2014年高考广东文科数学压轴题的探究分析与启示
2014-09-17林生
林生
高考试题是命题者集体智慧的结晶，其中很多高考试题独具匠心，既体现了在知识交汇点处命题的创新原则，又格调清新意境幽深.今年的高考广东文科数学压轴题（第21题）就是这样的题目.该试题设计平凡、朴实、常规，是考生最熟悉的题型，考生入手比较容易且解法看似常规，但是要完整地突破该题却发现不是想象的这么容易，因此该题在常规与平实中实现对考生思维深度与广度的能力考查，是一道真正地在常规中考能力、平实间考思维广度的不可多得好题.因此我们在研究该题时要主动探寻相关知识的变通和不同知识的交汇，找到其“源”与“流”，从而举一反三，开启思维，纵横联系、触类旁通，真正地实现2015年高考的高效备考，下面笔者以2014年高考广东文科数学第21题为载体，通过探求其解法、分析这种类型的实质，打开这类问题的“思维重门”，提出以下一些高效备考的建议.
一、真题回放
（2014年高考广东文科数学第21题）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a<0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）？
【点评】本题看似熟悉常规、平淡，有利考生信心的提升，思维的展开，但试题设问形式别开生面，且将数学思想方法（函数与方程、等价转化、分类谈论）和素养作为考查的重点，抓住了广东考生的“软肋”（字母运算和分类讨论），直击其“要害”，将字母运算、分类讨论等融为一体，是一道简约而不简单、深刻而不深奥的试题，让考生在平平淡淡中考能力、平平实实中考思维、稳扎稳打中见真功，这十分符合新课标的命题理念.
二、解法探究
1. 转轴拨弦三两声，未成曲调先有情——点开第一重认识：求单调区间.
初看题中的第（1）问时，颇有一种“似曾相识”的味道，这样的问题对考生来说是“老生常谈”的问题，但是考生如果对于分类讨论的问题不清晰的话，就难以找到解题分类的突破口，不懂得从哪个角度入手来分类.其实这一问实质上是考查利用导数这个工具来解决单调区间问题，求导之后，这就转化为二次函数的问题了，即f ′（x）=x2+2x+a，这时要求其单调区间，就转化为不等式问题了，只要判断何时f ′（x）>0和f ′（x）<0. 这样就转化为二次函数x2+2x+a的函数值到底是大于0还是小于等于0的问题了.那我们就要找准切入点，只需要对Δ=22-4×1×a=4-4a进行讨论，但是由于Δ=4-4a的情况不清楚，故就要分Δ=4-4a<0，Δ=4-4a=0和Δ=4-4a>0这三种情况.这样就找到了分类讨论的标准了，这样问题就迎难而解了.附详细解析：求导得f ′（x）=x2+2x+a，方程x2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a，
当Δ≤0时，即a≥1时，f ′（x）≥0，此时f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a<1时，方程x2+2x+a=0的两不等实根分别为x1=-1-，x2=-1+，
由f ′（x）>0得x<-1-或x>-1+；
由f ′（x）<0得-1- 综上，当a≥1时，f（x）的递增区间为（-∞，+∞）； 当a<1时，f（x）的递增区间为（-∞，-1-），（-1++∞），递减区间为（-1-，-1+）. 【点评】导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考内容之一，随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点.由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.因此只要抓住分类讨论的要点即可，一般分类讨论有以下几种情况：①求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论；②求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论；③求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论；以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论.当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握.因此我们在对含参数的导数问题的讨论时，就要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解. 2. 别有情调平添生，此时无声胜有声——建立第二重认识：存在性问题. 对于第（1）单调性的分析，功底深厚的考生还是可以比较顺畅地解决，但是第（2）问看起来十分简练，不在文字语言上难为考生.考生再认真分析判断其前提条件a<0时，原来这与（1）问有十分紧密的联系，这时已可以判断其单调区间，那到底存不存在x0呢？如何将所求问题转化为我们所学知识来解决呢？直接把f（x0）和f（）具体化，此法行不通，原因是含有参数a，无法直接将其f（x0）=f（）中的解x0求出来，这时，考生容易陷入“卡壳”现象：在紧张的考试里，无法找到解题的突破口！其实回头想想：既然是压轴题，这种直接的方法肯定行不通，那我们就要另寻“途径”，结合第（1）问单调性用函数图像来解决，这时观察（1）分析可知：由（1）知，f ′（x）=x2+2x+a=0的根一正一负，所以函数f（x）在（0，-1+）上单调递减，在（-1+，+∞）上单调递增.这时发现：a<0，∴-1+>0，因此只需要结合图像对-1+和的大小分类讨论便可以.即：①当-1+=时，即a=-，此时x=是f（x）在（0，1）上的唯一极小（最小）值点，不合题意；②当-1+<时，即-
∪[-，0），不存在x0满足题意.通过上面的分析，以上解法是充分利用（1）问中的结论，结合函数的图像，利用数形结合的方法，将其转化为解不等式的问题，这样问题就迎难而解. 该解法虽然运算量比较繁琐，但是这种解法是考生比较容易想到的，也充分地考查了考生的思维能力，是一种较为“普遍”的解法.
