一道高考解析几何题的几点思考

李昭平

题目（2014年高考安徽卷理科数学第19题）：如图，已知两条抛物线E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

思考1：解法基础，注重创新

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几何的核心内容，它充分体现了解析几何“由数研形”和“由形研数”两大基本思想.2014年高考安徽卷对解析几何的考查也不例外.

本题主要考查直线与抛物线之间的位置关系、解方程组、平面几何知识与向量在解析几何中的运用，考查逻辑推理能力、提炼概括能力和运算求解能力.虽解法常规，但背景设计跳出了以往的传统题型.以两条抛物线为载体，通过研究直线与抛物线的位置关系，获得三角形之间的平行与面积关系，融解几、平几、方程、向量等知识于一体，具有推陈出新之效. 考生的普遍反映是：“入手易、深入难”“会而不对、会而不全”.因此，从难度、区分度、新颖度和满意度等几个方面来看，此题是一道解法基础、注重创新的好题.

思考2：多种思路， 体验探究

思路（1）：运用向量法

（Ⅰ）设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），则 由y=k1x，

y2=2p1x，得A1

，

. 由 y=k1x，

y2=2p2x，得A2

，

.同理可得B1

，

，B2

，

.所以=

-

，

-

=2p1

-

，

-

，=

-

，

-

=2p2

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）由（I）知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1～△A2B2C2 . 因此=. 又由（I）中的=知=. 故=.

思路（2）：运用斜率法

A1

，

、A2

，

、 B1

，

、 B2

，

，

①当k1+k2≠0时，k[A B][1][1] ==，k[A B][2][2] ==，

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2]，A1B1∥A2B2 .

②当k1+k2=0时，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，故A1B1∥A2B2 .

综合①②，知A1B1∥A2B2 .

（Ⅱ）的解法与上述相同，略去.

显然，无论是思路（1）还是思路（2），联立方程组求出A1、B、A2、B2的坐标是必须的.运用向量法，通过求出和的坐标，根据向量平行的充要条件获证.运用斜率法，必须讨论斜率存在和不存在两种情况.从考生和阅卷反馈的信息来看，考生的得分率并不高.一是题面新、字母多、运算量较大；二是需要提炼概括规律；三是陷入求面积的表达式，没有想到利用平面几何中的相似，这是一个思维难点. 解题中， 让考生体验探究的过程，凸现考生的综合能力.

思考3：联想论证，获得新知

联想1： 已知两个椭圆E1∶+=1（a>b>0）和 E2∶+=1（k>0）.过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.

（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

解析：假设A1，A2和B1，B2均在第一象限.

（Ⅰ）设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），则 由y=k1x，

+

=1，得A1

，

.同理可得B1

，

，A2

，

，B2

，

，

所以=ab

-，

-，

=kab

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）同原题得到，= .

说明：上述椭圆E1和E2的离心率相同，称为相似椭圆.联想1是从抛物线向椭圆的类比.

联想2： 已知两条双曲线和过原点的两条直线E1∶-=1（a，b>0）和 E2∶-=1（k>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点. （Ⅰ）A1B1∥A2B2； （Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

说明：上述双曲线E1和E2的离心率相同，称为相似双曲线.联想2是从抛物线向双曲线的类比.解析过程与联想1类似，大家自己完成，这里略去.

联想3：已知两条抛物线E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l与E1，E2分别交于A1，A2两点，B1，B2两点分别在E1，E2上，且A1B1∥A2B2 .证明： O，B1，B2三点共线.

证明：设直线l的方程为y=kx（k≠0），则A1

，

， A2

，

.

设B1（， y1）， B2（， y2）. 由A1B1∥A2B2，得∥，所以·=0，即（-）·（y2-）-（-）·（y1-）=0，整理得（p1y2-p2y1）（ky1-2p1）（ky2-2p2）=0.因为（ky1-2p1）（ky2-2p2）≠0，所以p1y2=p2y1.而 =（，y1）， =（，y2）.

于是·y2-y1·=y1y2（-）=y1y2·=0，所以∥ .

故O，B1，B2三点共线.

说明： 联想3是对原题进行逆向思考而得到的.

以上我们从一道高考题出发，通过分析、求解、联想对其进行思考和研究，融观察、猜想、证明于一体，三种圆锥曲线的和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是： 高考题往往具有代表性、典型性和拓展性，备考复习中恰当地选用，对提高思维水平和综合能力十分有益.

