几何证明中添加辅助线的原理分析

黄丽云

摘 要： 本文探讨几何证明中添加辅助线的基本原理，指出发现与建立图形中的和谐统一关系是添加辅助线，进而证明几何问题的关键.

关键词： 几何证明 辅助线 基本原理

添加辅助线是几何证明的重要手段，历来受到数学教育者的重视，许多几何专著中都详细而深入地讨论了辅助线的类型、作法，如文献[1，2]，给予读者很大的启发和帮助.然而，在一些具体问题的证明中，有效而恰当地联想到某一类辅助线作法以实现证明，对学生来说仍然存在困难.本文从另一种角度出发，探讨添加辅助线的原理和入手点.

辩证法指出，事物是相互联系、相互制约、相互转化的.从辩证的观点看，数学问题中所涉及的数式与数式之间，数式与图形之间，图形与图形之间必然存在某种和谐统一的关系，这种和谐统一关系是建立各种必要联系、促进问题转化与解决的关键.在几何问题的证明中，如果仅利用已知条件和已知图形难以证明时，即表明问题的已知与未知之间存在某种不和谐，则需要添加辅助线建立已知与未知的和谐统一关系，从而使问题得以解决.因此，添加辅助线的一个基本思路就是，分析问题中的不和谐因素，发现和建立已知几何量与未知几何量之间的和谐统一关系.

不同的几何问题，其中的不和谐状态也各不相同，这就导致几何证明灵活多变，难以把握.注意观察问题中的不和谐因素，并由此出发建立和谐统一关系，有利于我们把握问题的关键所在，找到解题思路.

例1：如图1，在四边形中ABCD，AB=CD，M、N分别是BC边与AD边的中点，∠1是直线BA与MN所成的角，∠2是直线CD与MN所成的角，求证：∠1=∠2.

分析：观察图1，∠1与∠2的位置状况不太好，难以找到二者之间的直接关系，并且与其他已知条件也无明显联系，这正是问题的不和谐之处.由于已知条件多是关于四边形ABCD的性质，为证∠1=∠2，将二者平移到四边形内，方便建立联系.怎样平移效果好？分析∠1与∠2的位置特征，考虑选取特殊点M、N作BA、CD的平行线，构造与的等角.又注意到M、N分别是BC边与AD边的中点，联想中位线的性质，连接AC，设AC的中点为E，连接ME、NE，即得到BA、CD的平行线，并且可以将与平移到内，方便分析二者的关系.

评注：在例1中，∠1与∠2的位置关系不和谐，而已知条件又多是关于四边形ABCD的，通过连接其对角线AC，构造三角形的中位线，建立了图形的和谐统一关系，从而可以利用平行线的性质，使问题得以解决.观察分析问题的不和谐因素，并由此入手作辅助线建立和谐统一关系，是解决问题的关键所在.

例2：如图2，点E是正方形ABCD的BC边上的任意一点，∠EAD的角平分线AF与CD交于点F.求证：DF=AE-BE.

分析：求证中的线段DF离AE、BE较远，不便于观察它们之间的联系.从这一不和谐状况入手，考虑到要证的等式等价于DF+BE=AE，把DF移动到EB的延长线上，使它与AE、BE位于同一个三角形内，更容易分析它们之间的关系.

证明：延长EB到点P，使BP=DF.

在△ABP与△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因为AF是∠EAD的角平分线，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因为AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，进而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

评注：在例2中，通过移动DF到EB的延长线上，把求证中分离较远的三个几何量移到了同一个三角形中，建立了图形的和谐统一关系，这一作法相当于把△ADF绕点A顺时针旋转了90°，从而可以利用旋转图形的性质，使问题得以解决.

例3：如图3，线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，E、F分别为线段AC、DB的中点，连接EF分别交AB、CD于点N、M.求证：OM=ON.

分析：仅由已知的图形元素，不易证明VC⊥AB.注意到已知与求证涉及的都是三棱锥的侧棱与底面线段的垂直关系，联想三垂线定理，作三棱锥的高线，即得到三条侧棱在底面ABC上的射影，利用三垂线定理及其逆定理，又可得到更多的垂直关系，从而建立已知与求证的和谐统一关系.

