有关“认识不等式”若干问题问答

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）倡导旨在培养学生智慧的“过程教育”——关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思的过程.但调研发现大多数教师的课堂教学不符合“过程教育”要求.基于“过程教育”的浙教版课标教材八年级上册“31认识不等式”的教学应该怎样操作？本文以问答的形式呈现这节课的几个节点问题及参考答案，供读者参考、研究.

问：数学结果是课程内容的主要组成部分.这节课涉及哪些数学结果？其研究背景及地位与作用分别是什么？

答：数学结果包括数学中的事实、概念、性质、定理、公式、法则、规律、方法、问题与结论等.根据数学结果的含义，从不等式的概念体系中可以析出其涉及的数学结果有：生活中的不等关系及蕴含的生活常识；描述不等关系的三种语言，不等式的概念（包括名称、定义、属性、示例）及定义不等式的基本步骤；列不等式的方法，简单不等式在数轴上的表示方法；用不等式解决有代表性的问题.其逻辑关系可用图1表示.图1不等式是在认识代数式、一次方程等知识的基础上提出来的；它是刻画现实世界数量不等关系的重要数学模型；尽管不等式是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段对不等式的认识比较肤浅，有进一步认识的必要.“认识不等式”是系统认识不等式的起点；其涉及的表示数量不等关系的三种语言之间的相互转化的技能是进一步认识不等式的基本技能；具体到抽象和特殊到一般的研究方法对认识数学有指导作用.

问：数学结果的形成、应用的过程和蕴含的数学思想方法也是课程内容的有机组成部分.这节课的认知过程和认知条件分别是什么？其认知价值及认知障碍分别有哪些？

答：认知过程是指获得有关数学结果（或解决问题）的步骤.认知条件是指认知所需要的必要条件（学习中不可缺少的条件——学习新知识必须具有的先决条件）和支持性条件（对学习起“催化剂”作用的条件——数学认知策略、数学思想方法、数学活动经验、态度等）.认知价值是指认知过程和蕴含的数学思想方法对发展学生智力、能力和个性的影响.认知障碍是指学生在认知过程中可能会遇到的困难.例如，运用学习任务分析理论，获得不等式概念的认知过程和认知条件的分析结果可用图2表示.图2从图2可以看出：获得不等式概念的基本步骤是：①从“现实情境”中抽象出若干具体不等式；②观察具体不等式的特征；③归纳不等式的本质特征；④用文字和符号定义不等式.获得不等式概念的必要条件是：具有产生不等式所需要的生活常识和数学常识，具有列式的经验.获得不等式概念的支持性条件是：多角度观察研究对象特征的经验，特殊到一般的归纳思想，定义研究对象的经验.尽管不等式可以看成是来自生活现实的数学抽象，也可以看成是数学自身逻辑的产物，但从文字、符号、图形表示不等关系情境中产生不等式能反映描述数量不等关系有三种方式.类似地分析获得其他数学结果的认知过程和认知条件，可以析出“认识不等式”的认知价值有：从“现实情境”中抽象出具体不等式的过程、定义不等式的过程、表示数量不等关系的三种语言之间的相互转化的过程、用获得的数学结果解决有代表性问题的过程等，有能力发展点、个性和创新精神培养点；其蕴含的生活常识、转化思想、符号表示思想、归纳思想、数形结合思想、演绎思想等对发展学生的智力有积极的影响.尽管学生有将生活问题转化为数学问题的经历与经验，但认识描述不等关系有三种语言及三种语言的优缺点可能部分学生会遇到困难；尽管学生有定义研究对象的经历与经验，但感悟定义的步骤及蕴含的数学思想可能部分学生会遇到困难；尽管学生有列式的经历与经验，但认识不等号的意义（特别是关键性词语的含义）可能部分学生会遇到困难；尽管学生有在数轴上表示数的经历与经验，但在数轴上表示简单不等式可能部分学生会遇到困难；尽管学生有用获得的数学结果解决问题的经历与经验，但感悟用获得的数学结果解决问题的策略、方法和技巧等可能部分学生会遇到困难.