（作者单位：安徽省太湖中学）

责任编校 徐国坚endprint

题目（2014年高考安徽卷理科数学第19题）：如图，已知两条抛物线E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

思考1：解法基础，注重创新

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几何的核心内容，它充分体现了解析几何“由数研形”和“由形研数”两大基本思想.2014年高考安徽卷对解析几何的考查也不例外.

本题主要考查直线与抛物线之间的位置关系、解方程组、平面几何知识与向量在解析几何中的运用，考查逻辑推理能力、提炼概括能力和运算求解能力.虽解法常规，但背景设计跳出了以往的传统题型.以两条抛物线为载体，通过研究直线与抛物线的位置关系，获得三角形之间的平行与面积关系，融解几、平几、方程、向量等知识于一体，具有推陈出新之效. 考生的普遍反映是：“入手易、深入难”“会而不对、会而不全”.因此，从难度、区分度、新颖度和满意度等几个方面来看，此题是一道解法基础、注重创新的好题.

思考2：多种思路， 体验探究

思路（1）：运用向量法

（Ⅰ）设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），则 由y=k1x，

y2=2p1x，得A1

，

. 由 y=k1x，

y2=2p2x，得A2

，

.同理可得B1

，

，B2

，

.所以=

-

，

-

=2p1

-

，

-

，=

-

，

-

=2p2

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）由（I）知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1～△A2B2C2 . 因此=. 又由（I）中的=知=. 故=.

思路（2）：运用斜率法

A1

，

、A2

，

、 B1

，

、 B2

，

，

①当k1+k2≠0时，k[A B][1][1] ==，k[A B][2][2] ==，

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2]，A1B1∥A2B2 .

②当k1+k2=0时，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，故A1B1∥A2B2 .

综合①②，知A1B1∥A2B2 .

（Ⅱ）的解法与上述相同，略去.

显然，无论是思路（1）还是思路（2），联立方程组求出A1、B、A2、B2的坐标是必须的.运用向量法，通过求出和的坐标，根据向量平行的充要条件获证.运用斜率法，必须讨论斜率存在和不存在两种情况.从考生和阅卷反馈的信息来看，考生的得分率并不高.一是题面新、字母多、运算量较大；二是需要提炼概括规律；三是陷入求面积的表达式，没有想到利用平面几何中的相似，这是一个思维难点. 解题中， 让考生体验探究的过程，凸现考生的综合能力.

思考3：联想论证，获得新知

联想1： 已知两个椭圆E1∶+=1（a>b>0）和 E2∶+=1（k>0）.过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.

（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

解析：假设A1，A2和B1，B2均在第一象限.

（Ⅰ）设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），则 由y=k1x，

+

=1，得A1

，

.同理可得B1

，

，A2

，

，B2

，

，

所以=ab

-，

-，

=kab

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）同原题得到，= .

说明：上述椭圆E1和E2的离心率相同，称为相似椭圆.联想1是从抛物线向椭圆的类比.

联想2： 已知两条双曲线和过原点的两条直线E1∶-=1（a，b>0）和 E2∶-=1（k>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点. （Ⅰ）A1B1∥A2B2； （Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

说明：上述双曲线E1和E2的离心率相同，称为相似双曲线.联想2是从抛物线向双曲线的类比.解析过程与联想1类似，大家自己完成，这里略去.

联想3：已知两条抛物线E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l与E1，E2分别交于A1，A2两点，B1，B2两点分别在E1，E2上，且A1B1∥A2B2 .证明： O，B1，B2三点共线.

证明：设直线l的方程为y=kx（k≠0），则A1

，

， A2

，

.

设B1（， y1）， B2（， y2）. 由A1B1∥A2B2，得∥，所以·=0，即（-）·（y2-）-（-）·（y1-）=0，整理得（p1y2-p2y1）（ky1-2p1）（ky2-2p2）=0.因为（ky1-2p1）（ky2-2p2）≠0，所以p1y2=p2y1.而 =（，y1）， =（，y2）.

于是·y2-y1·=y1y2（-）=y1y2·=0，所以∥ .

故O，B1，B2三点共线.

说明： 联想3是对原题进行逆向思考而得到的.

以上我们从一道高考题出发，通过分析、求解、联想对其进行思考和研究，融观察、猜想、证明于一体，三种圆锥曲线的和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是： 高考题往往具有代表性、典型性和拓展性，备考复习中恰当地选用，对提高思维水平和综合能力十分有益.

