二维槽道流动聚合物减阻的数值模拟参数研究

张劲柏，卢天祥

(北京航空航天大学 a.航空科学与工程学院;b.中法工程师学院，北京 100083)

聚合物湍流减阻是指在湍流中添加极少量的聚合物高分子物质而使得湍流作用于固体表面的摩擦阻力减小的现象。但是，对于这个现象的认识目前还很不清晰，尚未建立起令人信服的物理图像解释，定量的理论更是缺乏。

Toms［1］最先发现聚合物湍流减阻现象，其实验结果表明:在湍流内流的有机溶液中溶解极少量的聚甲基丙稀酸甲脂后其阻力大幅度降低。在随后的几十年，人们对这种现象进行了大量的实验研究和理论探索。

Virk［2］的实验揭示出聚合物湍流减阻onset现象和最大减阻现象。在理论方面，1973年Lumley提出了时间判据理论;1990年De Gennes提出了弹性理论。

近些年，人们利用直接数值模拟研究聚合物湍流的减阻机理。Sureshkumar等［3］和Dimitropoulos等［4］应用谱方法成功实现了聚合物槽道湍流的直接数值模拟。2003 年，Housiadas和 Beris［5］研究比较了各无量纲参数对聚合物槽道湍流的影响。

为了初步了解聚合物流动的无量纲控制参数在聚合物湍流减阻中所起的作用，本文应用二维槽道聚合物流动的直接数值模拟对这些无量纲控制参数进行了研究，旨在扩充人们对聚合物流动减阻现象的了解，同时对三维聚合物槽道流动直接数值模拟起到指导作用。

1 控制方程与数值方法

本文聚合物分子采用FENE-P模型，计算中采用的控制方程的表现形式为:

式(1)中 Re= ρuτδ/η0为 Reynolds数，其中:uτ为壁面摩擦速度;δ为槽道的半宽;η0为零剪切聚合物溶液黏性系数;We=λuτ/δ为 Weisenberg数;β=ηs/ηp为黏度比，ηs是溶剂的黏性系数，ηp=η0－ηs是聚合物对零剪切溶液黏性系数的贡献。

本文采用的谱方法是Galerkin Cheby-shebv-Tau方法，即在流向和展向采用周期性边界条件的Fourier级数展开，在法向用Chebshev多项式展开。时间推进采用二阶时间分裂格式。有关数值方法请参见文献［6］。

本文的计算区域大小为4π(［－1，1］，网格数为128(129，计算的流动状态包括 Reτ=180，220，250(分别对应于 Rem≈4600，6000，7000)，We=0.01，0.1，1.0，β=1.0，0.975，0.95，0.925，0.9。本文采用的是定压降的计算，减阻的效应表现为流量的增加。在所有的算例中，FENE-P模型中的参数L=10。

2 无量纲参数对减阻的影响

2.1 黏度比β对湍流减阻的影响

黏度比β主要反映的是聚合物溶液中聚合物分子的浓度。β=1.0对应的浓度为0，降低β值则对应着浓度的增加。

图1 是 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0 时流量Q随β的变化曲线。在图1中可以看到:当We=0.01时，流量随β的变化是线性的;当We=0.1时，从 β=1.0一直到 β=0.925范围流量的变化也一直是线性的;当β再降低到0.9时，流量突然有很大的增加，实际上这时候的流量达到了层流流态Poiseuille流的流量。从脉动速度图2也可以看出:此时的流态确实发生了转变，脉动消失，流动变成了层流。We=1.0的情况与We=0.1的情况相似，开始流量随β的变化一直是线性的，在β=0.925时，流态发生了转变，层流化了。

图1 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0 时流量Q随β的变化曲线

图3 和 4 分别是 Reτ=180，We=0.01，0.1，1.0 和 Reτ=250，We=0.01，0.1，1.0 时流量 Q 随β的变化曲线。总体上图3、4与图1相似，稍微有些不同在于:当 Reτ=180及 We=0.1时，流动的层流化提前了，在 β=0.925时就层流化了;当Reτ=250 及 We=0.1 时，从 β=1.0 到 β=0.9，流量的变化一直是线性的，流动没有层流化;而当Reτ=250及We=1.0时，流动的层流化推迟了，在β=0.9时才层流化。

图2 Reτ=220 及 We=0.1，β=0.9 时的脉动速度

图3 Reτ=180 及 We=0.01，0.1，1.0 时流量Q随β的变化曲线

图4 Reτ=250 及 We=0.01，0.1，1.0 时流量Q随β的变化曲线

综观这3幅图可看出:随着聚合物浓度的增加，聚合物对湍流流动的影响逐渐增强，直至将湍流完全抑制，使流动层流化。这种情况与实验结果定性地一致［7］。图2～4还表明:在湍流的情况下，随着聚合物浓度的增加，聚合物的减阻作用呈线性地增加。