问：学习结果是教学目标的基本成分.这节课涉及哪些学习结果？

答：依据《课标（2011年版）》倡导的学习结果分类理论，从涉及数学结果的逻辑结构和获得数学结果的认知结构中可以析出其“结果性”学习成果有：事实性知识——不等式的名称，表示不等式的符号；概念性知识——不等式的概念；程序性知识——列不等式的方法，定义不等式的步骤，用数轴表示不等式的方法；元认知知识——研究不等式采用的特殊到一般和具体到抽象的思维策略，产生不等式蕴含的抽象思想或演绎思想，定义不等式蕴含的归纳思想，文字语言转化为符号语言蕴含的符号表示思想，用数轴表示不等式蕴含的数形结合思想，用获得的数学结果解决有代表性问题蕴含的演绎思想等.知识技能——能在具体情境中识别不等式，会根据题意列出不等式，会在数轴上表示简单的不等式；理解概念——能陈述不等号的意义，能知道将文字语言或图形语言转化为符号语言是满足运算的需要，能知道将文字语言或符号语言转化为图形语言是满足直观解释的需要；运用规则——会运用列不等式的方法和用数轴表示不等式的方法解决有代表性的问题；解决问题——能在探索不等式的数轴表示中生成用数轴表示不等式的方法.其“过程性”学习成果可能有：在经历产生并感悟不等式过程中的个性化体验；在参与定义不等式活动中的个性化表现；在探索不等式的数轴表示中的个性化想法；在参与尝试知识应用活动中的个性化表现；在获得数学结果之后的反思过程中的个性化体验及对学习不等式意义的感触等.

问：教学结构是实现教学目标的通道.这节课应构建怎样的教学结构？

答：一定的教学结构反映了一定的教学思想，基于“过程教育”的教学结构应当是逻辑连贯的，并且要符合数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律.按这个观点，这节课的教学结构可用图3表示.图3这是一个以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程.这个“简单、自然、动态、和谐”的教学结构，能使学生经历完整的数学思考过程，对促进学生认知与情感的变化与发展有积极的影响.endprint

问：依据“过程教育“，“经历产生并感悟不等式的过程”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生独立用符号来表示下列数量关系.

（1）PM25是指大气中直径小于或等于25微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.设某种可入肺颗粒物的直径为a微米，怎样用符号来表示a与25之间的关系？

（2）汽车在低速或超速下行驶，排出的有害废气会远远大于正常行驶的车辆.图4是高速公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得低于60km/h.设汽车的速度为v（km/h），怎样用符号来表示v与60之间的关系？

（3）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000℃.设太阳表面的温度为t（℃），怎样用符号来表示t与6000之间的关系？

（4）如图5，a是数轴上的一点，怎样用符号来表示a的取值范围？

（5）如果代数式x+5x-3有意义，怎样用符号来表示x的取值范围？

（6）如图6，在Rt△ACB中，∠C=90°，怎样用符号来表示图中角与角之间的数量关系和边与边之间的数量关系？请你给出尽可能多的结果！

其次，教师组织学生进行汇报交流，同时教师进行必要的激励与评价.

第三，教师引导学生反思：表示数量不等关系有几种方式？为何要将文字语言、图形语言转化为符号语言？你对这类数量不等关系式有何感触？接下来，教师在学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

以前我们遇到的大多是量与量之间的相等关系，但在现实生活或在数学中还存在量与量之间的不等关系，并且现实生活中遇到的大多是量与量之间的不等关系.描述数量不等关系有三种语言：文字语言、符号语言、图形语言.尽管文字语言比较通俗，但文字语言不能参与运算；尽管符号语言可以参与运算，但符号语言比较抽象；尽管图形语言也不能参与运算，但图形语言比较直观.在数学中经常要进行三种语言之间的转化，特别是将文字语言、图形语言转化为符号语言以满足运算的需要，有时也要将符号语言转化为图形语言以满足直观解释的需要.这节课主要学习数量不等关系的表示及其相互之间的转化.（揭示课题）

解析：尽管不等式可以看成是来源于生活世界，也可以看成是数学自身逻辑的产物，但从文字、符号、图形表示数量不等关系的情境中来产生不等式能反映描述数量不等关系有三种语言.这个经历性数学活动的内容不仅包括具体不等式，也包括有价值的生活常识和数学常识及列不等式的方法；教学采用了教师价值引导下的学生独立学习基础上的汇报交流和汇报交流基础上的教师总结性讲解的方法——既有认知过程前半段：创设有价值的情境、经历列不等式的过程、交流与评价所列的不等式，以产生符合题意的不等式；也有认知过程后半段：产生具体不等式之后的反思，以满足学生感悟数量不等关系的现实存在性、描述数量不等关系有三种语言及三种语言之间需要相互转化.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能建立新旧知识之间的内在联系和激发学生的学习兴趣，并对发展学生列不等式的技能和养成独立学习基础上合作交流的学习习惯有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与定义不等式的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师引导学生观察并归纳数学关系式“a≤25，t≥6000，x≠3，∠A<90°，AB>AC”的共同特征.