（作者单位：安徽省太湖中学）

责任编校 徐国坚endprint

题目（2014年高考安徽卷理科数学第19题）：如图，已知两条抛物线E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

思考1：解法基础，注重创新

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几何的核心内容，它充分体现了解析几何“由数研形”和“由形研数”两大基本思想.2014年高考安徽卷对解析几何的考查也不例外.

本题主要考查直线与抛物线之间的位置关系、解方程组、平面几何知识与向量在解析几何中的运用，考查逻辑推理能力、提炼概括能力和运算求解能力.虽解法常规，但背景设计跳出了以往的传统题型.以两条抛物线为载体，通过研究直线与抛物线的位置关系，获得三角形之间的平行与面积关系，融解几、平几、方程、向量等知识于一体，具有推陈出新之效. 考生的普遍反映是：“入手易、深入难”“会而不对、会而不全”.因此，从难度、区分度、新颖度和满意度等几个方面来看，此题是一道解法基础、注重创新的好题.

思考2：多种思路， 体验探究

思路（1）：运用向量法

（Ⅰ）设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），则 由y=k1x，

y2=2p1x，得A1

，

. 由 y=k1x，

y2=2p2x，得A2

，

.同理可得B1

，

，B2

，

.所以=

-

，

-

=2p1

-

，

-

，=

-

，

-

=2p2

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）由（I）知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1～△A2B2C2 . 因此=. 又由（I）中的=知=. 故=.

思路（2）：运用斜率法

A1

，

、A2

，

、 B1

，

、 B2

，

，

①当k1+k2≠0时，k[A B][1][1] ==，k[A B][2][2] ==，

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2]，A1B1∥A2B2 .

②当k1+k2=0时，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，故A1B1∥A2B2 .

综合①②，知A1B1∥A2B2 .

（Ⅱ）的解法与上述相同，略去.

显然，无论是思路（1）还是思路（2），联立方程组求出A1、B、A2、B2的坐标是必须的.运用向量法，通过求出和的坐标，根据向量平行的充要条件获证.运用斜率法，必须讨论斜率存在和不存在两种情况.从考生和阅卷反馈的信息来看，考生的得分率并不高.一是题面新、字母多、运算量较大；二是需要提炼概括规律；三是陷入求面积的表达式，没有想到利用平面几何中的相似，这是一个思维难点. 解题中， 让考生体验探究的过程，凸现考生的综合能力.

思考3：联想论证，获得新知

联想1： 已知两个椭圆E1∶+=1（a>b>0）和 E2∶+=1（k>0）.过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.

（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

解析：假设A1，A2和B1，B2均在第一象限.

（Ⅰ）设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），则 由y=k1x，

+

=1，得A1

，

.同理可得B1

，

，A2

，

，B2

，

，

所以=ab

-，

-，

=kab

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）同原题得到，= .

说明：上述椭圆E1和E2的离心率相同，称为相似椭圆.联想1是从抛物线向椭圆的类比.

联想2： 已知两条双曲线和过原点的两条直线E1∶-=1（a，b>0）和 E2∶-=1（k>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点. （Ⅰ）A1B1∥A2B2； （Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

说明：上述双曲线E1和E2的离心率相同，称为相似双曲线.联想2是从抛物线向双曲线的类比.解析过程与联想1类似，大家自己完成，这里略去.

联想3：已知两条抛物线E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l与E1，E2分别交于A1，A2两点，B1，B2两点分别在E1，E2上，且A1B1∥A2B2 .证明： O，B1，B2三点共线.

证明：设直线l的方程为y=kx（k≠0），则A1

，

， A2

，

.

设B1（， y1）， B2（， y2）. 由A1B1∥A2B2，得∥，所以·=0，即（-）·（y2-）-（-）·（y1-）=0，整理得（p1y2-p2y1）（ky1-2p1）（ky2-2p2）=0.因为（ky1-2p1）（ky2-2p2）≠0，所以p1y2=p2y1.而 =（，y1）， =（，y2）.

于是·y2-y1·=y1y2（-）=y1y2·=0，所以∥ .

故O，B1，B2三点共线.

说明： 联想3是对原题进行逆向思考而得到的.

以上我们从一道高考题出发，通过分析、求解、联想对其进行思考和研究，融观察、猜想、证明于一体，三种圆锥曲线的和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是： 高考题往往具有代表性、典型性和拓展性，备考复习中恰当地选用，对提高思维水平和综合能力十分有益.

（作者单位：安徽省太湖中学）

责任编校 徐国坚endprint