例谈“极端化策略”法在解题中的运用

沈岳夫

文[1]分别从退一步、转视角、借数感、缜推演四个方面，阐述数学中考压轴题的解题策略，笔者拜读后受益匪浅.现结合笔者在教学实践中积累的经验，谈谈“极端化策略”在解题中的一些做法，以与同行交流.

1用“极端化策略”法探求函数关系中的变化规律

对动点产生的图形和图象的函数关系式问题，有时考虑极端情形，如量的最大、最小，图形特殊位置或临界位置等，能找到解题的突破口，从极端情形的讨论和研究找到解决最值问题的方法，进而确定函数关系的大致图象.

例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）.

分析由于点D是AB边上的一个动点，虽然不与点A、B重合，但我们可考虑其重合的情况，这样把问题退到特殊情形.当点D与点A重合时，由于DE⊥DC，此时点E也与点A重合，则根据题意易求CE=AC=3；当点D在AB中点时，则CD=AD，∠ECD=∠DAC=30°，进而求得CE=233；当点D与点B重合时，由于DE⊥DC，此时点DE与AC平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大.

解因为∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，所以BC=1，AC=3.当x=0时，y的值是3；当x=1时，y的值是233；当x=2时，由于DE⊥DC，此时点DE与AC平行.虽然x不能取到2，但y应该是无穷大，故结合图象，分析可知y与x的函数关系图象大致是B.

点评本例直接处理，难度很大.但由于题目（包括已知条件、待求结论和图形）中提取一些暗示信息，如D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合）退到特殊位置——重合，继而对图形进行定性、定量分析，将几何图形的直观描述与代数的精确刻画有机结合.这不仅找到了解题的切入口，而且迅速破解了问题的结论，并对此类问题的解决具有一定的导向作用.

2用“极端化策略”法探求线段比值中的定值问题

对于某些求解几何图形中的线段比值问题，若从所给图形入手很难找到解题突破口.此时，我们若采用一些几何变换手段，如平移、翻折、旋转等，使某些图形回归到特殊位置，蕴涵在其中的数量关系和位置关系的便会由隐变显，从而达到顺利而又简捷地解决问题的目的.

例2如图2，四边形ABCD和AEGH都是正方形，求GC∶HD的值.

分析观察图形，直接求GC∶HD的值确实不知道从何处入手.但注意到四边形ABCD和AEGH都是正方形，我们不妨把图2退到图3的特殊位置，此时因为正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，所以∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，则A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，进而得HD=BE，因为AG=AEsin45°=2AE，AC=ABsin45°=2AB，所以GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE）=2BE=2HD，所以GC∶HD=2∶1.

解如图4，连接AG、AC，因为AGAH=ACAD=2，所以AGAC=AHAD.又因为∠GAH=∠CAD=45°，所以∠GAH-∠CAH=∠CAD-∠CAH，即∠GAC=∠HAD，所以△CAG∽△DAH，所以GC∶HD=AC∶AD=2∶1.

点评本例从正方形AEGH的一般位置旋转到图3的特殊位置，发现了GC∶HD=2∶1，并由此获得解题的启发，作出辅助线顺利求解.这样让一个看似“静态”的图形通过旋转，打破了思维定势，实现由隐至显、由生至熟、由深至浅、由难至易的化归与转化，这是把对抽象、一般问题的探究转向对具体、特殊问题的探究，此谓“退一步，海阔天空”！

3用“极端化策略”法探求运动变化过程中的最值

对于某些数学问题，如果按照题意直接求解（证）有很大的困难，我们可以尝试变换一个角度去看问题，先找出符合题意的特殊值、特殊图形、特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题的途径.

例3如图5，两平行线l1、l2的距离等于6，点A为l1上一定点.以AC为直径的半圆纸片的半径等于4.将半圆纸片裁剪得到扇形纸片AOB，圆心角∠AOB=α.将此扇形纸片绕着点A在l1、l2之间顺时针旋转，并要保证点B能落在直线l2上，请求的最大值和最小值.

（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34.）

分析由于以AC为直径的半圆纸片绕着点A在l1、l2之间顺时针旋转，所以只要考虑两种特殊情形：当OB⊥l2时，即点B是弧AB与l2相切的切点时，大到最大；当AB⊥l2时，达到最小值.

解当OB⊥l2时，α最大.如图6，延长BO交l1于点C.因为l1∥l2，所以∠ACO=90°，所以cos∠AOC=COAO=12，所以∠AOC=60°，所以∠AOB=120°.

当AB⊥l2时，α最小.如图7，过O作OH⊥AB交于点H.由垂径定理，得AH=BH=3，所以sin∠AOH=AHAO=34，所以∠AOH=49°.因为α=2∠AOH，所以∠AOB=98°.