其次，教师在学生归纳上述数学关系式的共同特征的基础上给出不等式的定义：像“a≤25、t≥6000、x≠3、∠A<90°、AB>AC”，用符号“≤”、“≥”、“≠”、“<”、“>”连接而成的数学式子，叫做不等式.这些用来连接的符号统称不等号.

第三，教师引导学生反思：定义不等式的基本步骤是什么？接下来，教师在学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

定义不等式的基本步骤：

①在“现实情境”中抽象出具体的不等式；

②观察并归纳具体不等式的共同特征；

③用文字和符号定义不等式.

在这个过程中蕴涵的数学思想有：转化思想、归纳思想、符号表示思想等.

解析：尽管不等式概念的教学要求是了解，但教材对不等式概念的定位从小学“白描”层次上升到了“归纳”层次，并且定义不等式的步骤对以后学习其他研究对象有指导作用.这个参与式数学活动的内容不仅包括不等式的概念，也包括定义不等式的步骤和蕴含的数学思想；教学采用了教师价值引导下的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：观察具体不等式的特征，归纳具体不等式的共同特征，用文字和符号定义不等式，以形成不等式的概念；也有认知过程后半段：获得不等式概念之后的反思，以感悟定义不等式的步骤及蕴含的归纳思想及进一步需要研究的问题.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历获得不等式概念的思维“站点”，并对发展学生的观察与归纳能力及反思意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“探索不等式的数轴表示”的教学怎样操作？

答：首先，教师提出引导性问题：不等式y>3的含义是什么？你能给出尽可能多的满足这个不等式的一些数吗？这些数在数轴上的对应点大致在哪里？教师在学生自主实践与陈述的基础上借助图7进行讲解与示范.

其次，教师提出探究性问题：有时要将符号语言转化为图形语言以作出直观解释，例如，在数轴上怎样表示不等式y>3？并在学生合作尝试表示的基础上进行示范并解释：在数轴上可用如图8所示的方式来表示y>3.

第三，教师进行总结性讲解：一般地，x

解析：用数轴来表示不等式体现了数形结合思想，它也是不等式领域中的基本技能.这个探索性数学活动的内容不仅包括在数轴上表示具体的不等式，也包括在数轴上表示简单不等式的过程和蕴含的数学思想；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：引导学生探索不等式的数轴表示，以积累用数轴来表示简单不等式的经验；也有认知过程后半段：获得用数轴表示简单不等式之后的总结性讲解，以掌握用数轴表示简单不等式的方法.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历获得用数轴表示简单不等式方法的实质性思维过程，并对学生感悟数形结合思想、发展在数轴上表示不等式的技能、养成合作研讨的学习方式及增强反思的意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与根据数量关系列不等式的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生分别用符号来表示下列数量关系.

（1）y的2倍与6的和比1小.

（2）x2减去10不大于10.

（3）a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.

（4）y的2倍不小于1与y的和.

（5）a与b的差的平方是非负数.

其次，教师组织学生交互反馈，同时教师进行激励与评价.

第三，教师引导学生反思：根据数量关系列不等式的关键是什么？

教师在组织学生合作研讨的基础上进行列表总结（如表1）：

关键词大于小于不大于不小于超过低于不超过不低于比…大比…小至多至少非负数不等号><≤≥≥0解析：根据数量关系列不等式是不等式领域中的基本技能，其关键是要理解问题中涉及的关键词的含义（或不等号的意义）.这个探索性数学活动的内容不仅包括列具体的不等式，也包括根据数量关系列不等式的关键；教学采用了有代表性问题引导下的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：根据数量关系列不等式，以发展列不等式的技能；也有认知过程后半段：解决问题之后的反思，以明确涉及关键词的含义.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历列不等式的实质性思维过程，并对学生理解不等号含义、发展列不等式技能和培养学生合作交流习惯及反思的意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与尝试知识与技能应用的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生合作解答下列问题.

（1）判断：下列数学关系式哪些是不等式？

①3>2；②x<2x+1；③3x2+2x；④x=2x-5；⑤a+b≠c.

（2）填空：分别用适当的不等号来填下列各题中空格.

①23；②-8-3；③-a20；④若x≠y，则-x-y.

（3）列不等式：分别用符号来表示下列数量关系.

①x的4倍小于3；②y减去1不大于2；③x的2倍与1的和大于x；④a的一半不小于-7.

（4）在数轴上表示不等式：分别在数轴上表示下列不等式.

①x>-3；②x≥-2；③x<15.

