圆与椭圆的相伴

刘护灵

2014年高考广东数学文理科都采用了同一道背景深刻的解析几何题，解法精彩多样，内涵深刻隽永，原题如下：

已知椭圆C：+=1（a>0，b>0）的一个焦点为（，0），离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0， y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程. （本小题满分14分）

第一问由条件知c=，又=，∴a=3，b2=a2-c2=4，椭圆C的标准方程为+=1.

本文主要解析第二问.

问题一：题目条件是什么意思？可能有什么样的解法？

画出示意图如图1，能够帮助我们理解问题的含义，在题目条件中，椭圆方程是固定的，运动变化的是点P的坐标，在运动过程中，不变的是有两个限制条件，其一是过点P的两条直线和椭圆相切，其二是这两条切线垂直.在解析几何中，解决问题的关键是利用恰当的代数方法描述这两个限制条件，不同的表示法就产生了各种不同的方法.

解法1：因为已经有点P（x0，y0），最容易想到的是利用直线的点斜式方程.设切线PA的方程为y-y0=k（x-x0），则切线PB的方程为y-y0=-（x-x0），联立方程组y-y0=k（x-x0），

+

=1，消去y并整理得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，由△=[18k（y0-kx0）]2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，即9[k（y0-kx0）2-（4+9k2）[（y0-kx0）2-4]=0，4+9k2=（y0-kx0）2 …………①

同理，另外一条相切直线和椭圆方程联立（简捷的办法是在①中用-代替k），化简得到4k2+9=（ky0+x0）2………②

① ②两式相加，消去k，整理得x2

0+y2

0=13，当k=0或k不存在时，点P的坐标也满足方程x2

0+y2

0=13，故点P的轨迹方程为x2

0+y2

0=13.

点评1：这个解法的开始部分——设直线的点斜式方程、联立圆锥曲线、消元，这是同学们所熟悉的，困难的地方是得出了①式之后，考生不知道往下算什么，即使得到了②式，那么这两个式子为什么相加而不是相减（因为两式相加恰好得到方程（1+k2）（x2

0+y2

0）=13（1+k2），刚好能消去k），这也是考生需要体会学习的.这个解法回避了韦达定理，但是运算的难度不低.

解法2：如果继续设直线方程的点斜式，利用韦达定理，考生可能更容易理解一些.

当两条切线的斜率存在时，设过P（x0， y0）点的切线为y-y0=k（x-x0）联立y-y0=k（x-x0），

+

=1，消去y得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，判别式△=182k2（y0-kx0）2-36（4+9k2）[（y0-kx0）2-4]=0，

化简得（y0-kx0）2-9k2-4=0，即（x2

0-9）k2-2x0y0k+（y2

0-4）=0，

设两条切线的斜率分别为k1和k2，则k1和k2是上述方程的两个根，由韦达定理得k=，由于两条切线垂直，即有k1k2=-1，所以化简得x2

0+y2

0=13，当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得P是直线x=-3，x=3，y=2，y=-2的四个交点，也满足x2

0+y2

0=13，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.

点评2：这个解法在化简判别式的时候，需要建立“以为主元”的指导思想，才能计算化简出关于的一元二次方程，从而利用韦达定理解决问题.而建立“以为主元”的方程，正是考生化简复杂的判别式时需要寻找的方向，如果没有这个思想的指导，考生计算下去时容易糊里糊涂，不知道运算的下一步是什么.

解法3：如果不理会点P的坐标（x0，y0），可以设切线为y=kx+m（当斜率存在时），

代入+=1，整理得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，

令判别式△=182k2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0，化简得m2=4+9k2，把切线方程化为m=y-kx，代入上式，消去m，即（y-kx）2=4+9k2，整理得到以k为主元的一元二次方程为（x2-9）k2-2xyk+（y2-4）=0，

注意到所有斜率为k的椭圆的切线都满足该方程，设题设的两条切线的斜率分别为k1和k2，由韦达定理，得k=，由于两条切线垂直，即有k1k2=-1，所以化简得x2+y2=13，当有一条直线斜率不存在或为0时，讨论同解法2，略.

点评3：这个解法本质上和解法2相同，关键的指导思想还是根据条件建立以为主元的一元二次方程，再利用韦达定理.

解法4：如果考生知道圆锥曲线的切线方程，还可以这样做：

设切点A（x1， y1）， B（x2， y2）不难证明两条切线的方程为：+=1，+=1，

设两条切线的交点P（x0，y0），则有：

+=1，+=1，

同时有：

+=1，+=1，还有：·+·=0（两条切线垂直），

化简得x2

0+y2

0=13，故点P的轨迹方程为x2

0+y2

0=13.

