过任意一点作三角形面积平分线的问题研究

黄良春

关于“过平面内任意一点作一条直线平分三角形面积”的尺规作图，有很多老师作过思考与研究，并得出了一定的结论.但从所查阅到的资料来看，对于这一问题的结论还比较零散，且问题研究不够具体、细致.笔者经过仔细分析研究，对该问题有了较为完整的结论与细致的思考过程.

以下为叙述方便，定义两个概念：

1.面积平分线：平面内，如果一条直线把一个多边形分成面积相等的两个部分，那么这条直线就叫做这个多边形的面积平分线；

2.旋转相似多边形：在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，再将所得多边形以点O为旋转中心旋转一定的角度，这种经过缩放和旋转的图形与原多边形叫做旋转相似多边形.

1过三角形边上一点作面积平分线

1.若该点为三角形的顶点或边的中点，那么，过该点的中线所在直线即为面积平分线.

图12.若该点P在BC边上（如图1），且BP≠CP（不失一般性，BP

证明：设AD交PM于O点，因为DM∥AP，所以S△APM=S△APD，所以S△AOM=S△POD，所以S△PMC=S△ADC，又因为AD为中线，所以S△ADC=12S△ABC，所以S△PMC=S△ADC=12S△ABC，即直线PM平分△ABC的面积.

2过三角形内任意一点作面积平分线

2.1思路分析

在图2中，D为BC边的中点，P点为△ABC内一点.由上可知，若使经过P点的直线MN平分△ABC的面积，则需S△MCN=12S△ABC，即MC·NC=12BC·AC=DC·AC.因为P为△ABC内一确定点，所以，DC·AC必须与P点有关的线段联系起来.因此，可连接PD、PC以形成△PDC（如图3），以C点为旋转中心，作△PDC的旋转相似△AEC，则有DC·AC=PC·EC.那么，问题则转化为需MC·NC=PC·EC成立.显然，以上线段分别是△PNC、△MEC的四条边，且有∠NCP=∠ECM，那么，只需∠PNC=∠MEC，使得△PNC∽△MEC，即可得到MC·NC=PC·EC.过P点作PF∥NC交EC于F，那么，只需∠MPF=∠MEF.根据四点共圆的性质，若P、F、M、E四点共圆即可，即M点为经过三点P、F、E的圆与AC的交点.这样，问题的解决则取决于E、F点的确定，而E、F两点只与点P有关，因此，问题的最终解决也只与P点有关.

由以上分析，可概括直线MN的作法步骤：（参见图3）

在△ABC中，D为BC的中点，P是△ABC内任意一点.

（1）连接PD、PC；

（2）作△AEC∽△PDC；

（3）过P作PF∥BC，交EC于F；

（4）作△PEF的外接圆，交AC于M；

（5）连接MP并延长，交BC于N；

则MN为△ABC的面积平分线.

（证明略）

2.2几点思考

2.2.1中点的选择

在上述讨论中，图3是由图2而来，中点D是既定的，无需我们作出选择.但在已知一个三角形及其内任意一点的条件之下，中点D该如何确定呢？是不是可以三个中点任选其一？

（1）在AC边上取中点D

如图4，连接PC、PD，作△BCE∽△PCD（旋转相似三角形），过点P作PF∥AC交CE的延长线于F，△PEF的外接圆交BC于N，则经过N、P的直线（交AC于M）一定平分△ABC的面积.

证明略.（图中的两组相似三角形非常关键△BCE∽△PCD、△NEC∽△PMC）

（2）在AB边上取中点D.

如图5，作△AEC∽△ADP.可以看出，在两个相似三角形中，所涉线段很难与MC·NC及AC·BC建立起一定的联系.

所以，选择AB边上的中点不太合适.

由上可以得出这样的结论：中点需选择在M、N所在的两条边上.但在已知一个三角形和三角形内一点的一般情况下，M、N点的位置确定正是需要解决的问题.

不过，确定M、N点的大致位置，或确定它们所在的边是不难做到的.

2.2.2M、N点所在边的确定

如图6，AD，BE，CF是△ABC的三条中线.

