2014年高考广东理科数学第21题评析

林伟雄

牵动高三老师和莘莘学子的2014年高考已经落下帷幕，师生高度关注的高考题目是教师深刻反思的良好素材.下面，我们选取广东高考理科数学最后一题进行评析，以期对高考备考和平时教学有所启示.作为理科数学的压轴题，全省平均得分不到1分.如果同学们能熟悉常用的数学思想，就能转换自己熟悉的题型，从而找到解题的突破口.

题目：设函数 f（x）=，其中k<-2.

（1）求函数的定义域D（用区间表示）；

（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；

（3）若k<-6，求D上满足条件f（x）>f（1）的x的集合（用区间表示）.

分析：初看这题，同学们感觉很难，为什么呢？一是分母有根号，二是根号里是一个4次多项式，三是这个多项式还有参数.基于这三个原因，很多同学一看题目就放弃了.当我们看到一道陌生的问题时，首先想一想：我做过这类题目吗？我能转化为一个以前做过的题吗？认真看看，发现根号里的代数式有相同的东西，就是x2+2x+k，如果用一个字母代替这个式子，就是同学们熟悉的一个二次多项式了，很容易对它进行因式分解.就是这个小小的整体代换，我们把一个4次不等式问题转化为了2次不等式问题，这就是该题的突破口.第二问，直接对函数求导显然太复杂，我们可以把问题转化一下，把这个复杂函数的单调性问题化为复合函数：y=，u=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的单调性问题，再用求导的办法解决就不难了，这样还是体现了转化的思想.

第（1）问解析：

这一问考生基本上都可以列出不等式：

（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0.

如何解这个不等式？考生可能会出现如下四种解法：

解法一（换元法）：设u=x2+2x+k，则u2+2u-3>0.

解得：u<-3或u>1.再由x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1，解得：x<-1-或x>-1+或-1-

∴D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

解法二（图像法）：因式分解能力好的考生可能会想到如下解法：

（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0

?（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0

?x2+2x+k-1>0，

x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1<0，

x2+2x+k+3<0.

画出函数 g（x）=x2+2x+k+3和h（x）=x2+2x+k-1的草图： （其中x1=-1-，x2=-1+， x3=-1-， x4=-1+）.

由图像可得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+， +∞）.

解法三（分析法）：观察能力和推理能力好的考生可能会想到如下这种很有智慧的解法：

显然x2+2x+k+3>x2+2x+k-1，

∴（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0

?（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0

?x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1<0.

解不等式得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

解法四（根轴法）：

（x2+2x+k-1）（x2+2x+k+3） >0

?[x-（-1-）][x-（-1-）][x-（-1+）][x-（-1+）]>0

?x<-1-或-1--1+，

∴ D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

点评：这一小问考生容易上手，不同水平层次的考生可以找到适合自己的解法，体现转化途径的多样性.其中解法一非常容易想到，体现了通过换元到达降幂的思想，把解四次不等式转化为解三个二次不等式问题；解法二体现了利用因式分解达到降幂的目的，把解四次不等式转化为解两个二次不等式组的问题.体现了整体意识和数形结合思想；解法三是最有智慧的解法，能用这个方法的考生观察和推理意识必然很强，在紧张的高考中，能冷静地观察，利用不等式的特殊结构来寻找最优的解题过程，实属难得，体现了较高的数学素养；解法四是处理高次多项式方程的一个通法，但是这个方法要求把多项式分解成一次多项式或者是二次无零点的多项式的乘积，对代数式的变形能力要求比较高，由于该题目的特殊结构，这个方法使用的十分顺利.

第（2）问解析：

设 g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3，这一小问关键是讨论该函数的单调性，体现了化归的思想.这是一个4次多项式，考生很自然会想到用导数来解决单调性问题.于是求导：g′（x）=2（x2+2x+k）（2x+2）+2（2x+2）=4（x+1）（x2+2x+k+1）.

此时，在确定该导函数的正负又面临一个解高次多项式不等式的问题，有两种解法：图像法和根轴法（参见第（1）问解析）.

g′（x）>0?x∈D1=（-1--1）∪（-1++∞）；

g′（x）<0?x∈D2=（-∞，-1-∪（-1，-1+），

D∩D1=（-1-，-1）∪（-1+，+∞）；

D∩D2=（-∞，-1-）∪（-1，-1+）.

由复合函数的单调性知，f（x）在区间（-1-，-1）和（-1+，+∞）递减；在区间（-∞，-1-）和（-1，-1+）递增.

点评：这一小问的关键是把原函数的单调性问题转化为g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的单调性问题.完成这个转化并将该函数求导，就可以得到一部分分数.但是解不等式g′（x）>0或g′（x）<0时，第一问的换元法就行不通了，因此这个不等式虽然次数没有第一问的高，但是实际上把只会用换元法的考生当在正确解答之外.