点评4：以上的解法可以说精彩纷呈，即突出考查了考生解析几何中用在原有直观几 何图形探究的基础上，“用代数解决几何问题”这一核心，从解决的过程来看，并没有刻意回避韦达定理.当然还有如利用椭圆的参数方程来求解等方法.解法1至3是通性通法，也是在平时学习中经常练习的.但是考生的困难往往在于联立消元的运算化简！数学评卷组组长、华南师范大学数学科学学院院长丁时进教授在评卷媒体会上指出，从评卷情况来看，考生主要问题还是表现在概念不清、运算能力薄弱、思维不够灵活.如近八成理科考生不能准确画出频率分布直方图；在简单的数字运算、方程或方程组求解、代数式的恒等变形等计算过程中出错是普遍存在的现象.这是同学们在学习过程中应十分值得警惕的.endprint

问题二：题目源自哪里？还有什么结论？

由本题的条件，发现计算出的结果x2+y2=13，这是一个圆！而13恰好等于9与4的和，所以容易推广得：

命题1：已知椭圆C：+=1（a>0，b>0），动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.

由上述方法很容易可以推广到双曲线.

命题2：已知双曲线C：-=1（a>0，b>0），只有当a>b时，才存在两条互相垂直的切线，且这两条切线的交点P的轨迹方程是x2+y2=a2-b2，此圆被称为双曲线C的准圆.

但是抛物线是一个特例.

命题3：已知抛物线C：y2=2px（p>0），动点P（x0，y0）为抛物线C外一点，且点P到抛物线的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程是x=-.即动点P恰好在抛物线的准线上.

命题1、2的圆被称为椭圆C的准圆（或伴圆），历史上是法国数学家Gaspard Monge首先发现的，所以又叫“蒙日圆”，（蒙日还提出了另外一个问题，即Monge′s Problem：画一个圆，使其与三已知圆正交.这是历史上的100个著名初等数学问题之一）. 而“准圆”是我国著名数学家单墫教授首先命名的.

不用解析几何的方法，用传统的几何证明方法，能否证明命题1呢？可以！

首先证明一个引理：

引理：如图2，四边形ABCD为矩形，点E为该平面上任意一点，则有[][]+[][]=[][]+[][].

证明：

因为左边=[][]+[][]=（+）2+（+）2

=[][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]；

同理右边=[][]+[][] =（+）2+（+）2

= [][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]，所以左边=右边.

现在可以用几何法来证明命题1.

如图3，设PA、PB是椭圆的两条垂直的切线，过椭圆的左焦点F1作关于PB的对称点F3，连接F1F3交PB于点M，则F3F2=F3B+BF2=F1B+BF2=2a，

又OM为F3F2的中位线，故OM=F3F2=a，

同理ON=a，注意到四边形PNF1M为矩形，

由引理得OP2=OM2+ON2-OF2

1=2a2-c2=a2+b2，证毕.

问题三：以往相似的高考题还有哪些？

鉴古知今，可以继往开来.如下还有一些曾经考过的高考题：

题1. （2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1， 0），且点P（0，1）在C1上.

（1） 求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程.（答案（1）+y2=1，（2）切线方程为：y=x+或者y=-x-）

这里的方法和本题的通法一模一样！只是联立两次，用两次判别式为0即可！还有：

题2：已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且=λ（λ>0）.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值.

题3：（2012年高考广东卷）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.（1） 求抛物线C的方程；（2） 当点P（x0，y0）为直线l上的定点时， 求直线AB的方程；（3） 当点P在直线l上移动时，求│AF│·│BF│的最小值.

……

同样涉及圆锥曲线的切线的历年高考题层出不穷，有人说历年的高考真题是最好的复习材料，因为如果把之前的高考题真的做会做活了，也许在这道高考题就不成问题了.

问题四：对于同学们高中学习有什么启示？

首先要读懂数学.对于习惯于聆听老师讲解数学的考生，要自己解读数学是一个很大的挑战，但是，这也是必须要勇于面对的一个挑战.数学，不论是作为思想的体操还是作为应用工具 ，都必须要求考生掌握数学的语言，数学的表达.不少同学在考场上遇到这道题束手无策的原因之一是读不懂题意，不知道怎么表达椭圆的两条切线，导致第二问空白，可惜！

其次是希望同学们在平时多阅读好的杂志、好的文章，不能光是阅读教材.例如《高中》（本刊）《中学数学研究》《数学通讯》等等，都是适合同学们阅读的杂志，在阅读中质疑，在阅读中探究，能够显著的提高同学们的学科素养.仅仅是一味的埋头做题是不够的.数学高考是全方位的考察同学们的学科素养的，而学科素养往往是需要同学们在阅读、思考、写作中反复琢磨、领悟而提高.本题实质是圆锥曲线的经典问题之一，早已发表在相关的中学刊物上，如果同学们有意识的进行阅读，并进行思考和探究，相信一定能激发同学们的学习兴趣，开阔同学们的数学眼界.同时近年来高考数学的命题趋势反复提醒，中学数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能训练，注重培养考生分析问题和解决问题的能力.同学们要学会如何思考数学问题，主动的弄清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律，掌握和领悟数学的思想.