因为三角形的三条中线都将该三角形的面积平分，所以，可以以三角形的中线为参照，对过三角形内的其它任意一点且平分三角形面积的直线的位置作一大致判断.

在图6中，过P点的直线L1、L2、L3都将△ABC分成两个部分，但它们各自分别与中线比较后不难看出，直线L1更接近于三角形面积平分线；图7中直线L4更接近于三角形面积平分线.这样，就很容易地判断出图6中过P点的三角形面积平分线与AC、BC边相交，图7中过P点的三角形面积平分线与AB、BC边相交.

2.2.3两个旋转相似三角形的确定

从以上的分析与作法中，我们可以看到两个相似三角形的确定非常重要.

以图3为例，若以△PDB而非△PDC作与之相似的三角形，则很难找到需要的M点或N点.因为，通过△PDB很难找到与其相似，且与AB、BC两边关联的三角形.

总结图3、图4中两个相似三角形的确定，可发现两例都有一个共同点：所作的两个相似三角形都是以与三角形面积平分线相交的两边（AC、BC）的公共点——三角形的顶点C为旋转中心而成的旋转相似三角形.若以另外两个顶点之一作为旋转中心则不便于问题的解决.

2.2.4过P点的平行线的作法

在图3、图4中，过P点所作直线PF是确定三点（P、E、F）共圆、确定三角形面积平分线的重要步骤.两例中，所作直线PF都与中点D所在边平行，那么，PF与另外两边之一平行情况会怎样呢？

（1）若PF与AB平行.可以看出过P、E、F三点的圆与AC、BC都不相交，也就确定不了三角形面积平分线与两边的交点；

（2）若PF与非中点D所在的另一边平行.以图3为例，若PF∥AC，则有下图（图8），经过P、E、F三点的圆与BC边交于N点.显然，图8与图4的结果是一致的.

由此可以看出，过P点可以任作与AC或BC的平行线.不过，就此种情况，从作图的方便与精确性来看，作PF∥BC较为合适.

综上，不妨对过三角形内任意一点P（不在中线上）的面积平分线L的作法步骤作如下描述：（以图7为例，参见图9）

第一步，以三角形的中线为参照，判断直线L的大致位置.直线L与三角形相交的两边为AB与BC；

第二步，选取其中任一边的中点——AB的中点D（也可取BC的中点），以B（AB、BC的公共点）点为旋转中心作旋转相似三角形——△BDP∽△BEC；

第三步，过P点作PF∥AB（也可作PF∥BC），交BE于F；

第四步，作△PEF的外接圆，交BC于M（另一交点显然不合适）.则过点P、M的直线为三角形ABC的面积平分线.（证明略）.

3过三角形外任意一点作面积平分线

可以想象，不论是过三角形内一点还是过三角形外一点，同样都是作过该点的三角形面积平分线，其分析方法及注意事项应该大致相同.

参照过三角形内任意一点的面积平分线的作法及注意事项，我们尝试作过三角形外一点的面积平分线（以下皆用“P”表示三角形外任意一点）.

若P在三角形某一中线的延长线上，则该中线所在的直线即为过P点的面积平分线.以下所述，P点皆不在三角形任一中线延长线上.

3.1确定面积平分线的大致位置

在过三角形内任意一点的面积平分线的分析过程中，我们知道确定面积平分线的大致位置，即确定面积平分线与三角形相交的两边是解决问题的重要的第一步.因此，在作过三角形外任意一点的面积平分线时，我们也应该首先对面积平分线的大致位置作一初步判断，以确定中点所在的边.

可分以下两种情形进行判断：

（1）点P在三角形一边所在直线的外侧

如图10所示.此种情形很容易就能判断过P点的面积平分线的大致位置.图10图11（2）点P在三角形两边所在直线的外侧

如图11所示，过A点作三角形的中线并延长，通过比较也不难确定过P点的面积平分线与三角形相交的两条边.

3.2确定一个合适的中点及相应边

按照过三角形内一点作面积平分线的要求，可在与面积平分线相交的两条边中任选一边，并确定其中点.在图10中，可取AC的中点，也可取BC的中点.以下以取AC边的中点为例进行讨论.