证明：过点V作VO⊥平面ABC，垂足为O，则OA、OB、OC分别是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根据三垂线定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以点O是△ABC的垂心，进而有OC⊥AB.

又由三垂线定理，有VC⊥AB.

评注：在几何图形中，有些线、面对图形的和谐统一关系起到十分重要的作用.讨论几何问题时，应充分注意并利用它们的功能.从例4可以看出，高线对于锥体就是一条十分重要的线段.

当几何证明的思路受阻时，注意观察和分析图形中的不和谐因素，发现和建立已知几何量与未知几何量之间的和谐统一关系，往往是我们添加辅助线的入手点和证明问题的关键.然而不同的几何问题所反映出的不和谐状况也各不相同，通过作辅助线转化和建立问题的和谐统一关系自然就具有很强的灵活性，无法用几个公式或法则概括，这正是几何证明的困难所在.通过练习不断反思总结，注重观察分析问题中的不和谐因素，发现和建立和谐统一关系，有利于培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

[1]朱德祥，朱维宗.初等几何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]许莼舫.平面几何学习指导[M].北京：中国青年出版社，1979.

[3]G.波利亚，著.涂泓，冯承天译.怎样解题——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.endprint

摘 要： 本文探讨几何证明中添加辅助线的基本原理，指出发现与建立图形中的和谐统一关系是添加辅助线，进而证明几何问题的关键.

关键词： 几何证明 辅助线 基本原理

添加辅助线是几何证明的重要手段，历来受到数学教育者的重视，许多几何专著中都详细而深入地讨论了辅助线的类型、作法，如文献[1，2]，给予读者很大的启发和帮助.然而，在一些具体问题的证明中，有效而恰当地联想到某一类辅助线作法以实现证明，对学生来说仍然存在困难.本文从另一种角度出发，探讨添加辅助线的原理和入手点.

辩证法指出，事物是相互联系、相互制约、相互转化的.从辩证的观点看，数学问题中所涉及的数式与数式之间，数式与图形之间，图形与图形之间必然存在某种和谐统一的关系，这种和谐统一关系是建立各种必要联系、促进问题转化与解决的关键.在几何问题的证明中，如果仅利用已知条件和已知图形难以证明时，即表明问题的已知与未知之间存在某种不和谐，则需要添加辅助线建立已知与未知的和谐统一关系，从而使问题得以解决.因此，添加辅助线的一个基本思路就是，分析问题中的不和谐因素，发现和建立已知几何量与未知几何量之间的和谐统一关系.

不同的几何问题，其中的不和谐状态也各不相同，这就导致几何证明灵活多变，难以把握.注意观察问题中的不和谐因素，并由此出发建立和谐统一关系，有利于我们把握问题的关键所在，找到解题思路.

例1：如图1，在四边形中ABCD，AB=CD，M、N分别是BC边与AD边的中点，∠1是直线BA与MN所成的角，∠2是直线CD与MN所成的角，求证：∠1=∠2.

分析：观察图1，∠1与∠2的位置状况不太好，难以找到二者之间的直接关系，并且与其他已知条件也无明显联系，这正是问题的不和谐之处.由于已知条件多是关于四边形ABCD的性质，为证∠1=∠2，将二者平移到四边形内，方便建立联系.怎样平移效果好？分析∠1与∠2的位置特征，考虑选取特殊点M、N作BA、CD的平行线，构造与的等角.又注意到M、N分别是BC边与AD边的中点，联想中位线的性质，连接AC，设AC的中点为E，连接ME、NE，即得到BA、CD的平行线，并且可以将与平移到内，方便分析二者的关系.

评注：在例1中，∠1与∠2的位置关系不和谐，而已知条件又多是关于四边形ABCD的，通过连接其对角线AC，构造三角形的中位线，建立了图形的和谐统一关系，从而可以利用平行线的性质，使问题得以解决.观察分析问题的不和谐因素，并由此入手作辅助线建立和谐统一关系，是解决问题的关键所在.

