欣赏数学智慧之美妙

陈飞伶+张维忠

数学是一种文化，是人做出来的，数学教育要恢复其本来面貌，揭示其人文背景，让学生亲近数学，喜欢数学，欣赏数学[1].让学生欣赏数学是数学新课程改革的出发点之一，要让学生学会欣赏数学，培养学生的内驱力、数学能力和数学文化素养，让学生了解数学的源与流，体会数学的真善美.而数学的美，不仅体现在美观，更在于“美妙”.数学中有很多精品，闪烁着智慧的文明之光，给人一种心灵的愉悦.本文将通过一则教学设计，让学生通过折纸盒子活动，并挖掘其中的数学元素，让学生在活动中欣赏数学智慧之美妙.

1折纸

折纸是一种起源于中国的古老艺术，在日本得到发展形成一种文化，并走向了世界.20世纪50年代，折纸艺术在西方引起轰动，“现代折纸艺术之父”吉泽章（Akira Yoshizawa）引发这次“折纸潮”.他创立了国际折纸研究会，并于20世纪60年代成为折纸艺术和文化的全球传播者.他利用线、点、箭头创造了一种可以交换技法的语言，使得纸作品的制作方式被广泛交流分享.在当今，折纸不仅仅是一种艺术形式，它在科学上也有广泛的应用.例如，汽车安全气囊的设计、降落伞的折叠等等.

折纸在数学课堂的使用已经并不新鲜了.折纸可以用于课堂实现许多理想的学习成果.例如，折纸帮助学生实现空间可视化和更好的交流；帮助学生发现数学不仅仅是公式和计算，还可以源于各种文化活动.恰当的折纸模型（像盒子）可以帮助学生探索重要的数学观点，如具体的体积和表面积.折纸可以让我们创建我们自己的教具，使学习具有更加的视觉体验.此外，手工折纸也可以很漂亮，有的精致的折纸模型甚至可以是一件艺术品，这个艺术方面特点可以帮助教师激发学生发现数学具有的美学价值.

2课堂构想——折纸盒子过程

教学流程

（1）课堂导入

（2）提出问题

现在如果我们用一张长方形纸折叠成一个底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，纸盒的表面积和这张长方形纸的长和宽有什么关系呢？

（3）实验活动

引导学生跟随步骤1-9（见图1-8）仔细折纸盒.这个过程不需要必须有折纸的经验，但在折叠的过程中必须要有耐心，并且需要在折叠的过程中使折痕尽可能的锋利和精确.

步骤如下：

步骤1（见图1）：准备一张长方形纸（任何长度小于宽的两倍的长方形纸都可以，最好是85cm×11cm）.将长方形纸折叠，使点A和点B重合，得到水平折痕如如所示，点C和点B重合得到竖直方向折痕如图所示.折痕将长方形纸分为四个全等的矩形.

步骤2（见图2）：把长方形纸没有折痕的一面朝上.对准长方形纸中间的实线，将左上角和右上角的三角形折叠下来，然后展开，得到的折痕如图所示虚线.同样，对准长方形纸中间的实线，将左下角和右下角的三角形折叠上去，然后展开，得到的折痕如图所示虚线.

步骤3（见图3）：沿着图1中左上角的虚线折叠.然后把矩形的右下角向上折叠，使右下角的点对准左上角的点，展开得到的折痕如图所示粗虚线.现在已经把矩形折叠成六边形，如图所示.

步骤4（见图4）：重复步骤3三次，得到折痕如图所示.

步骤5（见图5）：按照箭头的指示折叠，沿着虚线标记折痕.标记好后，展开纸片.

步骤6（见图6）：图5显示了所需要的所有折痕.观察到的中间的阴影部分是纸盒的底部，四个阴影矩形是盒子的四个侧面.这四个侧面将垂直于底部.长方形纸的阴影三角形部分将被折叠和隐藏在四个侧面之间.

步骤7（见图7）：首先提起阴影三角形旁边的两个侧面（如下图所示）.折叠的部分用阴影三角形代表，如下面第二个图所示.把上面的角折下来，如第三个图所示.