3.3作两个旋转相似三角形

如图12，D为AC边的中点.连接PD、PC，以AC、BC的公共点C为旋转中心作旋转相似三角形，△CBE∽△CPD，

则有CD·BC=PC·EC.

3.4过P点作一边的平行线

按照P在三角形内的作法，可过P点作PF∥AC（或PF∥BC），交EC的延长线于F.（见图12）

3.5作过P，E，F的圆，交BC于M，连接PM交AC于N.（见图12）

因为P，F，E，M四点共圆，所以∠MEC=180°-∠MPF=∠PNC，所以△MEC∽△PNC，则PC·EC=MC·NC，那么MC·NC=CD·BC=12AC·BC，则MN为三角形ABC的面积平分线.

若过P点作PF∥BC，交EC的延长线于F，作过P、E、F三点的圆，此圆与AC交于N（见图13），则直线PN平分三角形ABC的面积.

若在BC边中取中点D，则同上作法，可得图14.

同样可以证明，直线PM为三角形ABC的面积平分线.endprint

（1）若PF与AB平行.可以看出过P、E、F三点的圆与AC、BC都不相交，也就确定不了三角形面积平分线与两边的交点；

（2）若PF与非中点D所在的另一边平行.以图3为例，若PF∥AC，则有下图（图8），经过P、E、F三点的圆与BC边交于N点.显然，图8与图4的结果是一致的.

由此可以看出，过P点可以任作与AC或BC的平行线.不过，就此种情况，从作图的方便与精确性来看，作PF∥BC较为合适.

综上，不妨对过三角形内任意一点P（不在中线上）的面积平分线L的作法步骤作如下描述：（以图7为例，参见图9）

第一步，以三角形的中线为参照，判断直线L的大致位置.直线L与三角形相交的两边为AB与BC；

第二步，选取其中任一边的中点——AB的中点D（也可取BC的中点），以B（AB、BC的公共点）点为旋转中心作旋转相似三角形——△BDP∽△BEC；

第三步，过P点作PF∥AB（也可作PF∥BC），交BE于F；

第四步，作△PEF的外接圆，交BC于M（另一交点显然不合适）.则过点P、M的直线为三角形ABC的面积平分线.（证明略）.

3过三角形外任意一点作面积平分线

可以想象，不论是过三角形内一点还是过三角形外一点，同样都是作过该点的三角形面积平分线，其分析方法及注意事项应该大致相同.

参照过三角形内任意一点的面积平分线的作法及注意事项，我们尝试作过三角形外一点的面积平分线（以下皆用“P”表示三角形外任意一点）.

若P在三角形某一中线的延长线上，则该中线所在的直线即为过P点的面积平分线.以下所述，P点皆不在三角形任一中线延长线上.

3.1确定面积平分线的大致位置

在过三角形内任意一点的面积平分线的分析过程中，我们知道确定面积平分线的大致位置，即确定面积平分线与三角形相交的两边是解决问题的重要的第一步.因此，在作过三角形外任意一点的面积平分线时，我们也应该首先对面积平分线的大致位置作一初步判断，以确定中点所在的边.

可分以下两种情形进行判断：

（1）点P在三角形一边所在直线的外侧

如图10所示.此种情形很容易就能判断过P点的面积平分线的大致位置.图10图11（2）点P在三角形两边所在直线的外侧

如图11所示，过A点作三角形的中线并延长，通过比较也不难确定过P点的面积平分线与三角形相交的两条边.

3.2确定一个合适的中点及相应边

按照过三角形内一点作面积平分线的要求，可在与面积平分线相交的两条边中任选一边，并确定其中点.在图10中，可取AC的中点，也可取BC的中点.以下以取AC边的中点为例进行讨论.

3.3作两个旋转相似三角形

如图12，D为AC边的中点.连接PD、PC，以AC、BC的公共点C为旋转中心作旋转相似三角形，△CBE∽△CPD，

则有CD·BC=PC·EC.

3.4过P点作一边的平行线

按照P在三角形内的作法，可过P点作PF∥AC（或PF∥BC），交EC的延长线于F.（见图12）

3.5作过P，E，F的圆，交BC于M，连接PM交AC于N.（见图12）

因为P，F，E，M四点共圆，所以∠MEC=180°-∠MPF=∠PNC，所以△MEC∽△PNC，则PC·EC=MC·NC，那么MC·NC=CD·BC=12AC·BC，则MN为三角形ABC的面积平分线.

