高超声速飞行器曲线拟合建模方法

崔建峰, 张科, 吕梅柏

(1.西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072;2.航天飞行动力学国家重点实验室, 陕西 西安 710072)

0 引言

机体/发动机一体化的设计理念及轻质材料的应用,使得吸气式高超声速飞行器的动力学特性十分复杂,存在着较为显著的气动-热-弹性-推进耦合现象。构建一个合理综合上述交叉耦合因素的动力学模型成为研究吸气式高超声速飞行器控制系统的基础。目前,吸气式高超声速飞行器控制系统研究广泛应用的动力学模型之一,是由Bolender等人提出的基于斜基波-膨胀波理论建立的二维高超声速飞行器动力学模型[1-2]。国内一些学者也借鉴此种解析建模方法构建了相应的吸气式高超声速飞行器二维动力学模型[3-5]。

上述模型所提供的气动数据离散,不便于进行非线性控制系统综合设计。因此,文献[6-8]在解析模型的基础上对气动数据进行曲线拟合,得到面向控制的曲线拟合模型(Curve-Fitted Model,CFM)。气动数据曲线拟合是一个较为耗费时间与计算机资源的过程。例如,为得到对应于7个自变量、每个自变量10个水平值的气动数据,需要消耗将近80 GB的计算机存储容量,如果每次计算需要5 ms,则获取上述数据需要计算将近14 h[7]。所以,拟合前需要依据可供使用的计算机资源选取适当简化形式的模型,这将限制拟合模型的可信度及其与原始物理模型之间的一致程度。因此,建立一种快速、可靠的曲线拟合建模方法是十分必要的。

本文将在现有弹性高超声速飞行器动力学模型的基础上,借助均匀设计、逐步回归等统计学方法快速高效地获取飞行器的CFM模型,最后仿真验证模型的可靠性,并与现有CMF模型进行对比分析。

1 曲线拟合建模

1.1 原始物理模型

本文以文献[1-2]中给出的高超声速飞行器动力学模型为曲线拟合参考对象。该飞行器的几何结构如图1所示,外形参数及其他详细信息可参见文献[2,6-8]。

图1 高超声速飞行器模型几何结构Fig.1 Geometry of the hypersonic vehicle model

该模型主要采用理论分析方法构建,飞行器表面压强分布及气流参数利用空气动力学中的斜基波-膨胀波理论,分别在高超声速飞行器前体斜坡、发动机燃烧室、后体膨胀面以及控制舵面处进行计算,飞行器超燃冲压发动机的推力则通过瑞利流模型进行估算。该飞行器模型还考虑到弹性效应。模型的结构弹性模态基于单根欧拉-伯努利自由梁,通过假设模态法求解,并利用一阶活塞理论计算由刚体模态及弹性模态引起的非定常气动力。另外,模型的飞行力学方程主要在稳定轴坐标系下,利用拉格朗日方程推导得出,具体如式(1)所示。

(1)

1.2 曲线拟合模型数据生成

传统的曲线拟合模型求解方法需要获取大量的拟合数据集和验证数据集,这个过程较为耗费时间与计算机资源，且因数据集庞大,给后期模型拟合带来不便。因此,本文将使用均匀试验设计来简化数据生成的过程。

均匀试验设计是应对探索性试验获取近似模型要求而产生的近似试验设计方法,也是计算机试验设计的主要方法之一[9]。借助均匀设计方法,可以在需要进行多水平试验的情况下,极大地减少待试验次数。利用均匀设计方法,首先要确定试验因素及试验设计空间。

表1 状态变量工作范围Table 1 Parameter ranges for curve fitting

在确定试验因素及试验设计空间后,一般情况下,当试验因素s≤7时,可以直接选用文献[9]及其他相关文献中提供的均匀设计表开始进行仿真试验。由于本文试验因素有12个,因此需要根据均匀设计的原理和方法构造指定试验因素的均匀设计表。

常用的均匀设计表构造方法有好格子点法、方幂好格子点法及在其基础上改进的修正法与切割法[9]。本文中的试验因素均为连续变量,对变量水平没有严格限制,故本文使用方幂好格子点法及其修正方法构建均匀设计表。详细的方法与步骤如下:

(1)给定试验次数n,寻找比n小的整数h,且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的正整数组成一个数组h=(h1,h2,…,hm)。其中m由欧拉函数决定。

(2)设计表的第j列利用下式生成:

uij=ihj[modn]

(2)

这里[modn]表示同余运算,若ihj超过n,则用它减去n的一个适当倍数,使差落在[1,n]之中。uij可以递推来生成:

(3)

用上述方法生成的设计表记为U(nm),如果划去Un+1表的最后一行,则获得修正的设计表

U*(nm);

(3)均匀设计表应用需要使用表,方幂好格子点法利用整数的同余幂生成使用表。

令a为小于n的整数,且a,a2,…,at在[modn]的意义下互不相同,若at+1[modn]=1,则称a对n的次数为t。若a对n的次数大于或等于s-1,则可用式(4)作为生成向量。

(a0,a,…,as-1)[modn]