步骤8（见图8）：提起旁边的侧面（顺时针移动）和用右手边的阴影三角形代表折叠的部分（第一张图片所示），把顶端折叠下来.

步骤9（见图9）：在另外两个侧面重复步骤7和8.纸盒的模型应该像第一张图片所示.你会注意到在顶部有两个大的部分和两个小的部分.把两个大的部分放下形成盒子的顶部，把两个小的部分放在两个较大的部分里面完成你的箱子.结果将会看起来像盒子，如第二个所示的画面.

（4）得到结论

引导学生讨论结果.现在假设构建盒子的矩形薄板的长度和宽度的分别是x和y.此外，假设2y>x>y.图10显示了通过折叠标记的折痕.打开盒子观察折痕.此时，引导学生使用基本的欧几里得几何构造和构造的盒子得出以下结论：盒子正方形底部的长度=x8，构造的盒子的高=18y2-x4，如图11所示.

（5）小结

通过这盒子这个活动，你有何感受与体会？

在折盒子过程中，经过教师的启发诱导，让学生发现折纸过程中蕴含的数学元素.学生通过计算会发现盒子的表面积恰好是纸片面积的一半，而另一半则被“隐藏”了，真是奇妙极了！

这是学生出乎“意料之外”的结果！但通过学生自己计算证明，却又在“情理之中”.这时候，教师再进一步强调，数学中的许多结果往往是“意料之外，却又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、内心等概念的形成.两条直线交于一点无可厚非，到了第三条中线，或第三条高、第三条角平分线也不偏不倚地与前面两条正好交于同一点，造物的安排竟如此之巧.这里教师不妨先不告诉学生结果，让学生自己作图，自己发现这些一下子看不出的“真理”.[2]让学生亲自动手体验，发现数学智慧的美妙，欣赏数学的美妙！同时，教师可以让学生课外寻找体现数学智慧美妙的例子，共同建设一个美妙的数学花园，共同欣赏数学的美妙！

学生也会发现，在看不见数学的地方竟然也用上了数学，它具有不可思议的有效性.这种数学智慧，也体现了一种美丽的创新思维，令人叫绝.古人说，天不生仲尼，万古如长夜.其实，天不生数学，万古也长如夜.数学的作用无所不在，但又不显山不露水，它是一个“无名英雄”.牛顿发明了微积分，它就能计算曲线运动的轨道和速度.没有微积分，怎么会有神七、神九的返回？这个过程中，充满了数学，但又看不见数学.因为许多数学的运算和结果已经变成固定的工程标准和程序.

3进一步的思考

教师需要充分挖掘数学美妙智慧的素材，并在教学中紧密联系教材或选择符合学生认知水平的例子来展示数学智慧的美妙，让学生震撼：数学真奇妙，不可思议，却又千真万确.数学的这种美妙的智慧能充分调动学生学习数学的积极性，正如庞加莱所说的：“到底什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各部分之间的和谐、对称，恰当好处的平衡……”.学生学习数学的时，常会感受到这样的美妙时刻：一条辅助线使无处下手的几何题豁然开朗，一个技巧使百思不得其解的不等式证明顺利通过……此刻的快乐与兴奋时难以用语言来形容的.这种美妙的意境，能让学生感受到造物主安排之巧妙，数学家创造数学之深邃，数学学习领悟之欢快.

数学是美妙的，数学的智慧是美妙的！教师需要有一双数学的慧眼，打开学生的视野，带领学生发现、品味、欣赏数学的美妙！杜甫诗云：“会当凌绝顶，一览众山小”，回顾反思，欣赏数学的本真品味，才能全面提升学生的数学素质.

参考文献

[1]张奠宙、赵小平.会做数学，也要会欣赏数学[J].数学教学，2008（8）.

[2]张奠宙.谈课堂教学中如何进行数学欣赏[J].中学数学月刊，2010（12）：1-3.