例2：如图2，点E是正方形ABCD的BC边上的任意一点，∠EAD的角平分线AF与CD交于点F.求证：DF=AE-BE.

分析：求证中的线段DF离AE、BE较远，不便于观察它们之间的联系.从这一不和谐状况入手，考虑到要证的等式等价于DF+BE=AE，把DF移动到EB的延长线上，使它与AE、BE位于同一个三角形内，更容易分析它们之间的关系.

证明：延长EB到点P，使BP=DF.

在△ABP与△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因为AF是∠EAD的角平分线，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因为AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，进而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

评注：在例2中，通过移动DF到EB的延长线上，把求证中分离较远的三个几何量移到了同一个三角形中，建立了图形的和谐统一关系，这一作法相当于把△ADF绕点A顺时针旋转了90°，从而可以利用旋转图形的性质，使问题得以解决.

例3：如图3，线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，E、F分别为线段AC、DB的中点，连接EF分别交AB、CD于点N、M.求证：OM=ON.

分析：仅由已知的图形元素，不易证明VC⊥AB.注意到已知与求证涉及的都是三棱锥的侧棱与底面线段的垂直关系，联想三垂线定理，作三棱锥的高线，即得到三条侧棱在底面ABC上的射影，利用三垂线定理及其逆定理，又可得到更多的垂直关系，从而建立已知与求证的和谐统一关系.

证明：过点V作VO⊥平面ABC，垂足为O，则OA、OB、OC分别是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根据三垂线定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以点O是△ABC的垂心，进而有OC⊥AB.

又由三垂线定理，有VC⊥AB.

评注：在几何图形中，有些线、面对图形的和谐统一关系起到十分重要的作用.讨论几何问题时，应充分注意并利用它们的功能.从例4可以看出，高线对于锥体就是一条十分重要的线段.

当几何证明的思路受阻时，注意观察和分析图形中的不和谐因素，发现和建立已知几何量与未知几何量之间的和谐统一关系，往往是我们添加辅助线的入手点和证明问题的关键.然而不同的几何问题所反映出的不和谐状况也各不相同，通过作辅助线转化和建立问题的和谐统一关系自然就具有很强的灵活性，无法用几个公式或法则概括，这正是几何证明的困难所在.通过练习不断反思总结，注重观察分析问题中的不和谐因素，发现和建立和谐统一关系，有利于培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

[1]朱德祥，朱维宗.初等几何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]许莼舫.平面几何学习指导[M].北京：中国青年出版社，1979.

[3]G.波利亚，著.涂泓，冯承天译.怎样解题——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.endprint

摘 要： 本文探讨几何证明中添加辅助线的基本原理，指出发现与建立图形中的和谐统一关系是添加辅助线，进而证明几何问题的关键.

关键词： 几何证明 辅助线 基本原理

添加辅助线是几何证明的重要手段，历来受到数学教育者的重视，许多几何专著中都详细而深入地讨论了辅助线的类型、作法，如文献[1，2]，给予读者很大的启发和帮助.然而，在一些具体问题的证明中，有效而恰当地联想到某一类辅助线作法以实现证明，对学生来说仍然存在困难.本文从另一种角度出发，探讨添加辅助线的原理和入手点.

辩证法指出，事物是相互联系、相互制约、相互转化的.从辩证的观点看，数学问题中所涉及的数式与数式之间，数式与图形之间，图形与图形之间必然存在某种和谐统一的关系，这种和谐统一关系是建立各种必要联系、促进问题转化与解决的关键.在几何问题的证明中，如果仅利用已知条件和已知图形难以证明时，即表明问题的已知与未知之间存在某种不和谐，则需要添加辅助线建立已知与未知的和谐统一关系，从而使问题得以解决.因此，添加辅助线的一个基本思路就是，分析问题中的不和谐因素，发现和建立已知几何量与未知几何量之间的和谐统一关系.