若过P点作PF∥BC，交EC的延长线于F，作过P、E、F三点的圆，此圆与AC交于N（见图13），则直线PN平分三角形ABC的面积.

若在BC边中取中点D，则同上作法，可得图14.

同样可以证明，直线PM为三角形ABC的面积平分线.endprint

（1）若PF与AB平行.可以看出过P、E、F三点的圆与AC、BC都不相交，也就确定不了三角形面积平分线与两边的交点；

（2）若PF与非中点D所在的另一边平行.以图3为例，若PF∥AC，则有下图（图8），经过P、E、F三点的圆与BC边交于N点.显然，图8与图4的结果是一致的.

由此可以看出，过P点可以任作与AC或BC的平行线.不过，就此种情况，从作图的方便与精确性来看，作PF∥BC较为合适.

综上，不妨对过三角形内任意一点P（不在中线上）的面积平分线L的作法步骤作如下描述：（以图7为例，参见图9）

第一步，以三角形的中线为参照，判断直线L的大致位置.直线L与三角形相交的两边为AB与BC；

第二步，选取其中任一边的中点——AB的中点D（也可取BC的中点），以B（AB、BC的公共点）点为旋转中心作旋转相似三角形——△BDP∽△BEC；

第三步，过P点作PF∥AB（也可作PF∥BC），交BE于F；

第四步，作△PEF的外接圆，交BC于M（另一交点显然不合适）.则过点P、M的直线为三角形ABC的面积平分线.（证明略）.

3过三角形外任意一点作面积平分线

可以想象，不论是过三角形内一点还是过三角形外一点，同样都是作过该点的三角形面积平分线，其分析方法及注意事项应该大致相同.

参照过三角形内任意一点的面积平分线的作法及注意事项，我们尝试作过三角形外一点的面积平分线（以下皆用“P”表示三角形外任意一点）.

若P在三角形某一中线的延长线上，则该中线所在的直线即为过P点的面积平分线.以下所述，P点皆不在三角形任一中线延长线上.

3.1确定面积平分线的大致位置

在过三角形内任意一点的面积平分线的分析过程中，我们知道确定面积平分线的大致位置，即确定面积平分线与三角形相交的两边是解决问题的重要的第一步.因此，在作过三角形外任意一点的面积平分线时，我们也应该首先对面积平分线的大致位置作一初步判断，以确定中点所在的边.

可分以下两种情形进行判断：

（1）点P在三角形一边所在直线的外侧

如图10所示.此种情形很容易就能判断过P点的面积平分线的大致位置.图10图11（2）点P在三角形两边所在直线的外侧

如图11所示，过A点作三角形的中线并延长，通过比较也不难确定过P点的面积平分线与三角形相交的两条边.

3.2确定一个合适的中点及相应边

按照过三角形内一点作面积平分线的要求，可在与面积平分线相交的两条边中任选一边，并确定其中点.在图10中，可取AC的中点，也可取BC的中点.以下以取AC边的中点为例进行讨论.

3.3作两个旋转相似三角形

如图12，D为AC边的中点.连接PD、PC，以AC、BC的公共点C为旋转中心作旋转相似三角形，△CBE∽△CPD，

则有CD·BC=PC·EC.

3.4过P点作一边的平行线

按照P在三角形内的作法，可过P点作PF∥AC（或PF∥BC），交EC的延长线于F.（见图12）

3.5作过P，E，F的圆，交BC于M，连接PM交AC于N.（见图12）

因为P，F，E，M四点共圆，所以∠MEC=180°-∠MPF=∠PNC，所以△MEC∽△PNC，则PC·EC=MC·NC，那么MC·NC=CD·BC=12AC·BC，则MN为三角形ABC的面积平分线.

若过P点作PF∥BC，交EC的延长线于F，作过P、E、F三点的圆，此圆与AC交于N（见图13），则直线PN平分三角形ABC的面积.

若在BC边中取中点D，则同上作法，可得图14.

同样可以证明，直线PM为三角形ABC的面积平分线.endprint