作者简介陈飞伶，浙江省丽水市人，1990年生，学科教学（数学）专业硕士研究生，师从张维忠教授.endprint

数学是一种文化，是人做出来的，数学教育要恢复其本来面貌，揭示其人文背景，让学生亲近数学，喜欢数学，欣赏数学[1].让学生欣赏数学是数学新课程改革的出发点之一，要让学生学会欣赏数学，培养学生的内驱力、数学能力和数学文化素养，让学生了解数学的源与流，体会数学的真善美.而数学的美，不仅体现在美观，更在于“美妙”.数学中有很多精品，闪烁着智慧的文明之光，给人一种心灵的愉悦.本文将通过一则教学设计，让学生通过折纸盒子活动，并挖掘其中的数学元素，让学生在活动中欣赏数学智慧之美妙.

1折纸

折纸是一种起源于中国的古老艺术，在日本得到发展形成一种文化，并走向了世界.20世纪50年代，折纸艺术在西方引起轰动，“现代折纸艺术之父”吉泽章（Akira Yoshizawa）引发这次“折纸潮”.他创立了国际折纸研究会，并于20世纪60年代成为折纸艺术和文化的全球传播者.他利用线、点、箭头创造了一种可以交换技法的语言，使得纸作品的制作方式被广泛交流分享.在当今，折纸不仅仅是一种艺术形式，它在科学上也有广泛的应用.例如，汽车安全气囊的设计、降落伞的折叠等等.

折纸在数学课堂的使用已经并不新鲜了.折纸可以用于课堂实现许多理想的学习成果.例如，折纸帮助学生实现空间可视化和更好的交流；帮助学生发现数学不仅仅是公式和计算，还可以源于各种文化活动.恰当的折纸模型（像盒子）可以帮助学生探索重要的数学观点，如具体的体积和表面积.折纸可以让我们创建我们自己的教具，使学习具有更加的视觉体验.此外，手工折纸也可以很漂亮，有的精致的折纸模型甚至可以是一件艺术品，这个艺术方面特点可以帮助教师激发学生发现数学具有的美学价值.

2课堂构想——折纸盒子过程

教学流程

（1）课堂导入

（2）提出问题

现在如果我们用一张长方形纸折叠成一个底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，纸盒的表面积和这张长方形纸的长和宽有什么关系呢？

（3）实验活动

引导学生跟随步骤1-9（见图1-8）仔细折纸盒.这个过程不需要必须有折纸的经验，但在折叠的过程中必须要有耐心，并且需要在折叠的过程中使折痕尽可能的锋利和精确.

步骤如下：

步骤1（见图1）：准备一张长方形纸（任何长度小于宽的两倍的长方形纸都可以，最好是85cm×11cm）.将长方形纸折叠，使点A和点B重合，得到水平折痕如如所示，点C和点B重合得到竖直方向折痕如图所示.折痕将长方形纸分为四个全等的矩形.

步骤2（见图2）：把长方形纸没有折痕的一面朝上.对准长方形纸中间的实线，将左上角和右上角的三角形折叠下来，然后展开，得到的折痕如图所示虚线.同样，对准长方形纸中间的实线，将左下角和右下角的三角形折叠上去，然后展开，得到的折痕如图所示虚线.

步骤3（见图3）：沿着图1中左上角的虚线折叠.然后把矩形的右下角向上折叠，使右下角的点对准左上角的点，展开得到的折痕如图所示粗虚线.现在已经把矩形折叠成六边形，如图所示.

步骤4（见图4）：重复步骤3三次，得到折痕如图所示.

步骤5（见图5）：按照箭头的指示折叠，沿着虚线标记折痕.标记好后，展开纸片.

步骤6（见图6）：图5显示了所需要的所有折痕.观察到的中间的阴影部分是纸盒的底部，四个阴影矩形是盒子的四个侧面.这四个侧面将垂直于底部.长方形纸的阴影三角形部分将被折叠和隐藏在四个侧面之间.

步骤7（见图7）：首先提起阴影三角形旁边的两个侧面（如下图所示）.折叠的部分用阴影三角形代表，如下面第二个图所示.把上面的角折下来，如第三个图所示.

