注重数学思想方法教学

苏东跃

摘 要： 如果说数学起源于人类生存的需要，或者起源于人类理智探索真理的需要的话，那么数学思想和方法就是伴随着数学的产生而产生、伴随着数学的发展而发展的。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决问题的手段和工具。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，数学思想方法是学生必须具备的基本素质之一。现行教材中蕴含了多种数学思想和方法，在教学中，我们应充分挖掘由数学基础知识反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。但是数学思想和方法的提出及研究是随着数学教育的发展而逐步“热”起来的。本文从教学的角度关注数学思想方法，讨论了数学思想方法教学的概念、原则，并进行了实践分析。

关键词： 数学思想方法 教学原则 教学措施

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质的认识，它是数学科学和数学学科固有的，是数学的灵魂；所谓数学方法，就是解决数学问题的策略和程序，它是数学思想的具体化反映，是数学的根本。在一定的数学知识基础上，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程。当这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想。数学思想对数学方法起指导作用；而数学方法较之数学思想具有更大的灵活性，可促进数学思想的发展。因此，人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念——数学思想方法。

数学方法论作为研究数学的发展规律，数学的思想、方法，以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门新兴学科，在我国数学界特别是数学教育界获得了广泛重视。这些工作直接推动了我国数学教育界开展数学思想、方法及其教学的研究，解决了不少教学实际问题，极大地推动了我国数学教育改革的进程，并成为我国数学教育中一项独具特色而又富有深远意义的研究课题。

一、数学思想方法教学应该遵循的基本原则

（一）渗透性原则。

数学思想方法和数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”，二者既有联系又有区别，具体的知识点是数学的外显形式，易于发现，是一条“明河流”，任何一条数学分支无不是以它构筑自己的“躯体”的；数学思想方法则是数学的内在形式，是获取数学知识、发展思维能力的动力工具，是一条具有潜在价值的“内河流”，把握了它就等于找到了思维教育的突破口。正因为数学知识是“点石成金”以后的金，而数学思想方法是“点石”之指，这就要求我们在数学知识教学的同时，必须注重数学思想方法的有机渗透和充分发挥其自身具有的统帅作用。只有这样，才能有助于学生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学知识结构，从而不仅促进学生数学能力的发展，而且推动学生思维品质乃至整体素质的提高。

所谓渗透，就是有机结合数学知识的教学，采用教者有意、学者无心的方式，在多个场合反复向学生讲解诸如分类、转化、数形结合、函数等数学思想方法。通过逐步积累，让学生对数学思想方法的认识由浅入深、由表及里，渐渐达到一定的高度。

数学思想方法教学之所以采用渗透法，是由它本身的特点决定的。从知识和思想方法的关系来看，数学思想方法是隐含在知识里、体现在知识应用过程中的，它不像知识那样可以具体编排在某一个章节，靠教师专门讲授几节课就可以理解。数学思想方法是渗透在全部数学教学内容之中的。从学生的认识规律来看，数学思想方法的掌握不像知识的理解可以短期内完成，而要经历一个过程，包括从略微“了解”到甚为“理解”及至“掌握”或“会运用”的过程。从学生的个别差异看，存在认识不同步的现象，所以数学思想方法的教学应以渗透性原则为主线。

（二）渐进性原则。

渐进性原则有三方面的含义：渐进、反复和层次性。

数学思想方法教学是融合在数学知识之中的，所以在数学教学中，要不失时机地抓住机会，不断地一点一滴地再现有关数学思想方法，逐步加深学生对数学思想方法的认识。

数学思想方法教学必须结合两个实际，即教材实际和学生实际。不同的教材内容有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要多次反复，小步前进。

这里需要注意的是，在教学数学思想方法时，开始起点要低，但“低”是为了“高”。通过一个阶段的学习，应该在原有基础上有所提高，要求学生“学会”，并使学生“会学”，在思维素质方面有所发展。因此，数学思想方法教学应以渐进为出发点。

（三）明确性原则。

从数学思想方法教学的整个过程看，只是长期、反复、不明确地渗透，会影响学生从感性认识到理性认识的飞跃，妨碍学生有意识地掌握和领会。渗透性和明确性是数学思想方法教学辩证的两个方面。因此，在反复渗透的过程中，利用适当机会，对某种数学思想方法进行概括、强化和提高，对它的内容、名称、规律、应用等适度明确化，当为明智之举。

当前，在各科、各年级的数学教材中，数学思想方法的内容很显薄弱，一些重要的数学思想方法都没有比较明确和系统的阐述。比如，数形结合法、类分法、化归思想等均蕴含在表层知识教学之中，隐藏于幕后。教师选择适当的时机，在教学中予以明确是必要的，也就是说，数学思想方法教学应以明确性原则为目标。

