漫谈质数与合数

何鸿猷

摘 要：设p为不含2、5的质数或合数，1/p，j=n，p不能表示成6r±1的是合数，循环节位数不能整除p-1的是合数。p为合数，ab=p，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，则（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。商小于39的除9、15、33是合数外都是质数，10000以内1228个质数中，商小于39的有1196个。

关键词：质数；合数；循环节位数；同循合数

中图分类号：G640 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-177-03

自然数1不是质数也不是合数，是一个特殊的数。大于1位的正整数如果因数只有1和其自身，这个数是质数。如果因数有三个或以上的，这个数是合数。有些合数从尾数就能观察出来，除2、5外，凡尾数是0、5和偶数的都是合数。

质数除2、3外，都可以表示成6r+1或6r-1，反之，不能表示成6r+1或6r-1的，都是合数。这样的合数尾数凡是1、3、7、9的，都是3 的倍数。

6r±1数相互的积仍是6r±1的数。这样的合数如何识别它呢？尾数是5的都是合数，其它的，方法是：（1）奇数减1，偶数能表示为ab+a+b的是合数（ab≠0），否则是质数。也就是：设u为奇数，以u2为首项，以2u为公差，数列的各项均为合数。（2）设p 为分母，求出1/p的循环节位数，若位数是3的倍数，但p是6r-1数，则p是合数；若位数是5的倍数，但尾数不是1，则p是合数（循环节位数是3的倍数，质数都是6r+1数；循环节位数是5的倍数，质数的尾数都是1）。（3）6的倍数能表示成6nr+n+r或6nr-n-r的，再乘以6加1是合数，否则是质数。6的倍数能表示成6nr+n-r或6nr-n+r的，再乘以6减1是合数，否则是质数。（4）凡尾数是4或9的，乘以6加1是合数。凡尾数是1或6的，乘以6减1是合数。6的倍数是方数的，再乘以6减1是合数。或曰，方数乘以36减1是合数。如方数的尾数是4或9的，乘以36±1都是合数。（5）（设p为除2、5以外所有质数与合数，设n为循环节位数，设j代表循环节位数5个字。以下同）质数的j=n都能整除p-1，凡j=n不能整除p-1的都是合数，反之则不成立。因为，同循合数和部分同循合数减1，j=n均能整除p-1，就是：ab=p，（a≠b） 1/p， j=n， 1/a ， j=n1， 1/b， j=n2若n1和n2的最小公倍数等于n，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，则（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。如：41×11=451，1/451=0.0（·）022172949（·），j=10位，1/41，j=5，1/11，j=2位，2和5的最小公倍数是10，（11-1）/10=1，（41-1）/10=4， 所以（451-1）/10=45，（10×4×1+4+1=45），识别这一类合数，可以求出它们的j=n后，再去从与j=n相同的全1数中，求出与其j=n相同的质数或同循合数，若质数是唯一的一个或数个，凡是同样j=n的其它数都是合数；求出的是同循合数，凡不能整除同循合数的都是合数。

大于1位，各位都是1的数称为全1数，111称3位全1数，11111称5位全1数，n个1组成的数称n位全1数，n位全1数中不含因数2或5，以n位全1数为分母的真分数化为循环小数是纯循环小数，且j=n位，n也正是n位全1数中各因数分别为分母的真分数化为循环小数循环节位数的最小公倍数，所以，n位全1数中必有至少1个或者两个、多个质因数j=n位。（以下简称某数的循环节位数）如10位全1数，即1111111111中，有全1数因数1111111111、11111、11（引入记号《n》表示n位全1数），《10》÷《5》÷《2》=9091，1/9091 =0.0（·）001099989（·），j=10位，9091是唯一的一个j=10位的质数，所以451是合数。 11×271=2981 9091×41=372731……都是j=10位。除9091外，它们都是合数。

15085351的j=100位，它是质数还是合数？《100》÷《50》÷（《20》÷《10》）=9999999999000000000099999999990000000001，这就是除1外各因数、质因数j=100位的同循合数，9999999999000000000099999999990000000001÷15085351余4567676，所以15085351是合数。15085351=251×60101，251的j=50位，60101的j=100位，9999999999000000000099999999990000000001÷60101=166386582569341608294371141910949901，能整除，所以60101是分解出来的一个质因数。