步骤8（见图8）：提起旁边的侧面（顺时针移动）和用右手边的阴影三角形代表折叠的部分（第一张图片所示），把顶端折叠下来.

步骤9（见图9）：在另外两个侧面重复步骤7和8.纸盒的模型应该像第一张图片所示.你会注意到在顶部有两个大的部分和两个小的部分.把两个大的部分放下形成盒子的顶部，把两个小的部分放在两个较大的部分里面完成你的箱子.结果将会看起来像盒子，如第二个所示的画面.

（4）得到结论

引导学生讨论结果.现在假设构建盒子的矩形薄板的长度和宽度的分别是x和y.此外，假设2y>x>y.图10显示了通过折叠标记的折痕.打开盒子观察折痕.此时，引导学生使用基本的欧几里得几何构造和构造的盒子得出以下结论：盒子正方形底部的长度=x8，构造的盒子的高=18y2-x4，如图11所示.

（5）小结

通过这盒子这个活动，你有何感受与体会？

在折盒子过程中，经过教师的启发诱导，让学生发现折纸过程中蕴含的数学元素.学生通过计算会发现盒子的表面积恰好是纸片面积的一半，而另一半则被“隐藏”了，真是奇妙极了！

这是学生出乎“意料之外”的结果！但通过学生自己计算证明，却又在“情理之中”.这时候，教师再进一步强调，数学中的许多结果往往是“意料之外，却又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、内心等概念的形成.两条直线交于一点无可厚非，到了第三条中线，或第三条高、第三条角平分线也不偏不倚地与前面两条正好交于同一点，造物的安排竟如此之巧.这里教师不妨先不告诉学生结果，让学生自己作图，自己发现这些一下子看不出的“真理”.[2]让学生亲自动手体验，发现数学智慧的美妙，欣赏数学的美妙！同时，教师可以让学生课外寻找体现数学智慧美妙的例子，共同建设一个美妙的数学花园，共同欣赏数学的美妙！

学生也会发现，在看不见数学的地方竟然也用上了数学，它具有不可思议的有效性.这种数学智慧，也体现了一种美丽的创新思维，令人叫绝.古人说，天不生仲尼，万古如长夜.其实，天不生数学，万古也长如夜.数学的作用无所不在，但又不显山不露水，它是一个“无名英雄”.牛顿发明了微积分，它就能计算曲线运动的轨道和速度.没有微积分，怎么会有神七、神九的返回？这个过程中，充满了数学，但又看不见数学.因为许多数学的运算和结果已经变成固定的工程标准和程序.

3进一步的思考

教师需要充分挖掘数学美妙智慧的素材，并在教学中紧密联系教材或选择符合学生认知水平的例子来展示数学智慧的美妙，让学生震撼：数学真奇妙，不可思议，却又千真万确.数学的这种美妙的智慧能充分调动学生学习数学的积极性，正如庞加莱所说的：“到底什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各部分之间的和谐、对称，恰当好处的平衡……”.学生学习数学的时，常会感受到这样的美妙时刻：一条辅助线使无处下手的几何题豁然开朗，一个技巧使百思不得其解的不等式证明顺利通过……此刻的快乐与兴奋时难以用语言来形容的.这种美妙的意境，能让学生感受到造物主安排之巧妙，数学家创造数学之深邃，数学学习领悟之欢快.

数学是美妙的，数学的智慧是美妙的！教师需要有一双数学的慧眼，打开学生的视野，带领学生发现、品味、欣赏数学的美妙！杜甫诗云：“会当凌绝顶，一览众山小”，回顾反思，欣赏数学的本真品味，才能全面提升学生的数学素质.

参考文献

[1]张奠宙、赵小平.会做数学，也要会欣赏数学[J].数学教学，2008（8）.

[2]张奠宙.谈课堂教学中如何进行数学欣赏[J].中学数学月刊，2010（12）：1-3.