在求D∩D1和D∩D2时，实际上是求不等式组的解集，一般是利用数轴来求解，参数k对点在数轴的相对位置的确定起了干扰影响，在画草图的时候，可以把k具体化，赋予它一个满足条件（k<-6）的值，突破难点.

第（3）问解析：

解法一（不等式观点）：把f（x）>f（1）看成是纯粹解不等式的问题：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集为： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函数观点）：把f（x）>f（1）看成是函数值大小比较问题.这个解法需要第（2）小问的结论作为基础，根据函数的单调性，画出函数f（x）的草图

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+当k<-6时，f（x）图像大致如下：

由图像可得f（x）>f（1）的解集为：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

点评：解法一从不等式观点来解决这个小问，对这个题目来说是有可取之处的，理由是解决了第一小问之后，如果第二小问没有做出来，仍然可以作出第三小问.把问题转化为不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小问的四种方法都可以使用.

解法二我想应该是体现了命题者的意图.该题的三个小问环环相扣，正是研究函数的一种方法：确定定义域→讨论函数的单调性→画出函数的草图→利用函数及其图像解决问题.这个解法非常直观，是中学解不等式的常用方法，体现了函数，方程，不等式的内在联系.

从今年的高考压轴题可以看出，高考趋向于考查数学思想方法，单纯靠记常规题型的解题步骤，利用题海战术来提高成绩是不可取的.因此，同学们在高三的复习中，要多问一些为什么，多思考如何把一些复杂的，陌生的的问题转化为简单的，熟悉的问题.学会了转换和化归等思想方法，同学们方能以不变应万变，真正提高解题能力.

（作者单位：华南师大附中汕尾学校）

责任编校 徐国坚endprint

在求D∩D1和D∩D2时，实际上是求不等式组的解集，一般是利用数轴来求解，参数k对点在数轴的相对位置的确定起了干扰影响，在画草图的时候，可以把k具体化，赋予它一个满足条件（k<-6）的值，突破难点.

第（3）问解析：

解法一（不等式观点）：把f（x）>f（1）看成是纯粹解不等式的问题：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集为： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函数观点）：把f（x）>f（1）看成是函数值大小比较问题.这个解法需要第（2）小问的结论作为基础，根据函数的单调性，画出函数f（x）的草图

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+当k<-6时，f（x）图像大致如下：

由图像可得f（x）>f（1）的解集为：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

点评：解法一从不等式观点来解决这个小问，对这个题目来说是有可取之处的，理由是解决了第一小问之后，如果第二小问没有做出来，仍然可以作出第三小问.把问题转化为不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小问的四种方法都可以使用.

解法二我想应该是体现了命题者的意图.该题的三个小问环环相扣，正是研究函数的一种方法：确定定义域→讨论函数的单调性→画出函数的草图→利用函数及其图像解决问题.这个解法非常直观，是中学解不等式的常用方法，体现了函数，方程，不等式的内在联系.

从今年的高考压轴题可以看出，高考趋向于考查数学思想方法，单纯靠记常规题型的解题步骤，利用题海战术来提高成绩是不可取的.因此，同学们在高三的复习中，要多问一些为什么，多思考如何把一些复杂的，陌生的的问题转化为简单的，熟悉的问题.学会了转换和化归等思想方法，同学们方能以不变应万变，真正提高解题能力.

（作者单位：华南师大附中汕尾学校）

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在求D∩D1和D∩D2时，实际上是求不等式组的解集，一般是利用数轴来求解，参数k对点在数轴的相对位置的确定起了干扰影响，在画草图的时候，可以把k具体化，赋予它一个满足条件（k<-6）的值，突破难点.

第（3）问解析：

解法一（不等式观点）：把f（x）>f（1）看成是纯粹解不等式的问题：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集为： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函数观点）：把f（x）>f（1）看成是函数值大小比较问题.这个解法需要第（2）小问的结论作为基础，根据函数的单调性，画出函数f（x）的草图

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+当k<-6时，f（x）图像大致如下：

由图像可得f（x）>f（1）的解集为：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

点评：解法一从不等式观点来解决这个小问，对这个题目来说是有可取之处的，理由是解决了第一小问之后，如果第二小问没有做出来，仍然可以作出第三小问.把问题转化为不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小问的四种方法都可以使用.

解法二我想应该是体现了命题者的意图.该题的三个小问环环相扣，正是研究函数的一种方法：确定定义域→讨论函数的单调性→画出函数的草图→利用函数及其图像解决问题.这个解法非常直观，是中学解不等式的常用方法，体现了函数，方程，不等式的内在联系.

从今年的高考压轴题可以看出，高考趋向于考查数学思想方法，单纯靠记常规题型的解题步骤，利用题海战术来提高成绩是不可取的.因此，同学们在高三的复习中，要多问一些为什么，多思考如何把一些复杂的，陌生的的问题转化为简单的，熟悉的问题.学会了转换和化归等思想方法，同学们方能以不变应万变，真正提高解题能力.

（作者单位：华南师大附中汕尾学校）

责任编校 徐国坚endprint