3. 嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘——思维层次的顿悟：转为二次函数值域问题.
通过对上面解法的分析，可以发现上面解法运算繁琐，对不等式解法稍微不够熟练便容易出错，那我们能否“另辟蹊径”，能否找到更为“简便”的方法？我们再来认真分析题目条件：是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）？我们能否转化为f（x0）-f（）=0的问题来解决，这时只需要对f（x0）-f（）这个函数进行结构分析就可以了，将f（x0）-f（）具体化，即得：f（x0）-f（）=x03+x02+ax0+1-[（）3+（）2+a（）+1]，那如何化简？这也是考生的一个思维障碍，考生看到这里就会觉得“无从下手”，其实只要认真分析其结构特征，找出其中的联系便可以发现：继续化简，便可以得到式子中含有公因式，即：原式等于[x03-（）3]+[x02-（）2]+a（x0-），这时只要继续化简便可以得：[（x0-）（x02++）]+（x0-）（x0+）+a（x0-）=（x0-）（+++x0++a）=（x0-）（4x02+14x0+7+12a），又因为x0∈（0，）∪（，1），所以若存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（），就要必须4x02+14x0+7+12a=0在（0，）∪（，1）上有解.这样问题又转化为二次函数的解的问题了，这时只需要对方程4x02+14x0+7+12a=0进行讨论，因为工a<0，
∴Δ=142-16（7+12a）=4（21-48a）>0，
方程的两根为：=，∵x0>0，
∴x0只能是，依题意，0<<1，即7<<11，
∴49<21-48a<121，即- 得a=-，故欲使满足题意的x0存在，则a≠-， ∴当a∈（-，-）∪（-，-）时，存在唯一的x0∈（0，）∪（，1）满足f（x0）=f（）. 当a∈（-∞，-]∪[-，0）∪- 时，不存在x0∈（0，）∪（，1）使f（x0）=f（）. 通过上面的分析可知：这种解法正是抓住f（x0）=f（）这一特征，即x0-是f（x0）=f（）的一个因式，通过因式分解可以起到降次转化的目的，进而转化为二次函数值域问题.这样运算量就大大地简化了.从中可知，只要我们平时训练这类问题时要注意解题策略：突出一个重要性质——单调性；强化一类特殊函数——二次函数；体现两种思想方法——等价转化和数形结合；凸显一种典型转化——变量分离.那么在高考中遇到再难的问题也可以从容解决. 4. 问渠哪得清如许，为有源头活水来——开启第三重认识：巧用洛比达法则. 上面转化为二次函数的值域问题这种解法，虽然是可以简化运算的，但是在这种转化过程中，有不少的考生也会这样考虑：假设存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（），即x03+x02+ax0+1=·++a·+1，即-a（x0-）=x03+x02-，整理得-a=，x0∈（0，）∪（，1）.这时很多考生很容易考虑到对a进行分离参数，分离参数得到-a=，在进一步做下去，很多考生就会构造函数g（x）=，x∈（0，）∪（，1），这时再求导，便会发现“此路不通”.究其原因，这是由于考生对题目的条件视而不见，无法实现有效转化.这是我们现有高中知识无法直接解决. 这样考生就可望而不可及！因此对于尖子生，我们还是要掌握一点高等数学知识，比如洛比达法则（若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）[lim] f（x）=0及[lim] g（x）=0；（2）在点a的去心邻域内，f（x）和g（x）可导且g′（x）≠0；（3）[lim] =l， 那么，[lim] =[lim] =l），结合洛比达则，我们只需要再考虑利用高等数学的洛比达法则便可，即：则g′（x）==，记h（x）=4x3+3x2-6x+，x∈（0，1），则h′（x）=12x2+6x-6=6（2x-1）（x+1）， 令h′（x）=0，得x=或x=-1.所以h（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，而h（0）=，h（）=0，h（1）=，所以h（x）≥0在x∈（0，1）恒成立，则g（x）在（0，），（，1）上单调递增， 由g（0）=， g（1）=，[lim] g（x）=[lim] =[lim] =，[lim] g（x）=[lim] =[lim] =，所以-a∈（，）∪（，），解得a∈（-，-）∪（-，-）.所以当a∈（-，-）∪（-，-）时，存在x0满足题意，当a∈（-∞，-]∪- ∪[-，0），不存在x0满足题意. 【点评】通过对a进行分离参数，其实这种解法也是我们平时练习中比较常见的方法，只不过这可是由于求导后无法“处理”所致，因此也提醒我们考生解题时要“瞻前顾后”，适当掌握一点高等数学知识，这样才可以在考场中找到更为简洁的方法. 5. 博观而约取， 厚积而薄发——寻找考题 “源” 与“流”. 纵观这道压轴题，其实考查的知识点都是围绕着二次函数的内容展开，关键就是对相关知识进行转化，灵活运用二次函数的知识.因此我们必须要二次函数的内容要深刻理解，要达到运用自如的境界.我们再从命题的源头上看，其实这道题目命题是仿照2011年高考数学（天津理科卷）第19题（附题目：已知a>0，函数f（x）=lnx-ax2，x>0.（f（x）的图像连续不断）（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=时，证明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（），解法：f ′（x）=-2ax=，x∈（0，+∞）. 令f ′（x）=0，解得x=.当x∈（0，）时， f ′（x）>0，当x∈（，+∞）时， f ′（x）<0所以， f（x）的单调递增区间是（0，），f（x）的单调递减区间是（，+∞）. （2）证明：当a=时，f（x）=lnx-x2.由（1）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减.令g（x）=f（x）-f（）.由于f（x）在（0，2）内单调递增，故f（2）>f（），即g（2）>0.取x′=e>2，则g（x′）=<0.所以存在x0∈（2，x′），使g（x0）=0，即存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（）（说明：x′的取法不唯一，只要满足x′>2，且g（x′）<0即可））如出一辙，只要我们当时对这个经典的高考题进行研究，那么这个题目对我们来说是“小菜一碟”.从近年的高考题研究我们也可以发现：很多高考题都是源自于教材或历年高考题的改编，只要我们在备考中做到“博观而约取”，那么备考时将会更有效.