作者简介陈飞伶，浙江省丽水市人，1990年生，学科教学（数学）专业硕士研究生，师从张维忠教授.endprint

数学是一种文化，是人做出来的，数学教育要恢复其本来面貌，揭示其人文背景，让学生亲近数学，喜欢数学，欣赏数学[1].让学生欣赏数学是数学新课程改革的出发点之一，要让学生学会欣赏数学，培养学生的内驱力、数学能力和数学文化素养，让学生了解数学的源与流，体会数学的真善美.而数学的美，不仅体现在美观，更在于“美妙”.数学中有很多精品，闪烁着智慧的文明之光，给人一种心灵的愉悦.本文将通过一则教学设计，让学生通过折纸盒子活动，并挖掘其中的数学元素，让学生在活动中欣赏数学智慧之美妙.

1折纸

折纸是一种起源于中国的古老艺术，在日本得到发展形成一种文化，并走向了世界.20世纪50年代，折纸艺术在西方引起轰动，“现代折纸艺术之父”吉泽章（Akira Yoshizawa）引发这次“折纸潮”.他创立了国际折纸研究会，并于20世纪60年代成为折纸艺术和文化的全球传播者.他利用线、点、箭头创造了一种可以交换技法的语言，使得纸作品的制作方式被广泛交流分享.在当今，折纸不仅仅是一种艺术形式，它在科学上也有广泛的应用.例如，汽车安全气囊的设计、降落伞的折叠等等.

折纸在数学课堂的使用已经并不新鲜了.折纸可以用于课堂实现许多理想的学习成果.例如，折纸帮助学生实现空间可视化和更好的交流；帮助学生发现数学不仅仅是公式和计算，还可以源于各种文化活动.恰当的折纸模型（像盒子）可以帮助学生探索重要的数学观点，如具体的体积和表面积.折纸可以让我们创建我们自己的教具，使学习具有更加的视觉体验.此外，手工折纸也可以很漂亮，有的精致的折纸模型甚至可以是一件艺术品，这个艺术方面特点可以帮助教师激发学生发现数学具有的美学价值.

2课堂构想——折纸盒子过程

教学流程

（1）课堂导入

（2）提出问题

现在如果我们用一张长方形纸折叠成一个底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，纸盒的表面积和这张长方形纸的长和宽有什么关系呢？

（3）实验活动

引导学生跟随步骤1-9（见图1-8）仔细折纸盒.这个过程不需要必须有折纸的经验，但在折叠的过程中必须要有耐心，并且需要在折叠的过程中使折痕尽可能的锋利和精确.

步骤如下：

步骤1（见图1）：准备一张长方形纸（任何长度小于宽的两倍的长方形纸都可以，最好是85cm×11cm）.将长方形纸折叠，使点A和点B重合，得到水平折痕如如所示，点C和点B重合得到竖直方向折痕如图所示.折痕将长方形纸分为四个全等的矩形.

步骤2（见图2）：把长方形纸没有折痕的一面朝上.对准长方形纸中间的实线，将左上角和右上角的三角形折叠下来，然后展开，得到的折痕如图所示虚线.同样，对准长方形纸中间的实线，将左下角和右下角的三角形折叠上去，然后展开，得到的折痕如图所示虚线.

步骤3（见图3）：沿着图1中左上角的虚线折叠.然后把矩形的右下角向上折叠，使右下角的点对准左上角的点，展开得到的折痕如图所示粗虚线.现在已经把矩形折叠成六边形，如图所示.

步骤4（见图4）：重复步骤3三次，得到折痕如图所示.

步骤5（见图5）：按照箭头的指示折叠，沿着虚线标记折痕.标记好后，展开纸片.

步骤6（见图6）：图5显示了所需要的所有折痕.观察到的中间的阴影部分是纸盒的底部，四个阴影矩形是盒子的四个侧面.这四个侧面将垂直于底部.长方形纸的阴影三角形部分将被折叠和隐藏在四个侧面之间.

步骤7（见图7）：首先提起阴影三角形旁边的两个侧面（如下图所示）.折叠的部分用阴影三角形代表，如下面第二个图所示.把上面的角折下来，如第三个图所示.