综上所述，α的最大值和最小值分别是120°和98°.

点评本例看似较难入手，但由于扇形纸片绕着点A在l1、l2之间顺时针旋转，所以只要细心观察、认真分析、积极思考，就能找到两种特殊情形OB⊥l2或AB⊥l2，进而求得的最大值和最小值，这种解决问题的方法思路称为极端化策略.极端化策略在进行某些数学过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端性原则能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，从而达到事半功倍的效果

4用“极端化策略”法探求运动变化过程中的不变量

从特殊到一般，从一般到特殊的思维方法是数学和其他科学领域中进行探索发现真理的重要途径.对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先考虑特殊情形，探求解题思路或命题的结论，再给出一般情况下的证明，体现了以退为进，以屈求伸的解题策略.endprint

例4如图8，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥轴于点M，交直线于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.

分析首先，用极端化策略考虑以下几个位置：（1）点A与点M重合；（2）在ON上选取点P的几个特殊位置（如O点、N点），描出相应的点B位置.从B的几个位置猜想点B的运动路径（或轨迹）为如图9中的B0Bn.再利用相似可以证明.其次，如图10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长.

解由题意可知，OM=22，点N在直线上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如图9所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn.因为AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因为AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.

如图10所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP、ABi、B0Bi.因为AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因为AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因为△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为22.

点评苏谆教授曾说：“简单情形正像是一把钥匙、一面镜子，可以为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴”.对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题解决.“特例探路”实质上是一种“以退为进”的策略——退中悟理，执理而进.这样，就大大避免了探索的盲目性，使思维过程优化变短，显得简洁明快.所谓“难的不会，想简单的”，说的就是这个道理.

以上仅从四个方面谈了“极端化策略”法在解题中的运用.事实上，“极端化策略”法远不止这些.只要我们认真总结，用心感悟，灵活运用，就会将“极端化策略”法变成解决数学问题的法宝和利器.

参考文献

[1]钱德春.活用解题策略方入思维胜境——例谈数学中考压轴题的解题策略[J].中学数学杂志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如图8，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥轴于点M，交直线于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.

分析首先，用极端化策略考虑以下几个位置：（1）点A与点M重合；（2）在ON上选取点P的几个特殊位置（如O点、N点），描出相应的点B位置.从B的几个位置猜想点B的运动路径（或轨迹）为如图9中的B0Bn.再利用相似可以证明.其次，如图10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长.

解由题意可知，OM=22，点N在直线上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如图9所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn.因为AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因为AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.

如图10所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP、ABi、B0Bi.因为AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因为AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因为△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为22.

点评苏谆教授曾说：“简单情形正像是一把钥匙、一面镜子，可以为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴”.对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题解决.“特例探路”实质上是一种“以退为进”的策略——退中悟理，执理而进.这样，就大大避免了探索的盲目性，使思维过程优化变短，显得简洁明快.所谓“难的不会，想简单的”，说的就是这个道理.

以上仅从四个方面谈了“极端化策略”法在解题中的运用.事实上，“极端化策略”法远不止这些.只要我们认真总结，用心感悟，灵活运用，就会将“极端化策略”法变成解决数学问题的法宝和利器.

参考文献

[1]钱德春.活用解题策略方入思维胜境——例谈数学中考压轴题的解题策略[J].中学数学杂志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如图8，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥轴于点M，交直线于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.

分析首先，用极端化策略考虑以下几个位置：（1）点A与点M重合；（2）在ON上选取点P的几个特殊位置（如O点、N点），描出相应的点B位置.从B的几个位置猜想点B的运动路径（或轨迹）为如图9中的B0Bn.再利用相似可以证明.其次，如图10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长.

解由题意可知，OM=22，点N在直线上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如图9所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn.因为AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因为AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.

如图10所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP、ABi、B0Bi.因为AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因为AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因为△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为22.

点评苏谆教授曾说：“简单情形正像是一把钥匙、一面镜子，可以为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴”.对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题解决.“特例探路”实质上是一种“以退为进”的策略——退中悟理，执理而进.这样，就大大避免了探索的盲目性，使思维过程优化变短，显得简洁明快.所谓“难的不会，想简单的”，说的就是这个道理.

以上仅从四个方面谈了“极端化策略”法在解题中的运用.事实上，“极端化策略”法远不止这些.只要我们认真总结，用心感悟，灵活运用，就会将“极端化策略”法变成解决数学问题的法宝和利器.

参考文献

[1]钱德春.活用解题策略方入思维胜境——例谈数学中考压轴题的解题策略[J].中学数学杂志（初中版），2014（2）：51-53.endprint