2.2 Weisenberg数对湍流减阻的影响

图1，3，4同时显示了Weisenberg数对流动的影响。当 We=0.01，β=0.975，0.95，0.925，0.9时的流量与牛顿流体槽道湍流的流量(β=1.0)基本相同。这说明此时聚合物对湍流减阻没有作用和影响。而当 We=0.1，β=0.975，0.95，0.925，0.9时的流量比牛顿槽道湍流的流量(β=1.0)有显著提高。这说明We在0.01～0.1时存在一个阈值，只有超过此值减阻现象才会出现，这非常类似于实验中观察到的onset现象。进一步提高Weisenberg数，当 We=1.0，β=0.975，0.95 时的流量与相应的We=0.1，β=0.975，0.95 时的流量相比只有些微增长，其增长的幅度远远低于Weisenberg数从0.01变动到0.1时相应流量的增长幅度。这说明减阻存在极限，与实验结果类似，存在渐进最大减阻。

图3和4显示了与上面所述相同的特征。这些特征在平均速度剖面图和脉动速度均方根剖面图中表现得更为清晰。图5和6分别是当Reτ=220，We=0.01，0.1，1.0，β=0.95 时相应的牛顿槽道湍流的平均速度剖面图和脉动速度均方根剖面图。由图可见，We=0.01的曲线和牛顿流体槽道湍流的曲线非常接近;而We=1.0的曲线和We=0.1的曲线非常接近。这些正是上述特征的体现。从脉动速度均方根剖面图6还可以看出:聚合物降低了湍流的脉动。应力平衡图7也显示聚合物降低了湍流中的Reynolds应力，这与实验结果定性的一致。

图5 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0，β=0.95时的平均速度剖面

图6 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0，β=0.95时的脉动速度均方根剖面

图7 Reτ=220，We=0.1，β=0.95 时的应力平衡图

上述的情况表明:Weisenberg数对湍流的影响比较复杂。一般而言，增加We，则聚合物对湍流的影响是增加的，但这种增加是高度非线性的。这里存在着onset现象和渐进最大减阻现象。

2.3 Reynolds数对湍流减阻的影响

在定压降的情况下，减阻的效应表现为流量的增加，此时的减阻效率为

式(2)中:CF= τw/(ρ)为表面摩擦系数;QP为聚合物槽道湍流的流量;QN为牛顿流体槽道湍流的流量。

表1列出了不同参数情况下的湍流减阻效率，从中可以看出一个基本的趋势是:随着Re数的增加，湍流减阻效率趋于降低。实际上，在聚合物流动的所有3个无量纲参数中，只有黏度比β和We直接与聚合物有关，其数值大小代表了聚合物与湍流相互作用的强弱。而Reynolds数只是流体流动的无量纲参数，与聚合物没有直接的关系，其数值大小代表的是湍流的强弱。在固定黏度比β和We的情况下，Re数越大，湍流越强，则聚合物对湍流的作用相对来说就越弱。

表1 不同参数情况下的湍流减阻效率

这样的趋势实际上已经隐含在图1～3中。注意到，随着β值的持续减小，湍流将完全被抑制而转化为层流。这种转化发生的β临界值随着Re和We的增加是降低的，正说明了随着Re的增加，聚合物对湍流的作用相对变弱。为了将湍流完全抑制，只有增加聚合物的浓度或提高We以加大聚合物对湍流的作用。

3 结束语

对计算结果的分析表明:Reynolds数对湍流减阻的影响是间接的，直接的控制参数是黏度比β和Weisenberg数。在一定范围内，β对于减阻的作用是线性的，而Weisenberg数对湍流的影响比较复杂，这里存在着onset现象和渐进最大减阻现象，因此，Weisenberg数是更为重要的控制参数。

［1］Toms B A.Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at large Reynolds numbers［C］//Proc.1st Intl Congr.Rheol.North Holland:［s.n.］，1949:135 －141.

［2］Virk P S.Drag reduction in rough pipes［J］.J Fluid Mech，1971，45:225 －246.

［3］Sureshkumar R，Beris A N，Handler R A.Direct numerical simulation of theturbulent channel flow of a polymer solution［J］.Phys Fluids，1997，9:743 －754.

［4］Dimitropoulos C D，Sureshkumar R，Beris A N.Direct numerical simulation of viscoelastic turbulent channel flow exhibiting drag reduction:effect of the variation of rheological parameters［J］.J Non-Newtonian Fluid Mech，1998，79:433 －468.

［5］Housiadas K D，Beris A N.Polymer-induced drag reduction:Effects of the variations in elasticity and inertia in turbulent viscoelastic channel flow［J］.Phys Fluids，2003，15:743 －754.

［6］许春晓.槽道湍流的直接数值模拟［D］.北京:清华大学，1995.

［7］Lumley J L.Drag reduction by additives［J］.Annu Rev Fluid Mech，1969(1):367 －384.