(4)

在一切可能的a(最多n-1个)中去比较相应生成表的均匀性,均匀性最优的一组生成向量即为使用表。于是,给定n和s,便可以获得均匀性最佳的设计表,此时记为U(n,ns),如是修正的均匀设计,则记为U*(n,ns)。

均匀设计表的构造过程中,需要在不同生成表间进行寻优。比较两个均匀设计表的好坏等价于比较它们所对应两组点集的均匀性。常用的均匀性测度有Lp-星偏差、中心化L2-偏差(CD2)、可卷L2-偏差(WD2)等[9]。根据上述均匀性测度的准确性及计算复杂程度,本文选用中心化L2-偏差作为均匀设计表的均匀性测度,其计算公式为:

(5)

本文以CD2(P)≤0.12为评价标准,最终获取的均匀设计表为U*(240,24012),其中星号表示由修正方法生成,该表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.1172。

1.3 曲线拟合模型求解

利用上节获取的均匀设计表U*(240,24012)进行仿真试验,生成相应的气动力、推力及广义力数据。在这些数据的基础上,为获取各变量间的相互关系,需要进行回归分析。根据理论及实际计算结果分析可知,各力与试验因素间并非简单的线性关系,需要考虑到各因素之间的交互作用及因素高次项的影响。但将如此多的因素全部引入到拟合模型中,势必过于复杂,且可能形成“过拟合”。因此,需要从这些众多相关因素中挑选出对结果有显著影响的部分因素,剔除一些不显著因子,故可以使用逐步回归分析法。

逐步回归的基本步骤是:从一个因素开始,视因素对结果作用的显著程度,从大到小逐步引入回归方程;在引入每个新因素的同时,要对已引入因素进行显著性判断,当原引入因素由于后面因素的引入变得不再显著时,将其剔除;该过程反复进行,直至既无不显著因素从回归方程中剔除,又无显著因素选入回归方程时为止。对因素的显著性判断是通过针对偏回归平方和的假设检验实现的[9]。

通过观察单变量对结果的影响及参考文献[6-8]的拟合形式,最终获取的CFM模型为:

(6a)

(6b)

式中,角度单位为rad;空气密度则根据美国1976年标准大气表计算得到。

阻力系数及推力系数因受刚体参数影响更为显著,因此,在逐步回归过程中,有关的弹性气动导数项作为非显著因子被剔除。这与文献[6-8]中的拟合结果不一致。文献[6-8]因采用最小二乘法进行拟合,受资源限制提前选取了特定形式的模型,从而在拟合结果中将非显著因子引入,处理简单划一,夸大了非显著因子的作用,使拟合得到的CFM模型可靠性下降。而逐步回归法以偏回归平方和的假设检验为依据,动态引入显著因子,使拟合结果更为可靠,这些可通过后续的模型验证与对比分析体现出来。

2 CFM模型验证与对比分析

2.1 CFM模型验证

在获取CFM模型后,需要对模型进行验证。一般可以通过复相关系数R与残余标准偏差S来检验回归方程的显著性与精度。这两个统计量的定义为:

(7)

对于验证数据集的生成,同样可以使用均匀设计表来获取。借助前述均匀设计表构造方法,获取的验证用均匀设计表为U*(1034,103412),该表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.055。

在获取验证数据集后,本文CFM模型各统计量数值如表2所示。

表2 CFM模型统计量Table 2 Statistics of curve-fitted model

从表2中可以看出,飞行器各力回归方程的复相关系数均接近于1,说明CFM模型与原物理模型的一致程度较高。

2.2 CFM模型对比分析

对于已有的CFM模型,文献[8]在吸气式高超声速飞行器几何外形与配置上与本文一致。本文以升力、阻力、推力及俯仰力矩为对象对比拟合效果。相比于原始物理模型,计算所得的统计量数值如表3所示,各自的残差如图2所示(横坐标P为验证数据点的序号)。为了更直观地查看拟合效果,在图3中还给出了使用真实物理模型、本文CFM模型、文献CFM模型计算得到气动力和力矩随速度和迎角的变化图。

从表3、图2和图3中可以看出,本文借用均匀设计和逐步回归法所获取的CFM模型与真实物理模型更为一致,模型精度也更好,但用于拟合及验证的数据点却不到2000个,建模过程耗费的时间与计算机资源大为减少。

表3 两种CFM模型统计量对比Table 3 Comparison of statistics between two types of CFM

图2 CFM模型残差图Fig.2 Residual chart of curve-fitted model

图3 气动力和力矩拟合对比Fig.3 Comparison of curve-fitting results

3 结束语

本文提出了一种借助均匀设计、逐步回归等统计学理论建立、评价及检验弹性高超声速飞行器CFM模型的方法。通过与现有CFM模型的各项数据对比分析表明,基于均匀设计和逐步回归方法进行高超声速飞行器曲线拟合建模是一种高效、可靠的方法,其所建立的CFM模型与原始物理模型的一致程度优于现有CFM模型,而所消耗的时间与计算机资源远小于现有拟合方法。

参考文献：

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