明本质 念旧知
2014-09-17俞新龙
俞新龙
同学们在做2014年高考题时，应该从解法上去寻找对我们解题有帮助的收获.
一、对解法要有本质的认识
为便于问题的说明，先给出2014年高考全国卷（新课标1）理科第21题及参考解法如下：
全国1高考题：设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2. （1）求a，b；（2）证明：f（x）>1.
参考解法：（1）函数f（x）的定义域为（0， +∞）， f′（x）=aexlnx++，由题意得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.
（2）由（1）知f（x）=exlnx+，从而f（x）>1等价于xlnx>-.
设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
所以当x∈（0， ）时，g′（x）<0，
当x∈（，+∞）时，g′（x）>0，
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=-.
设函数h（x）=-， 则h′（x）=， 所以当x∈（0，1）时， h′（x）>0，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-.
综上，当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.
本质认识：在第（2）问中是通过证明g（x）的最小值大于h（x）的最大值来证明xlnx>-，从而证明f（x）>1.这里很显然就产生了一个问题：g（x）>1的最小值大于h（x）的最大值一定会有g（x）>h（x）成立，但g（x）>h（x）成立并不一定会有、也并不一定需要g（x）的最小值大于h（x）的最大值，实际上只需g（x）-h（x）>0即可.由此可见，课标卷的参考解法是在增强了问题的条件下（即高要求）都成立，那么原问题当然也成立.下面我们通过2014年高考山东卷理科15题的两种解法对比来理解上述产生的问题.
山东高考题：已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈D），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）>g（x）恒成立，则实数b的取值范围是________.
解析：由对称函数的定义得h（x）=6x+2b-，所以
h（x）>g（x）可化为3x+b>，若按照全国卷的理解则应该有3x+b的最小值b-6大于的最大值2，故得到错解b>8.而事实上，我们可以从几何意义即数形结合形象直观的得到正确答案：
3x+b>成立，即直线y=3x+b与半圆y=（即x2+y2=4（y≥0））相离（如图1所示），所以>2，b>2.
一般地，通常将条件g（x）>h（x）转化为g（x）-h（x）>0进行求解，下面我们以2014年高考福建理科第20（2）题为例来讲解.
福建高考题：已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1.证明：当x>0时，x2 解析：因为A（0，1），所以由f′（0）=e0-a=-1得a=2，故f（x）=ex-2x.由f′（x）=ex-2知f（x）在（-∞，ln2）递减，（ln2，+∞）递增，故f（x）有最小值即为极小值f（ln2）=2-2ln2>0. 记g（x）=x2-ex，则g′（x）=2x-ex=-f（x）<0，所以g（x）是减函数，则当x>0时，g（x） 类似地问题实际上有一个系列： （1）若对任意的x∈D，使得f（x）≥g（x）成立?对任意的x∈D，f（x）-g（x）≥0恒成立； （2）若对任意的x1，x2∈D，使得f（x1）≥g（x2）成立?f（x）的最小值≥g（x）的最大值； （3）若对任意的x1∈D，必存在x2∈D，使得g（x2）= f（x1）成立?f（x）的值域?g（x）的值域； （4）若对至少存在一个x0∈D，使得f（x0）≥g（x0）成立? f（x）-g（x）>0在D内有解. 下面给出相应的习题供同学们练习巩固. 1. 已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.若对任意的x∈[1，e]（e为自然对数的底数），使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围.（参考答案：a≥） 2. 已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数），使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围.（参考答案：a≥） 3. 已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.若对任意的x1∈[1，e]（e为自然对数的底数），必存在x2∈[1，e]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围.（参考答案：0 4. 已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，若在[1，e]（e为自然对数的底数）上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，求实数a的取值范围.（参考答案：（-∞，0）∪（0，+∞）） 二、对初中所学知识需要重视：以一元二次解高考题为例 初中所学的知识对高考解题也有十分重要的帮助作用，有时甚至初中知识就能解高考题.下面举例用一元二次方程有解和最值关系解高考题.
2014年高考全国卷（新课标2）理科第16题：设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是_________.
解析：如图2，从数形结合的角度考虑.过点M作圆O的切线MN′，切点为N′，连ON′，则∠OMN′≥45°，所以│OM│≤，故x2
0+1≤2，-1≤x0≤1.
这种解法需要能发现∠OMN′≥45°并建立关系解题，而实际上我们完全可以在△OMN中利用余弦定理得ON2=OM2+MN2-2OM·MNcos∠OMN，整理得MN2-+x2
0=0，因为MN有解，所以方程判别式△=2x2
0+2-4x2
0≥0，解得-1≤x0≤1.
应该说这种解法比较好理解.下面我们继续来用一元二次有解解高考题.
2014年高考浙江文科第16题：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是__________.
解析：下面先看不等式解法：因为b+c=-a，所以1-a2=b2+c2=（b+c）2-2bc=a2-2bc，则2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2，所以a2≤，解得-≤a≤，故a的最大值是.
从解答过程看变化过程有一定难度，而用一元二次方程有解来解则简洁多了，请看：因为a2+（a+c）2+c2=1，整理得关于c的方程2c2+2ac+2a2-1=0有解，所以判别式△=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，故a的最大值是.
2014年高考浙江文科第9题：设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，│+t│的最小值为1（ ）
A. 若θ确定，则││唯一确定
B. 若θ确定，则││唯一确定
C. 若││确定，则θ唯一确定
D. 若││确定，则θ唯一确定
解析：因为关于t的二次函数| +t |2=[][2]t2+2·t+[][2]最小值1，所以=[][2]-[][2]cos2θ=[][2]sin2θ=1，则| |=，所以若θ确定，则 | | 唯一确定，选B.