其次，教师引导学生反思：

（1）判断数学关系式是不是不等式的依据是什么？

（2）列不等式体现了什么思想？

（3）用数轴表示不等式的过程中体现了什么思想？

第三，教师引导学生解决问题：一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作.设水库水位为x（m）.

（1）怎样用不等式表示发电机正常工作的水位范围？把它表示在数轴上.

（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？

①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.

教师在组织学生合作解答的基础上追问：解题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？

解析：用获得的数学结果解决具体问题是整节课认知过程的后半段，这节课的智慧技能主要是：“知识技能”、“运用规则”.这个参与式数学活动的内容不仅包括解决具体问题，也包括解决问题的过程和蕴含的解题依据和解题的策略、方法及技巧.教学采用了教师价值引导下的学生合作解答基础上的教师反思性追问的方法——既有认知过程前半段：引导学生经历独立学习基础上的交流与评价的过程，以进一步发展三种语言之间的转化技能；也有认知过程后半段：合作解答之后的反思性追问，以进一步明确蕴含的思想方法.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能进一步发展学生的辨别能力、三种语言之间的转化技能，并对培养学生良好的学习习惯和反思意识有积极的影响.

以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面.但对改变当前“只教不研”的现象和帮助教师认识与实践“过程教育”有积极作用，对发展教师的实践性智慧也有积极影响.

作者简介邬云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.endprint

解析：用数轴来表示不等式体现了数形结合思想，它也是不等式领域中的基本技能.这个探索性数学活动的内容不仅包括在数轴上表示具体的不等式，也包括在数轴上表示简单不等式的过程和蕴含的数学思想；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：引导学生探索不等式的数轴表示，以积累用数轴来表示简单不等式的经验；也有认知过程后半段：获得用数轴表示简单不等式之后的总结性讲解，以掌握用数轴表示简单不等式的方法.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历获得用数轴表示简单不等式方法的实质性思维过程，并对学生感悟数形结合思想、发展在数轴上表示不等式的技能、养成合作研讨的学习方式及增强反思的意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与根据数量关系列不等式的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生分别用符号来表示下列数量关系.

（1）y的2倍与6的和比1小.

（2）x2减去10不大于10.

（3）a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.

（4）y的2倍不小于1与y的和.

（5）a与b的差的平方是非负数.

其次，教师组织学生交互反馈，同时教师进行激励与评价.

第三，教师引导学生反思：根据数量关系列不等式的关键是什么？

教师在组织学生合作研讨的基础上进行列表总结（如表1）：

关键词大于小于不大于不小于超过低于不超过不低于比…大比…小至多至少非负数不等号><≤≥≥0解析：根据数量关系列不等式是不等式领域中的基本技能，其关键是要理解问题中涉及的关键词的含义（或不等号的意义）.这个探索性数学活动的内容不仅包括列具体的不等式，也包括根据数量关系列不等式的关键；教学采用了有代表性问题引导下的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：根据数量关系列不等式，以发展列不等式的技能；也有认知过程后半段：解决问题之后的反思，以明确涉及关键词的含义.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历列不等式的实质性思维过程，并对学生理解不等号含义、发展列不等式技能和培养学生合作交流习惯及反思的意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与尝试知识与技能应用的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生合作解答下列问题.

（1）判断：下列数学关系式哪些是不等式？

①3>2；②x<2x+1；③3x2+2x；④x=2x-5；⑤a+b≠c.

（2）填空：分别用适当的不等号来填下列各题中空格.

①23；②-8-3；③-a20；④若x≠y，则-x-y.

（3）列不等式：分别用符号来表示下列数量关系.

①x的4倍小于3；②y减去1不大于2；③x的2倍与1的和大于x；④a的一半不小于-7.

（4）在数轴上表示不等式：分别在数轴上表示下列不等式.

①x>-3；②x≥-2；③x<15.

其次，教师引导学生反思：

（1）判断数学关系式是不是不等式的依据是什么？

（2）列不等式体现了什么思想？

（3）用数轴表示不等式的过程中体现了什么思想？

第三，教师引导学生解决问题：一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作.设水库水位为x（m）.

（1）怎样用不等式表示发电机正常工作的水位范围？把它表示在数轴上.

（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？

①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.

教师在组织学生合作解答的基础上追问：解题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？

解析：用获得的数学结果解决具体问题是整节课认知过程的后半段，这节课的智慧技能主要是：“知识技能”、“运用规则”.这个参与式数学活动的内容不仅包括解决具体问题，也包括解决问题的过程和蕴含的解题依据和解题的策略、方法及技巧.教学采用了教师价值引导下的学生合作解答基础上的教师反思性追问的方法——既有认知过程前半段：引导学生经历独立学习基础上的交流与评价的过程，以进一步发展三种语言之间的转化技能；也有认知过程后半段：合作解答之后的反思性追问，以进一步明确蕴含的思想方法.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能进一步发展学生的辨别能力、三种语言之间的转化技能，并对培养学生良好的学习习惯和反思意识有积极的影响.