三、千淘万漉虽辛苦 吹尽狂沙始到金——鉴古知今备高考
俗话说：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸的背面.”作为备考2015年高考的考生，同样也要一只眼睛看到高考题，另一只眼睛看到背面，这样才能高效地备考.针对这一压轴题的解法探究分析，我们得出2015年高考备考的建议：
1. 咬定 “双基” 狠抓不放，切实回归基础是“正道”，注重通性通法为“上上策”.
通过以上的分析可知：今年的高考很多题目都可以在教材或往年高考题中找到原型.但在实际训练中恰恰是大搞“题海”战术，盲目加大数学训练，往往忽略回归教材、忽视对基本的通性通法的训练.这种舍本逐末的做法导致了很多考生在今年高考吃了大亏，通过上面的题目分析可知命题者的指向——回归教材、注重通性通法，所谓的回归教材，即对课本中的概念、定义、定理、法则、公式必须记熟、理解；对数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）要准确表达与运用；重视公式的正用、逆用和活用，重视定理的推导，要理清知识发生的本原（如等差数列、等比数列求和公式的推导过程等），还要注意从学科整体意义上建构知识网络，形成完整的知识体系，掌握知识之间内在联系与规律，如深刻理解把握“三个二次”的关系等.总之，对于课本的基本概念、知识要让考生知其然，还要其所以然.另外复习时考生还要深入研究教材.以教材中的例、习题素材，深入浅出、举一反三、加以推敲、延伸和适当变形，典型例题.在这个过程中不追求数学解题中的所谓“技巧”，不搞“偏题”、“怪题”.将最基本的数学方法进行提升和巩固，突出思维能力和运算能力，及时引申拓展、培养归纳能力，这样考生在高考中才可以达到融会贯通、高屋建瓴的境界.
2. 重视通性通法，强化数学思想方法，领悟思想方法真谛.
近几年高考都注重通性通法，淡化技巧，突出考查数学思想方法.在2014年高考中尤为突出，相信明年高考将会延续，所以我们要高度重视通性通法，在学习中时刻注重渗透数学思想方法.因此在学习时将思想、方法的教学与基础知识融为一体才是最有效的，注重对数学思想方法的分析，把题目学活、学懂、学深.（“学活”就是让考生看到活生生的数学知识的来龙去脉和形成过程，而不是死的数学知识；“学懂”就是让考生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背；“学深”是指让考生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法）.用“1234567”口诀（高中数学一线牵， 代数几何两珠连， 三个基本记心间， 四种能力非等闲，常规五法天天练， 策略六项时时变， 精研数学七思想， 诱思导学乐无边）来备考：以函数为一条主线贯穿始终，将代数、几何珠联璧合，注重知识交汇；落实三基（方法熟、知识牢、技能巧）；提升四能力（概念运算准确、逻辑推理严谨、空间想象丰富、分解问题灵活）；重五法（换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法）；运用六策略（以简驭繁， 正难则反， 以退为进， 化异为同， 移花接木， 以静思动）；渗透强化七思想（函数方程最重要， 分类整合常用到，数形结合千般好，化归转化离不了，有限自将无限描，或然终被必然表，特殊一般多辨证）；只有这样，考生才可以领悟其真谛，内化每一种数学思想方法，达到融会贯通，最终演化为自己的数学潜能.
总之，高三数学复习是一个有序的、查漏补缺的思维训练和能力提升的过程，在其过程中关键在于落实，这就要求我们在备考过程中，始终坚持七个统一（进度与质量统一、基础与深度统一、重点与考点统一、热点与冷门统一、知识与方法统一、学法与考法统一、智力与非智力统一），只要我们在复习中不断自我更新、自我提升、百尺竿头、更进一步，那么我们的高考的备考将会优质而高效，我们考生也将可以在2015年高考傲笑考场.
（作者单位：信宜市信宜中学）
责任编校 徐国坚endprint
