“纸飞机”型基本图形的结论及其应用

颜美玲

[摘 要] 平面几何是初中数学的重要内容，而看似复杂的几何图形往往是由基本图形组合得到的，因此，教师在教学中应重视对基本图形的结论及其应用的挖掘和探究.

[关键词] 三角形；基本图形

我们知道，复杂的图形都是由基本图形组合而成的，若能从复杂的图形中抽离出基本图形，并将基本图形的结论加以应用，势必能化繁为简. 下面，我们来分析常见的图形——“纸飞机”型的基本图形，本文给出了关于角和边的两个结论，这两个结论可以用来简洁地解决有关竞赛题，现举例说明其应用.

“纸飞机”型关于角的结论及

其应用

结论1 如图1所示，若四边形ABCD是凹四边形，则∠BCD=∠A+∠B+∠D.

证明方法很多，现给出其中的三种.

证法1 如图2所示，延长BC交AD于点E，由三角形的外角性质可知∠CED=∠A+∠B，∠BCD=∠CED+∠D，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D.

证法2 如图3所示，作射线AC，由三角形的外角性质可知∠1=∠BAC+∠B，∠2=∠DAC+∠D，所以∠BCD=∠BAD+∠B+∠D，结论成立.

证法3 如图4所示，连结BD，在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠ABC-∠ADC-∠A，在△BCD中， ∠BCD=180°-∠1-∠2，所以∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC，结论成立.

对于几类复杂图形的求角度问题，可通过识别或构造满足“纸飞机”型的图形转化为特殊图形的角度和.

应用1 识别“纸飞机”型，转化为三角形的内角和问题

例1 如图5 所示， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（ ）

A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°

分析 可发现“纸飞机”型图形——凹四边形AOCB，根据结论1可知∠AOC=∠A+∠B+∠C. 由三角形的内角和为180°可知∠DOE+∠D+∠E=180°，而∠AOC=∠DOE，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故答案为A.

例2 如图6所示， 试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

分析 图5中，让点B运动，使得线段BC，AB与DE相交即可得到图6，故“纸飞机”型图形——凹四边形AOCB依然存在， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E也是180°.

应用2 识别“纸飞机”型，转化为四边形的内角和问题

例3 如图7所示， 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

分析 可发现“纸飞机”型图形——凹四边形AOED，根据结论可知∠AOE=∠A+∠D+∠E，而∠AOE=∠BOF，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOF+∠B+∠C+∠F. 又因为四边形的内角和为360°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°.

以上例题均只需识别“纸飞机”型图形即可，下面举一些需要添加辅助线构造“纸飞机”型图形的问题.

应用3 构造“纸飞机”型求角度和

例4 如图8所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

分析 如图9所示，连结CF，构造“纸飞机”型图形——凹四边形DEFC，根据结论可知∠DCF=∠D+∠E+∠CFE，而∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠AFC=360°，所以∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠E+∠AFE=360°.

例5 如图10所示，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.

分析 如图11所示，连结EG，构造“纸飞机”型图形——凹四边形DEGO，根据结论可知∠DOG=∠5+∠DEG+∠OGE，而∠EGF+∠7+∠GEF=180°，∠AOC=∠DOG，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠AOC+∠EGF+∠7+∠GEF=360°+180°=540°.

注意 类似地，可连结AC构造“纸飞机”型图形进行求解.

例6 （2003年全国初中数学竞赛）如图12所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G等于（ ）

A. 360° B. 450° C. 540° D. 720°

分析 解决此题的方法和例5类似，如添加辅助线CG构造“纸飞机”型图形，可求得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

应用4 特殊“纸飞机”型图形的求角度问题

例7 如图13所示，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，求∠A的度数.

分析 设∠ABE=x，∠ACF=y，则∠GBD=x，∠GCD=y. 在“纸飞机”型图形——凹四边形GBDC中，根据结论1可知∠BDC=x+y+∠BGC，所以x+y=40°. 在“纸飞机”型图形——凹四边形ABGC中，∠BGC=x+y+∠A，从而可得∠A=60°.

例8 （1997年上海市初中数学竞赛）如图14所示，E，D分别在△ABC中边BA和CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED. 若∠B=70°，∠D=40°，则∠F=______.

分析 设∠ACF=x，∠BEF=y，则∠ACB=2x，∠BED=2y. 由外角性质可知∠EAC=∠D+2y，∠EAC=∠B+2x，在“纸飞机”型图形——凹四边形EACF中，根据结论1可得∠EAC=∠F+∠ACF+∠FEB=∠F+x+y. 从而， ∠F=（∠B+∠D）=55°.

“纸飞机”型关于边的结论及其

应用

结论2 如图15所示，若四边形ABCD是凹四边形，则AB+AD>BC+CD.

证明 如图15所示，延长BC交AD于点E，在△ABE中，AB+AE>BC+CE①，在△DEC中，CE+ED>CD②. 由①②两式可得AB+AE+ED>BC+CD，即AB+AD>BC+CD.

例9 如图 16所示，O为△ABC内任意一点，则AB+BC+AC>OA+OB+OC.

分析 由结论2可知AB+AC>BO+OC，AB+BC>AO+OC，AC+BC>AO+OB，上三式左右分别相加可得AB+BC+AC>OA+OB+OC.