不同的几何问题，其中的不和谐状态也各不相同，这就导致几何证明灵活多变，难以把握.注意观察问题中的不和谐因素，并由此出发建立和谐统一关系，有利于我们把握问题的关键所在，找到解题思路.

例1：如图1，在四边形中ABCD，AB=CD，M、N分别是BC边与AD边的中点，∠1是直线BA与MN所成的角，∠2是直线CD与MN所成的角，求证：∠1=∠2.

分析：观察图1，∠1与∠2的位置状况不太好，难以找到二者之间的直接关系，并且与其他已知条件也无明显联系，这正是问题的不和谐之处.由于已知条件多是关于四边形ABCD的性质，为证∠1=∠2，将二者平移到四边形内，方便建立联系.怎样平移效果好？分析∠1与∠2的位置特征，考虑选取特殊点M、N作BA、CD的平行线，构造与的等角.又注意到M、N分别是BC边与AD边的中点，联想中位线的性质，连接AC，设AC的中点为E，连接ME、NE，即得到BA、CD的平行线，并且可以将与平移到内，方便分析二者的关系.

评注：在例1中，∠1与∠2的位置关系不和谐，而已知条件又多是关于四边形ABCD的，通过连接其对角线AC，构造三角形的中位线，建立了图形的和谐统一关系，从而可以利用平行线的性质，使问题得以解决.观察分析问题的不和谐因素，并由此入手作辅助线建立和谐统一关系，是解决问题的关键所在.

例2：如图2，点E是正方形ABCD的BC边上的任意一点，∠EAD的角平分线AF与CD交于点F.求证：DF=AE-BE.

分析：求证中的线段DF离AE、BE较远，不便于观察它们之间的联系.从这一不和谐状况入手，考虑到要证的等式等价于DF+BE=AE，把DF移动到EB的延长线上，使它与AE、BE位于同一个三角形内，更容易分析它们之间的关系.

证明：延长EB到点P，使BP=DF.

在△ABP与△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因为AF是∠EAD的角平分线，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因为AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，进而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

评注：在例2中，通过移动DF到EB的延长线上，把求证中分离较远的三个几何量移到了同一个三角形中，建立了图形的和谐统一关系，这一作法相当于把△ADF绕点A顺时针旋转了90°，从而可以利用旋转图形的性质，使问题得以解决.

例3：如图3，线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，E、F分别为线段AC、DB的中点，连接EF分别交AB、CD于点N、M.求证：OM=ON.

分析：仅由已知的图形元素，不易证明VC⊥AB.注意到已知与求证涉及的都是三棱锥的侧棱与底面线段的垂直关系，联想三垂线定理，作三棱锥的高线，即得到三条侧棱在底面ABC上的射影，利用三垂线定理及其逆定理，又可得到更多的垂直关系，从而建立已知与求证的和谐统一关系.

证明：过点V作VO⊥平面ABC，垂足为O，则OA、OB、OC分别是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根据三垂线定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以点O是△ABC的垂心，进而有OC⊥AB.

又由三垂线定理，有VC⊥AB.

评注：在几何图形中，有些线、面对图形的和谐统一关系起到十分重要的作用.讨论几何问题时，应充分注意并利用它们的功能.从例4可以看出，高线对于锥体就是一条十分重要的线段.

当几何证明的思路受阻时，注意观察和分析图形中的不和谐因素，发现和建立已知几何量与未知几何量之间的和谐统一关系，往往是我们添加辅助线的入手点和证明问题的关键.然而不同的几何问题所反映出的不和谐状况也各不相同，通过作辅助线转化和建立问题的和谐统一关系自然就具有很强的灵活性，无法用几个公式或法则概括，这正是几何证明的困难所在.通过练习不断反思总结，注重观察分析问题中的不和谐因素，发现和建立和谐统一关系，有利于培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

[1]朱德祥，朱维宗.初等几何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]许莼舫.平面几何学习指导[M].北京：中国青年出版社，1979.

[3]G.波利亚，著.涂泓，冯承天译.怎样解题——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.endprint