用不等式的性质（不等式左右两边同时乘以-1，不等号的方向改变），把二次项系数转化为正数。下面我们以a>0的情况来举例说明一元二次不等式的几种解法。

一、因式分解法

当一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2时，运用因式分解法可将ax2+bx+c因式分解为a（x-x1）（x-x2）再根据积的符号法则（两个数相乘，同号得正，异号得负），将原不等式转化为两个一元一次不等式。它们的解集的并集就是一元二次不等式的解集。

例1 解不等式：x2+5x+4>0.

解：因为△=b2-4ac=52-4×1×4=

9>0 ，则x2+5x+4=（x+4）（x+1）

所以原不等式可化为

（x+4）（x+1）>0

=

x+4>0 或 x+4<0

x+1>0 x+1<0

不等式组A的解集为（-1，+∞）

不等式組B的解集为（-∞，-4）

所以原不等式的解集为（-1，+∞） ∪（-∞，-4）。

二、配方法

配方法是利用完全平方公式把ax2+bx+c转化为a（x+h）2+k的形式。因为a（x+h）2≥0，所以，当k<0时，一元二次不等式可以用因式分解法解；当k=0时，ax2+bx+c>0的解集是{x│x≠-h}，a（x+h）2≥0的解集R，ax2+bx+c<0的解集是φ，a（x+h）2≤0的解集是{x│x=-h}；当k>0时，ax2+bx+c>0及ax2+bx+c≥0的解集是R，ax2+bx+c<0及ax2+bx+c≤0的解集是φ。

例2解不等式：x2+6x+9>0。

因为x2+6x+9=（x+3）2 ，所以原不等式可转化为（x+3）2 >0.只要x+3≠0，即 x≠-3，（x+3）2 >0. 所以原不等式的解集为{x│x≠-3}。

三、图像法

图像法是利用一元二次不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像，结合直角坐标系中点的坐标特征求出不等式解集的方法。

通常，利用二次函数y=ax2+bx+c的图像解相应的一元二次不等式，可以分为三步：第一步：确定相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac，从而确定二次函数图像与x轴的位置关系；如果有交点，则利用方程 ax2+bx+c=0解出其交点的横坐标；第二步：画出相应二次函数y=ax2+bx+c的简图；第三步：观察简图，写出不等式的解集。

例3 解不等式：x2+3x+4<0。

解：由判别式△=b2-4ac=-7<0可知，函数y=x2+3x+4的图像与x轴无交点，其简图如图所示。

观察图像，可得不等式x2+3x+4<0的解集为φ。

四、根轴法

根轴法是利用方程ax2+bx+c=0的根和x轴解一元二次不等式的方法。

当一元二次不等式的二次项系数大于0，相应的一元二次方程判别式大于0时，可以先将二次三项式因式分解，求出相应一元二次方程的解。如果不等式符号小于0，则它的解集为两解之间；如果不等式符号大于0，则它的解集为两解之外；如果不等式符号含等于的，则它的解集包括两解。

例4 解不等式：x2+5x>0。

解：x2+5x>0

=

x（x+5）>0，因为方程x（x+5）=0 的两个解为x1=-5，x2=0，所以不等式x2+5x>0的解集为（-∞，-5） ∪（0，+∞）。

参考文献：

[1]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯，2004（03）.

[2]贺小虎.一元二次不等式的新解法[J].雁北师范学院学报，2005（02）.

（作者单位：深圳市第二职业技术学校）