（作者单位：广州市第五中学）

责任编校 徐国坚endprint

问题二：题目源自哪里？还有什么结论？

由本题的条件，发现计算出的结果x2+y2=13，这是一个圆！而13恰好等于9与4的和，所以容易推广得：

命题1：已知椭圆C：+=1（a>0，b>0），动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.

由上述方法很容易可以推广到双曲线.

命题2：已知双曲线C：-=1（a>0，b>0），只有当a>b时，才存在两条互相垂直的切线，且这两条切线的交点P的轨迹方程是x2+y2=a2-b2，此圆被称为双曲线C的准圆.

但是抛物线是一个特例.

命题3：已知抛物线C：y2=2px（p>0），动点P（x0，y0）为抛物线C外一点，且点P到抛物线的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程是x=-.即动点P恰好在抛物线的准线上.

命题1、2的圆被称为椭圆C的准圆（或伴圆），历史上是法国数学家Gaspard Monge首先发现的，所以又叫“蒙日圆”，（蒙日还提出了另外一个问题，即Monge′s Problem：画一个圆，使其与三已知圆正交.这是历史上的100个著名初等数学问题之一）. 而“准圆”是我国著名数学家单墫教授首先命名的.

不用解析几何的方法，用传统的几何证明方法，能否证明命题1呢？可以！

首先证明一个引理：

引理：如图2，四边形ABCD为矩形，点E为该平面上任意一点，则有[][]+[][]=[][]+[][].

证明：

因为左边=[][]+[][]=（+）2+（+）2

=[][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]；

同理右边=[][]+[][] =（+）2+（+）2

= [][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]，所以左边=右边.

现在可以用几何法来证明命题1.

如图3，设PA、PB是椭圆的两条垂直的切线，过椭圆的左焦点F1作关于PB的对称点F3，连接F1F3交PB于点M，则F3F2=F3B+BF2=F1B+BF2=2a，

又OM为F3F2的中位线，故OM=F3F2=a，

同理ON=a，注意到四边形PNF1M为矩形，

由引理得OP2=OM2+ON2-OF2

1=2a2-c2=a2+b2，证毕.

问题三：以往相似的高考题还有哪些？

鉴古知今，可以继往开来.如下还有一些曾经考过的高考题：

题1. （2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1， 0），且点P（0，1）在C1上.

（1） 求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程.（答案（1）+y2=1，（2）切线方程为：y=x+或者y=-x-）

这里的方法和本题的通法一模一样！只是联立两次，用两次判别式为0即可！还有：

题2：已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且=λ（λ>0）.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值.

题3：（2012年高考广东卷）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.（1） 求抛物线C的方程；（2） 当点P（x0，y0）为直线l上的定点时， 求直线AB的方程；（3） 当点P在直线l上移动时，求│AF│·│BF│的最小值.

……

同样涉及圆锥曲线的切线的历年高考题层出不穷，有人说历年的高考真题是最好的复习材料，因为如果把之前的高考题真的做会做活了，也许在这道高考题就不成问题了.

问题四：对于同学们高中学习有什么启示？

首先要读懂数学.对于习惯于聆听老师讲解数学的考生，要自己解读数学是一个很大的挑战，但是，这也是必须要勇于面对的一个挑战.数学，不论是作为思想的体操还是作为应用工具 ，都必须要求考生掌握数学的语言，数学的表达.不少同学在考场上遇到这道题束手无策的原因之一是读不懂题意，不知道怎么表达椭圆的两条切线，导致第二问空白，可惜！

其次是希望同学们在平时多阅读好的杂志、好的文章，不能光是阅读教材.例如《高中》（本刊）《中学数学研究》《数学通讯》等等，都是适合同学们阅读的杂志，在阅读中质疑，在阅读中探究，能够显著的提高同学们的学科素养.仅仅是一味的埋头做题是不够的.数学高考是全方位的考察同学们的学科素养的，而学科素养往往是需要同学们在阅读、思考、写作中反复琢磨、领悟而提高.本题实质是圆锥曲线的经典问题之一，早已发表在相关的中学刊物上，如果同学们有意识的进行阅读，并进行思考和探究，相信一定能激发同学们的学习兴趣，开阔同学们的数学眼界.同时近年来高考数学的命题趋势反复提醒，中学数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能训练，注重培养考生分析问题和解决问题的能力.同学们要学会如何思考数学问题，主动的弄清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律，掌握和领悟数学的思想.