以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面.但对改变当前“只教不研”的现象和帮助教师认识与实践“过程教育”有积极作用，对发展教师的实践性智慧也有积极影响.

作者简介邬云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.endprint

解析：用数轴来表示不等式体现了数形结合思想，它也是不等式领域中的基本技能.这个探索性数学活动的内容不仅包括在数轴上表示具体的不等式，也包括在数轴上表示简单不等式的过程和蕴含的数学思想；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：引导学生探索不等式的数轴表示，以积累用数轴来表示简单不等式的经验；也有认知过程后半段：获得用数轴表示简单不等式之后的总结性讲解，以掌握用数轴表示简单不等式的方法.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历获得用数轴表示简单不等式方法的实质性思维过程，并对学生感悟数形结合思想、发展在数轴上表示不等式的技能、养成合作研讨的学习方式及增强反思的意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与根据数量关系列不等式的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生分别用符号来表示下列数量关系.

（1）y的2倍与6的和比1小.

（2）x2减去10不大于10.

（3）a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.

（4）y的2倍不小于1与y的和.

（5）a与b的差的平方是非负数.

其次，教师组织学生交互反馈，同时教师进行激励与评价.

第三，教师引导学生反思：根据数量关系列不等式的关键是什么？

教师在组织学生合作研讨的基础上进行列表总结（如表1）：

关键词大于小于不大于不小于超过低于不超过不低于比…大比…小至多至少非负数不等号><≤≥≥0解析：根据数量关系列不等式是不等式领域中的基本技能，其关键是要理解问题中涉及的关键词的含义（或不等号的意义）.这个探索性数学活动的内容不仅包括列具体的不等式，也包括根据数量关系列不等式的关键；教学采用了有代表性问题引导下的先“放”后“收”的适度开放的方法——既有认知过程前半段：根据数量关系列不等式，以发展列不等式的技能；也有认知过程后半段：解决问题之后的反思，以明确涉及关键词的含义.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能使学生经历列不等式的实质性思维过程，并对学生理解不等号含义、发展列不等式技能和培养学生合作交流习惯及反思的意识有积极的影响.

问：依据“过程教育”，“参与尝试知识与技能应用的活动”的教学怎样操作？

答：首先，教师要求学生合作解答下列问题.

（1）判断：下列数学关系式哪些是不等式？

①3>2；②x<2x+1；③3x2+2x；④x=2x-5；⑤a+b≠c.

（2）填空：分别用适当的不等号来填下列各题中空格.

①23；②-8-3；③-a20；④若x≠y，则-x-y.

（3）列不等式：分别用符号来表示下列数量关系.

①x的4倍小于3；②y减去1不大于2；③x的2倍与1的和大于x；④a的一半不小于-7.

（4）在数轴上表示不等式：分别在数轴上表示下列不等式.

①x>-3；②x≥-2；③x<15.

其次，教师引导学生反思：

（1）判断数学关系式是不是不等式的依据是什么？

（2）列不等式体现了什么思想？

（3）用数轴表示不等式的过程中体现了什么思想？

第三，教师引导学生解决问题：一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作.设水库水位为x（m）.

（1）怎样用不等式表示发电机正常工作的水位范围？把它表示在数轴上.

（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？

①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.

教师在组织学生合作解答的基础上追问：解题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？

解析：用获得的数学结果解决具体问题是整节课认知过程的后半段，这节课的智慧技能主要是：“知识技能”、“运用规则”.这个参与式数学活动的内容不仅包括解决具体问题，也包括解决问题的过程和蕴含的解题依据和解题的策略、方法及技巧.教学采用了教师价值引导下的学生合作解答基础上的教师反思性追问的方法——既有认知过程前半段：引导学生经历独立学习基础上的交流与评价的过程，以进一步发展三种语言之间的转化技能；也有认知过程后半段：合作解答之后的反思性追问，以进一步明确蕴含的思想方法.这种关注“两段”的认知过程符合“过程教育”，能进一步发展学生的辨别能力、三种语言之间的转化技能，并对培养学生良好的学习习惯和反思意识有积极的影响.

以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面.但对改变当前“只教不研”的现象和帮助教师认识与实践“过程教育”有积极作用，对发展教师的实践性智慧也有积极影响.

作者简介邬云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.endprint