（四）学生参与原则。

所谓参与，就是要求学生在教学过程中充分发挥主体作用，遵循认知规律，运用器官（五官、手、脑），通过自己的学习劳动，探索数学思想方法的真谛。

我国目前流行的提法是：教师是教学的主导，学生是学习的主体。提法很全面，但学生主体的能动作用远未发挥，升学压力使学生成了反应灵敏的模仿解题机器。原因在于，学生总认为教师出的题目都是可以做的，独立思考能力被抑制了。所以在此强调几句：“数学教师不能充当数学知识施舍者的角色。”“没有人能教会学生，数学素质是学生在数学活动中获得的。”“教师和教科书不应该是至高无上的权威。”“把学习数学的主动权交给学生。”在数学思想方法教学中，应以学生参与原则为根本。endprint

（五）系统性原则。

数学思想方法的形成必须经过循序渐进的过程，经过反复提炼、归纳、概括，才能使大多数学生真正领会。归纳概括既是数学思想方法，又是数学思维方法，领会数学思想方法的主要手段是感知、归纳、概括，而掌握数学思想方法的深层目的恰恰是为了创造性的培养，所以，能灵活运用归纳、概括达到具有独创性，也就真正掌握了数学思想方法。在课后小结、单元小结与测验或总复习与检测时，应该十分注意用数学思想方法系统、归纳、概括和联系教材，并指导命题工作。这样就能整理出比较清晰的数学思想方法教学的序列，从而形成数学思想方法的系统，以利充分发挥它的整体效益，同时对检测与提高大有好处。因此，在数学思想方法教学中，应以系统性原则为归宿。

二、数学思想方法教学的具体措施

几十年来，科学技术以空前的速度发展着；以计算机的运行为标志的信息时代，也是数学大发展的时代；科学的数学化和社会的数学化都在加速。这使人们越来越深切地感受到，越来越多的场合需要数学式的思维。当今的科学家们都认为怀特海的预言将会提前实现。

所谓数学地理解问题，就是指数学的思考方式，用数学的精神、思想、方法观察问题、分析问题、解决问题。它包括诸如：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理计算，从数据进行判断、优化，以及善于运用计算机进行实验，等等。从这点看，数学思想方法的学习显然应被看成数学教育的根本任务，自然应在数学教学中加以充分体现。

把数学思想方法作为数学基础知识的重要组成部分，是大纲体现义务教育性质、提高学生素质的一大举措。由于数学的思想方法的呈现形式是隐蔽的，学生是难以从教材中获取的，这就要求我们在教学过程中能站在方法论的高度，讲出学生在课本的字里行间看不出来的“奇珍异宝”，讲出决策和创造的方法，精心提炼、着意渗透、反复孕育、经常应用、小步子推进、分层到达。为此，我们需要认真理清数学知识网络和数学思想方法体系，把握好几个重要途径。

（一）在知识发生过程中，适时渗透数学思想方法。

对于数学而言，其知识的发生过程，实际上就是思想方法的发生过程。因此，如概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程，等等，都蕴含着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。

对于学生来说，其最常见的困难之源是：一项工作、一个发现、一个规律……很少以创始人当初所用的形式出现，它们已经被浓缩了，隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现出整理加工的严密、抽象、精炼的结论，而促使其诞生的那些思想方法却往往隐为内在形式，成为数学结构系统的具有潜在价值的“内河流”。我们教学工作的一项重要任务，就是揭开数学这种严谨、抽象的面纱，将发现过程中的活生生的数学“返璞归真”地教给学生，让学生亲自参与“知识再发现”的过程，经历探索过程的磨砺，汲取更多的思维营养。

1.展开概念——不要简单给定义。

概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象概括等思维的逻辑加工，依据数学思维方法的指导。因此，概念教学应当完整地体现这一生动的过程，引导学生揭示隐藏于知识之中的思维内核。心理学认为，人对事物的第一次接触是最敏感的，教学成功与否，关键是唤起对旧知识的回忆，搜索到新知识的清澈的源头，并通过事物的发生和发展过程的教学，掌握活的数学概念。

2.延迟判断——不要过早下结论。

判断可以看做是压缩了的知识链，数学定理、性质、法则、公式、关系、规律等都是一个个具体判断。教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导过程，弄清每个结论的因果关系，从而使学生看到某个判断时，就像回忆自己参加有趣的活动那样津津乐道。当然，延迟判断，必定拉长了建立理论的教学时间，但磨刀不误砍柴工，以后应用就灵活自如了。