（作者单位：广州市第五中学）

责任编校 徐国坚endprint

问题二：题目源自哪里？还有什么结论？

由本题的条件，发现计算出的结果x2+y2=13，这是一个圆！而13恰好等于9与4的和，所以容易推广得：

命题1：已知椭圆C：+=1（a>0，b>0），动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.

由上述方法很容易可以推广到双曲线.

命题2：已知双曲线C：-=1（a>0，b>0），只有当a>b时，才存在两条互相垂直的切线，且这两条切线的交点P的轨迹方程是x2+y2=a2-b2，此圆被称为双曲线C的准圆.

但是抛物线是一个特例.

命题3：已知抛物线C：y2=2px（p>0），动点P（x0，y0）为抛物线C外一点，且点P到抛物线的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程是x=-.即动点P恰好在抛物线的准线上.

命题1、2的圆被称为椭圆C的准圆（或伴圆），历史上是法国数学家Gaspard Monge首先发现的，所以又叫“蒙日圆”，（蒙日还提出了另外一个问题，即Monge′s Problem：画一个圆，使其与三已知圆正交.这是历史上的100个著名初等数学问题之一）. 而“准圆”是我国著名数学家单墫教授首先命名的.

不用解析几何的方法，用传统的几何证明方法，能否证明命题1呢？可以！

首先证明一个引理：

引理：如图2，四边形ABCD为矩形，点E为该平面上任意一点，则有[][]+[][]=[][]+[][].

证明：

因为左边=[][]+[][]=（+）2+（+）2

=[][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]；

同理右边=[][]+[][] =（+）2+（+）2

= [][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]，所以左边=右边.

现在可以用几何法来证明命题1.

如图3，设PA、PB是椭圆的两条垂直的切线，过椭圆的左焦点F1作关于PB的对称点F3，连接F1F3交PB于点M，则F3F2=F3B+BF2=F1B+BF2=2a，

又OM为F3F2的中位线，故OM=F3F2=a，

同理ON=a，注意到四边形PNF1M为矩形，

由引理得OP2=OM2+ON2-OF2

1=2a2-c2=a2+b2，证毕.

问题三：以往相似的高考题还有哪些？

鉴古知今，可以继往开来.如下还有一些曾经考过的高考题：

题1. （2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1， 0），且点P（0，1）在C1上.

（1） 求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程.（答案（1）+y2=1，（2）切线方程为：y=x+或者y=-x-）

这里的方法和本题的通法一模一样！只是联立两次，用两次判别式为0即可！还有：

题2：已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且=λ（λ>0）.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值.

题3：（2012年高考广东卷）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.（1） 求抛物线C的方程；（2） 当点P（x0，y0）为直线l上的定点时， 求直线AB的方程；（3） 当点P在直线l上移动时，求│AF│·│BF│的最小值.

……

同样涉及圆锥曲线的切线的历年高考题层出不穷，有人说历年的高考真题是最好的复习材料，因为如果把之前的高考题真的做会做活了，也许在这道高考题就不成问题了.

问题四：对于同学们高中学习有什么启示？

首先要读懂数学.对于习惯于聆听老师讲解数学的考生，要自己解读数学是一个很大的挑战，但是，这也是必须要勇于面对的一个挑战.数学，不论是作为思想的体操还是作为应用工具 ，都必须要求考生掌握数学的语言，数学的表达.不少同学在考场上遇到这道题束手无策的原因之一是读不懂题意，不知道怎么表达椭圆的两条切线，导致第二问空白，可惜！

其次是希望同学们在平时多阅读好的杂志、好的文章，不能光是阅读教材.例如《高中》（本刊）《中学数学研究》《数学通讯》等等，都是适合同学们阅读的杂志，在阅读中质疑，在阅读中探究，能够显著的提高同学们的学科素养.仅仅是一味的埋头做题是不够的.数学高考是全方位的考察同学们的学科素养的，而学科素养往往是需要同学们在阅读、思考、写作中反复琢磨、领悟而提高.本题实质是圆锥曲线的经典问题之一，早已发表在相关的中学刊物上，如果同学们有意识的进行阅读，并进行思考和探究，相信一定能激发同学们的学习兴趣，开阔同学们的数学眼界.同时近年来高考数学的命题趋势反复提醒，中学数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能训练，注重培养考生分析问题和解决问题的能力.同学们要学会如何思考数学问题，主动的弄清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律，掌握和领悟数学的思想.

（作者单位：广州市第五中学）

责任编校 徐国坚endprint