这里仅用一元二次函数的最值关系就解决了问题，下面我们继续用相同的方法来解
2014年高考浙江理科第17题：如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是__________.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
解析：过点P作PD⊥BC于点D，设CD=x，则PD=x.在Rt△ABC中，AB=15，AC=25，则BC=20，故BD=（20-x），所以AD==，由题意知θ=∠PAD，所以在Rt△PAD中tanθ====，从而当=，即x=时，tanθ取得最大值为=.
每年的高考题是值得我们复习中好好利用的，但在做题中不能仅止于“做出”，也要注意对解法的反思理解，最好能找出一些规律性的知识，从而达到举一反三，只有这样才能发挥这些高考题的最大作用.
（作者单位：浙江省绍兴越崎中学）
责任编校 徐国坚endprint
2014年高考全国卷（新课标2）理科第16题：设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是_________.
解析：如图2，从数形结合的角度考虑.过点M作圆O的切线MN′，切点为N′，连ON′，则∠OMN′≥45°，所以│OM│≤，故x2
0+1≤2，-1≤x0≤1.
这种解法需要能发现∠OMN′≥45°并建立关系解题，而实际上我们完全可以在△OMN中利用余弦定理得ON2=OM2+MN2-2OM·MNcos∠OMN，整理得MN2-+x2
0=0，因为MN有解，所以方程判别式△=2x2
0+2-4x2
0≥0，解得-1≤x0≤1.
应该说这种解法比较好理解.下面我们继续来用一元二次有解解高考题.
2014年高考浙江文科第16题：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是__________.
解析：下面先看不等式解法：因为b+c=-a，所以1-a2=b2+c2=（b+c）2-2bc=a2-2bc，则2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2，所以a2≤，解得-≤a≤，故a的最大值是.
从解答过程看变化过程有一定难度，而用一元二次方程有解来解则简洁多了，请看：因为a2+（a+c）2+c2=1，整理得关于c的方程2c2+2ac+2a2-1=0有解，所以判别式△=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，故a的最大值是.
2014年高考浙江文科第9题：设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，│+t│的最小值为1（ ）
A. 若θ确定，则││唯一确定
B. 若θ确定，则││唯一确定
C. 若││确定，则θ唯一确定
D. 若││确定，则θ唯一确定
解析：因为关于t的二次函数| +t |2=[][2]t2+2·t+[][2]最小值1，所以=[][2]-[][2]cos2θ=[][2]sin2θ=1，则| |=，所以若θ确定，则 | | 唯一确定，选B.
这里仅用一元二次函数的最值关系就解决了问题，下面我们继续用相同的方法来解
2014年高考浙江理科第17题：如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是__________.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
解析：过点P作PD⊥BC于点D，设CD=x，则PD=x.在Rt△ABC中，AB=15，AC=25，则BC=20，故BD=（20-x），所以AD==，由题意知θ=∠PAD，所以在Rt△PAD中tanθ====，从而当=，即x=时，tanθ取得最大值为=.
每年的高考题是值得我们复习中好好利用的，但在做题中不能仅止于“做出”，也要注意对解法的反思理解，最好能找出一些规律性的知识，从而达到举一反三，只有这样才能发挥这些高考题的最大作用.
（作者单位：浙江省绍兴越崎中学）
责任编校 徐国坚endprint
2014年高考全国卷（新课标2）理科第16题：设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是_________.
解析：如图2，从数形结合的角度考虑.过点M作圆O的切线MN′，切点为N′，连ON′，则∠OMN′≥45°，所以│OM│≤，故x2
0+1≤2，-1≤x0≤1.
这种解法需要能发现∠OMN′≥45°并建立关系解题，而实际上我们完全可以在△OMN中利用余弦定理得ON2=OM2+MN2-2OM·MNcos∠OMN，整理得MN2-+x2
0=0，因为MN有解，所以方程判别式△=2x2
0+2-4x2
0≥0，解得-1≤x0≤1.
应该说这种解法比较好理解.下面我们继续来用一元二次有解解高考题.
2014年高考浙江文科第16题：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是__________.
解析：下面先看不等式解法：因为b+c=-a，所以1-a2=b2+c2=（b+c）2-2bc=a2-2bc，则2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2，所以a2≤，解得-≤a≤，故a的最大值是.
从解答过程看变化过程有一定难度，而用一元二次方程有解来解则简洁多了，请看：因为a2+（a+c）2+c2=1，整理得关于c的方程2c2+2ac+2a2-1=0有解，所以判别式△=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，故a的最大值是.
2014年高考浙江文科第9题：设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，│+t│的最小值为1（ ）
A. 若θ确定，则││唯一确定
B. 若θ确定，则││唯一确定
C. 若││确定，则θ唯一确定
D. 若││确定，则θ唯一确定
解析：因为关于t的二次函数| +t |2=[][2]t2+2·t+[][2]最小值1，所以=[][2]-[][2]cos2θ=[][2]sin2θ=1，则| |=，所以若θ确定，则 | | 唯一确定，选B.
这里仅用一元二次函数的最值关系就解决了问题，下面我们继续用相同的方法来解
2014年高考浙江理科第17题：如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是__________.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
解析：过点P作PD⊥BC于点D，设CD=x，则PD=x.在Rt△ABC中，AB=15，AC=25，则BC=20，故BD=（20-x），所以AD==，由题意知θ=∠PAD，所以在Rt△PAD中tanθ====，从而当=，即x=时，tanθ取得最大值为=.
每年的高考题是值得我们复习中好好利用的，但在做题中不能仅止于“做出”，也要注意对解法的反思理解，最好能找出一些规律性的知识，从而达到举一反三，只有这样才能发挥这些高考题的最大作用.
（作者单位：浙江省绍兴越崎中学）
责任编校 徐国坚endprint