3.激活推理——不要呆板地找关联。

激活推理就是要使已有判断上下贯通、前后迁移，尽可能从已有判断中生发众多的思维触觉，促成思维链条的高效运转，不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果。

（二）通过小结和专题讲座，提炼、概括数学思想方法，有计划地安排数学思想方法教学的习题课。

揭示知识之间的内在联系是小结的功能之一。由于同一内容可表现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，因此在课后小结、单元小结或总复习时，就应该在纵横两方面整理出数学思想方法系统。

根据数学思想方法形成过程中的成熟程度，可实施开设专题讲座课，讲清来龙去脉、内涵外延、作用功能等。这是使学生掌握数学思想方法，同时更进一步地认识外显形式的数学知识的有效途径。

1.定义法：A是n阶矩阵，A的伴随矩阵A*有行列式|A|的代数余子式所构成，即A*=（A■）n×n。在具体使用时要注意：

（1）求个元素的代数余子式Aij时，切记各余子式前面的正负号；

（2）A■应排在A※的第j行第i列上，即恰好是通常排序方式的转置形式。

在线性代数中，定义尤为重要。可以这样讲，定义在线性代数中居核心地位。在有许多问题百思不得其解时都要回到定义上来，才能找到答案。因此，定义既是线性代数问题的源泉，又是其最终的归宿。

例1：设A是n阶矩阵，且A的秩R（A）

证：因为R（A）

2.公式法：A是n阶矩阵，关于A的伴随矩阵A*的基本关系式为AA*=A*A=|A|E，其中E是n阶单位矩阵。

例2：设A是n阶矩阵，且A的秩R（A）=n-1，求证：R（A*）=1。

证：因为R（A）

3.化归法：教材中是在研究逆矩阵时给出伴随矩阵的概念的，并且给出了求逆矩阵方法之一“当n阶矩阵A可逆时，A-1=A*”，由此可得出A*=|A|A-1。也就是说，当A可逆时，A※的问题可转化为逆阵来研究，因为A-1的性质相对来讲我们是比较熟悉的。

例3：设A是n阶矩阵，且A的秩R（A）=n，求证：R（A*）=n。

证：因为R（A）=n，所以A可逆，|A|≠0。由AA*=|A|E知，A和A*均是可逆阵，故R（A*）=n。（或两边取行列式，得|A|·|A*|=|A|n，于是|A*|=|A|n-1≠0，即R（A*）=n。）

4.论“秩”法：设A是n阶矩阵，则A*的秩只有三种取值。

例4：设A是n阶不可逆矩阵，|A|关于a■的代数余子式A■≠0，求齐次方程组A*x=O的通解。

解：因为|A|=0，A■≠0知R（A）=n-1，那么R（A*）=1。于是A*x=O的解空间是n-1维。又因为AA*=|A|E=O知A=（a■a■…a■）的每一列都是方程组A*x=O的解。由于n-1维向量（a■，a■，…，a■）T，（a■，a■，…，a■）T，…，（a■，a■，…a■）T线性无关，那么延伸为n维向量a■=（a■，a■，…，a■）T，a■=（a■，a■，…，a■）T，…，a■=（a■，a■，…，a■）T仍然线性无关，就是A*x=O的基础解系。因此通解是：k■a■+k■a■+…+k■a■，k■（i=1，2，3）是任意实数。

（三）通过“问题解决”，概括和深化数学思想方法。

问题是数学的心脏。数学问题的解决过程，实质就是命题不断变换和数学思想方法反复运用的过程；数学思想方法则是解决数学问题的观念性成果，它存在于数学问题的解决之中，数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法的方向。因此，通过问题解决构造数学模型、提供数学想象，伴以实际操作，诱发创造动机，就把数学迁入了思维活动之中，并不断在学数学、用数学的过程中引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。

数学思想方法是数学思维的内核，它比具体的数学知识具有更强的抽象性和概括性，很难找到固定的形式，只能体现为一种意识或观念。因此，它不是一招一式、一朝一夕可以完成的，而是要日积月累、长期渗透，才能水到渠成。教学中要有意识、有目的地结合数学知识，发掘、提炼、归纳、概括数学思想方法，使其成为由知识转化为能力的纽带，形成优良思维品质的桥梁，进行科学思维活动的导航器。

在教学数学思想方法时，教师千万不要包办代替，应当把“球”交给学生让他们自己去学，使他们自己会“踢”。“思想应在学生的头脑中产生，而教师的活动像个助产士”，这才符合学生认知发展的规律。

参考文献：

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