浅谈高等数学教学中反例引入效果

周有涛

[摘要]本文主要针对高职高等数学教学的特点，在讲解有关概念或定理时通过恰当引入反例，阐明既要让学生理解必要的概念又毋须在理论上过多分析，从而既可达到预期教学目的又能增加学生的学习兴趣、提高学生分析问题和逻辑思维能力的效果。

[关键词]反例 概念 定理

美国数学家B.R 盖尔鲍姆说过：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧，为数学作出的许多最优雅的和艺术性很强的贡献属于这个流派”。高等数学是高职院校学生入校后重要的基础课之一，但也是学生既想学好而又感到比较难懂的一门课程。高职层次的高等数学强调以"应用为目的，必须够用"为原则。许多重要概念及定理的描述和证明、教材大多作了删减处理，这样就不可避免增加了学生对涉及内容的理解难度。因而恰当地引入反例，从另一个角度让学生理解数学概念本质，弥补正例教学的缺憾，简单明了地说明事物之间的差异和联系，从而加深学生对准确理解和掌握教学内容是很有帮助的。可以收到事半功倍的学习效果。

一般地说，数学中的例子分为两种类型：用以说明某件事为什么有意义的例子称为正例，把符合某个命题的条件，但又与该命题结论相矛盾的例子或称某例题不成立的例子称为反例。在数学的发展史中，反例和正例有着同等重要的地位。对于数学学科，正例的推证严密、逻辑性强。反例往往出现在老师为了说明一个命题为假命题时而采取规避推理过程的“魔术”手段。它在发现和认识数学真理、强化数学基础知识的理解和掌握，培养学生分析和综合、概括与抽象的思维能力和创造能力，以及提高学生解题速度等方面有着不可低估的意义和作用。

一、在概念教学中引入反例，有“旁敲侧击”之效

高等数学的结构本身就是由概念到性质，然后到应用，概念是数学的重要基础，概念掌握的程度直接影响到对相关内容的理解和后续内容的学习。如果抓不到它的本质属性，只是机械地记忆概念名称，肯定没有学习效果，引入反例显得必要和及时，对学生理解某些难度大的概念有“旁敲侧击”之效。

例1.函数f（x）在x0点连续必须满足三个条件，即：①函数f（x）在点x0及其某个邻域有定义 ； 。

学生对定理中的三个条件各自重要性往往并不太明白，也就对间断点类型的区别有困难，直接引入三个反例便起到警示作用。

例2. 罗尔定理（Rolle）定理：如果函数f（x）满足：在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ

例3.若f（x）在（a，b）上可积。则必存在一点ξ∈（a，b）使得 。这个命题是错的，但错在哪里，学生并不易察觉，老师只 要举出下例： ，显然由定

积分几何意义可得 ，原因

就出在f（x）不是[0，2]上的连续函数。反例说明f（x）是连续函数这个条件不是可有可无，不是文字游戏，数学的严谨性正在于此。为进一步强化学生对“连续”的理解，在下一节内容又接讲下例。

例4.牛顿-莱布尼兹定理：如果函数F（x）是连续函数f（x）在[a，b]上的一个原函数，则 ，定理中的“连续”这一条件是不能随意减弱的，否则就会导致结论错误。为此可举下例：

在[-1，1]上的可积性。

很明显， 在x=0处间断，若盲目使用定理，则有

结果对与错在学生还没有接触到广义积分时自己是无法判断的。老师可作为“伏笔”留给学生。当学到广义积分后再回问此题，学生很快醒悟。因为 是发散的，积分不存在。

二、在解题教学中设置反例。有“柳暗花明”之效

解题在高等数学教学中课时所占比例较大，特别在求函数极限和求不定积分两部分，涉及到数学相关知识信息量大，技巧性强，方法灵活。通过适当地反例，提示学生在解题时避免出现此类的错误。从而让学生感到通过反例的解惑有“柳暗花明”之效。

例5.计算

这是一道看似简单的极限题，老师可设“套”让学生“中计”不被察觉，即：

然后让学生回答解题有无错误，接着又用下列方法解：

再问有误没有？然后让学生讨论，究竟问题出在哪？

学生最终发现了极限运算法则中的“有限个”的条件特别重要。从而加深了他们对解数列极限的题目印象。在教学实践中此题的解答引起学生特别好奇吸引着他们的注意力。

例6.计算 老师可先写出下面的解题过程，让学生辨别正误，并指出原因。

错误的原因是求商的极限运算中以两个等价无穷小代入等式之中，虽然α1～β1.α2～β2，但α1-α2～β1-β2不一定成立，因为它们的差不一定是等价的无穷小，这事实上是扩大了无穷小等价代换的外延。这个例子很清楚地告诉学生利用无穷小代换定理进行运算时必须特别仔细.

例7.计算 正确答案为 。

学生很容易如下去做：

问题的关键是 的隐性条件不易被发现。错误的原因是 的间断点导致的。

三、在命题教学中设量反例，有“言简意赅”之效

反例在判断命题或逆命题是否为真时尤其适用较广，由于课时和层次要求，教学内容里许多定理、性质、证明往往略去不讲，这在一定程度上削弱教学的严密性，导致对于某些命题的必要性或充分性的推理和叙述不够严谨，反例的出现时机好，言简意赅，说服力强。

例8.已知：当f（x）为奇数时 那么，若

，f（x）是奇数吗？只须举一个反例可以说明。

显然f（x）不是奇函数。画出它的图形后，接着老师可进一步引深，这样的函数是否唯一？当然不唯一，平移函数图形还会得到众多结果。

例9.命题：初等函数在其定义域内必连续。很多同学对此命题回答是肯定的。若引入反例

说明它是初等函数。但因定义域为离散点集，因而谈不上连续性。从反例中让学生明白命题中的“域”应为“区间”才为真。

例10.若f（u）在u0不可导，u=g（x）在x0可导，且u0=g（x0）。则f[g（x）]在x0必不可导。这是对复合函数的可导性的一个命题，答案是非。

反例f（u）=|u|在u=0不可导，u=g（x）=x4在x=0可导。 而f[g（x）]=|x4|=x4在x=0却可导。

总之，反例在教学中作为用以说明某个问题为什么讲不通的常见方法，尽管它的使用有时显得过于简单化，只要选择出具有目的性、启发性、典型性、延伸性等特点的反例，对于培养学生分析问题，解决问题的能力以及学习问题，刺激学习兴趣，加深知识在大脑中的印迹不无裨益。同时也是教学改革与创新、加强素质教育的尝试，对提高教学质量能起到积极作用。

[参考文献]

[1]高等教学是非300例分析[M].北京航空学院出版社 1985.

[2]【美】B.R盖尔鲍姆著.分析中的反例[M].上海科学出版社. 1980.

[3]孙旭东，肖业胜著.应用高等数学 [M].湖南师范大学出版社.2011

（作者单位：武汉职业技术学院 湖北武汉）