步骤8（见图8）：提起旁边的侧面（顺时针移动）和用右手边的阴影三角形代表折叠的部分（第一张图片所示），把顶端折叠下来.

步骤9（见图9）：在另外两个侧面重复步骤7和8.纸盒的模型应该像第一张图片所示.你会注意到在顶部有两个大的部分和两个小的部分.把两个大的部分放下形成盒子的顶部，把两个小的部分放在两个较大的部分里面完成你的箱子.结果将会看起来像盒子，如第二个所示的画面.

（4）得到结论

引导学生讨论结果.现在假设构建盒子的矩形薄板的长度和宽度的分别是x和y.此外，假设2y>x>y.图10显示了通过折叠标记的折痕.打开盒子观察折痕.此时，引导学生使用基本的欧几里得几何构造和构造的盒子得出以下结论：盒子正方形底部的长度=x8，构造的盒子的高=18y2-x4，如图11所示.

（5）小结

通过这盒子这个活动，你有何感受与体会？

在折盒子过程中，经过教师的启发诱导，让学生发现折纸过程中蕴含的数学元素.学生通过计算会发现盒子的表面积恰好是纸片面积的一半，而另一半则被“隐藏”了，真是奇妙极了！

这是学生出乎“意料之外”的结果！但通过学生自己计算证明，却又在“情理之中”.这时候，教师再进一步强调，数学中的许多结果往往是“意料之外，却又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、内心等概念的形成.两条直线交于一点无可厚非，到了第三条中线，或第三条高、第三条角平分线也不偏不倚地与前面两条正好交于同一点，造物的安排竟如此之巧.这里教师不妨先不告诉学生结果，让学生自己作图，自己发现这些一下子看不出的“真理”.[2]让学生亲自动手体验，发现数学智慧的美妙，欣赏数学的美妙！同时，教师可以让学生课外寻找体现数学智慧美妙的例子，共同建设一个美妙的数学花园，共同欣赏数学的美妙！

学生也会发现，在看不见数学的地方竟然也用上了数学，它具有不可思议的有效性.这种数学智慧，也体现了一种美丽的创新思维，令人叫绝.古人说，天不生仲尼，万古如长夜.其实，天不生数学，万古也长如夜.数学的作用无所不在，但又不显山不露水，它是一个“无名英雄”.牛顿发明了微积分，它就能计算曲线运动的轨道和速度.没有微积分，怎么会有神七、神九的返回？这个过程中，充满了数学，但又看不见数学.因为许多数学的运算和结果已经变成固定的工程标准和程序.

3进一步的思考

教师需要充分挖掘数学美妙智慧的素材，并在教学中紧密联系教材或选择符合学生认知水平的例子来展示数学智慧的美妙，让学生震撼：数学真奇妙，不可思议，却又千真万确.数学的这种美妙的智慧能充分调动学生学习数学的积极性，正如庞加莱所说的：“到底什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各部分之间的和谐、对称，恰当好处的平衡……”.学生学习数学的时，常会感受到这样的美妙时刻：一条辅助线使无处下手的几何题豁然开朗，一个技巧使百思不得其解的不等式证明顺利通过……此刻的快乐与兴奋时难以用语言来形容的.这种美妙的意境，能让学生感受到造物主安排之巧妙，数学家创造数学之深邃，数学学习领悟之欢快.

数学是美妙的，数学的智慧是美妙的！教师需要有一双数学的慧眼，打开学生的视野，带领学生发现、品味、欣赏数学的美妙！杜甫诗云：“会当凌绝顶，一览众山小”，回顾反思，欣赏数学的本真品味，才能全面提升学生的数学素质.

参考文献

[1]张奠宙、赵小平.会做数学，也要会欣赏数学[J].数学教学，2008（8）.

[2]张奠宙.谈课堂教学中如何进行数学欣赏[J].中学数学月刊，2010（12）：1-3.

作者简介陈飞伶，浙江省丽水市人，1990年生，学科教学（数学）专业硕士研究生，师从张维忠教授.endprint