受限支付的强ε-核心博弈理论研究

杨 婷

（西安财经学院，陕西 西安 710000）

一、引言

博弈论作为描述现实世界中包含矛盾、冲突、对抗、合作诸因素的理论和方法，在管理、经济、军事等各个学科领域都得到了迅猛的发展和应用。合作博弈作为博弈论的一个重要分支，主要考虑如何分配的问题。合作博弈理论研究的中心问题是研究博弈的各种解，也就是研究如何将合作的收益公平合理地分配给每个合作的参与者。Shapley、Aumann、Maschler、Schimeidler等提出了一系列合作博弈的解，如Shapley值、核心、稳定集、谈判集等，建立和完善了合作博弈的值理论。

Gillies引进了被称之为核心的一个解概念，一个博弈的核心包含这样的支付向量，每个联盟成员的收益和应不少于联盟的收益。核心是研究最多的解概念之一，但在很多情况下，核心也是空的。在此基础上，Shapley和Shubik提出了强ε-核心。

二、具有受限支付的合作博弈

定义2.1：具有特征函数形式的n人合作博弈是一个有序对（N,υ），其中N＝｛1,2,……，n｝是参与者的集合，任何的非空子集称为一个联盟，υ是一个定义在N的子集上的，满足υ（φ）=0的实值函数（称为特征函数）。

定义2.2：博弈（N,υ）的分配的定义为一个向量x=(x1,x2,…，xn),满足(i)Σi∈Nxi=υ(N),(ii)x1≥υ({i})对所有i∈N都成立。

定义2.3：博弈（N,υ）的预分配的定义为一个向量x=(x1,x2,…，xn),满足：

Σi∈Nxi=υ(N)

在预分配中，保留了分配中的群体合理条件，而舍去了个体合理条件。

定义2.4：n人合作博弈（N,υ）是超可加，如果对N的所有子集S,T都有υ(S∪T)≥υ(s)+υ(T)。

定义2.5：n人合作博弈（N,υ）是单调的，如果对满足S⊆T的N的所有子集S,T都有υ(s)≤υ(T)。

注：如果（N,υ）是非负超可加博弈，则（N,υ）是单调的。

定义 2.6：令 0

(i)Σi∈Nxi=rυ(N),(ii)xi≥ciυ({i})对所有 i∈N都成立。

注意：r=max{ci:i∈N}对定义2.5中两个条件的一致性是必要的。

定义 2.7：令0

定义 2.8：令 c=(c1,c2,…，cn)，0y，如果：

(i)xi>yi对所有i∈S成立,

(ii)Σi∈Sxi+|S|ε≤max{ci:i∈N}V(S)。

定义 2.9：给定c=(c1,c2,…，cn)，0

定理2.10：非负超可加博弈（N,υ）的广义强ε-核心，是满足下面两个条件的n维向量x=(x1,x2,…，xn)的集合：

(i)Σi∈Nxi=rυ(N),(ii)Σi∈Sxi+|S|ε≥max{ci:i∈N}υ(S)对所有 S⊆T都成立。

证：当 S={i}时，条件(ii)退化为 xi+ε≥ciυ(S)，假定 x满足条件(i)和条件(ii)，并且对所有的 i∈S，满足 yi>xi，那么：

这意味着y优超x是不可能的，因此x∈C*ε（υ）。

反之，假定x是一个不同时满足条件(i)和条件(ii)的n维向量。如果x不满足条件(i)，那么x不是一个广义预分配，因此x∉C*ε（υ）。如果x不满足条件(ii),这意味着对某个非空S⊆T，则：

令：

则α>0，令：

令：

显然有：当i∈S时，yi>0；而当i∉S时，由于：

那么y是一个广义分配。

很明显，

所以 y>x,意味着 x∉C*ε（υ）。

则yi不是一个广义核心。

三、广义强ε-核心的性质

定理 3.1：若 ε1>ε2，则有

定义3.2：n人合作博弈 (N,υ)，ε0是使得广义强ε-核心C*ε（υ）≠φ 的最小 ε，称为博弈的最小广义核心，记为LC*。

显然，若取r=1,ε=0时，广义最小强ε-核心就是通常意义下的核心，即LC*=C（υ）。

定理 3.3:令 0

Minimizez=ε

Subject toΣi∈Nxi=rυ(N),

Σi∈Sxi+|S|ε≥max{ci:i∈N}υ(S)

该线性规划的解ε*,即为所求最小ε*核心对ε要求，而其余解x*=(x1*,x2*,…xn*)则是最小ε-核心在C*ε（υ）中所含的分配方案。

证:很显然，如果 x∈C*ε（υ），由定理2.10，则x满足上述线性规划条件。

反之，假定线性规划在x*=(x1*,x2*,…xn*)处取得最小值ε*，其包含在 C*ε（υ）所含的分配方案,使得 C*ε（υ）≠φ，证毕。

例3.4：设有一个三人博弈(N,υ)，其中N={1,2,3}，特征函数的取值如下:很明显，该博弈是非负超可加的，且其核心是空集。这是因为核心的分配必须满足：

x1≥0,x2≥0,x3≥0

x1+x2+x3=1,

由后面的三个不等式得：

与x1+x2+x3=1矛盾，所以核心是空集。

此时，强ε-核心非空。

此时，广义强ε-核心非空。

四、结语

广义强ε-核心是对强ε-核心的进一步扩展，是对核心研究内容和方法的丰富。在广义分配概念的基础上，本文推广了传统合作博弈核心的概念，得到了广义强ε-核心，并且对广义核心建立了类似于已有的一些关于核心的基本结果。

[1]Neumann von J，Morgenstern O.Theory of Games and Economic Behavior.Princeton:Princeton University Press，1944.

[2]Gillies D B.Some Theorems on n-person Games.Ph.D Thesis，Princetn:Princeton University Press，1953.

[3]Owen G.Game Theory.New York：Academic Press，1955.

[4]刘小冬，刘九强，胡健.具有受限支付的合作博弈研究，应用数学学报，2012.