全1数，其中有质数：如《2》、《19》、《23》；有合数：合数分纯异因合数、混异因合数、同因数合数、同循合数。混异因合数的特征是含有同因数合数，《22》《42》《78》《3nn≥2》等都是混异因合数。质数位全1数除《3》外，不是质数的都是同循合数。

（一）质数只有和1最小公倍数才能是质数；相等的质数最小公倍数是自身也是质数。所以，6r±1数中，不同j=n的异因合数，其循环节位数都不可能是质数。

（二）质数的j=n是质数的但不可能等于p-1位。因为质数除2外都是奇数，p-1是偶数，只有（p-1）/2，方有可能是奇数。如有某数的j=n是质数，经验算不是3的倍数，它又能整除对应的同循合数，该数就是质数或部分同循合数。

（三）ab=p，1/a， j=（a-1），1/b，j=（b-1），则1/p，j=〔（a-1）（b-1）〕/2=〔ab-（a+b）+1〕/2，因为（ab-1）/2>〔ab-（a+b）+1〕/2，所以异因合数的j=n不可能是p-1位与（p-1）/2位。若p=a2，循环节最长为a2-a，如1/72，j=42 位，（p-1）>（p-a）>（p-1）/2，因此某数的j=n若是p-1位和（p-1）/2位的都是质数。根据（p-1）/n=ncd+c+d计算，（p-1）/n，9是不含2、5的同因数合数，j=1位，（9-1）/1=8，11×3=33，j=2位，（33-1）/2=16；11×9=99，j=2位，（99-1）/2=49，101×9=909， j=4（909-1）/4=227但它们都是6r+3数，7×13=91，91是同循合数，j=6位，（91-1）/6=15，19×37=703，j=18位，（703-1）/18=39，据统计：包括2、5在内10000以内有1228个质数，（p-1）/n商等于1和2的有841个，商小于8的有1088个，商小于15的有1161个，商小于39的有1196个。（后面的数字包括前面的数字）。除9、15、16外凡商小于39的都是质数。

（四）1/p化为循环小数j=n位，若p是不含2、3、5的合数，则p不仅可以和质数一样能整除n位全9数，也可以整除n位全1数。凡能够整除n位全1数的都能整除各位数码相同的n位数。所以检验整数A能否被p整除，从A的低位向高位n位n位分节，每节正好是对p的一个剩余数。

（五）若p为质数，n为偶数以及n的奇数倍数，则前一半与后一半数码完全相同的数能被p 整除。所以，任一个n位数前后各半2数的差都是对p的一个剩余数。若p为合数n为偶数，只有p的各质因数的j=n都是偶数位且相互的倍数是奇数时，前一半与后一半数码完全相同的数才能被p 整除。偶位循环有个特点，就是运算至一半时必余分母减分子，前后各半对应数互为9的补数，对折起来和数恰是n/2位全9数。

（六）1/p化循环小数时，可以设想1后面有若干个0，p除至多少位0余1，则循环节就是多少位。这时0的个数与j=n是相等的，所以把位数看成0的个数是有意义的。整十整百相乘其积1后面0的个数恰好是因数0的和数。因此，根据中国余数定理：因数的余数积等于积的余数。2位的余数乘以3位的余数等于5位的余数（包括剩余数）。如100000/31=3225……25， 5位×5位×5位=15位。 25×25×25=15625， 15625/31=504……1。1/31，j=15位。

（七）1/p化为n位循环小数，循环节的有效数字乘以p等于n位全9数。n位全9数除以p即为n位循环小数的有效数字。如1/7=0.142857，142857×7=999999，999999/142857=7，999999/7=142857，所以将纯循环小数化成分数的方法是：循环小数的有效数字为分子，n位全9数为分母，再约为最简分数。若想到142857×7是一个42位数，就明白1/72，j=42位了，1/p2呢？1/pr呢？

（八）设q为2、5以及仅含2、5的合数，1/q化为小数是有限小数，再设h为有限小数的位数，1/q在化小数时，设想1后面有若干个0，q除至多少位0恰好除尽，h就是多少位，这时h和0的个数是相等的，换句话说，任何整数末位只要有h位0，这些数均能被q整除。由此，告诉我们两种方法：（a）判断整数A能否被q整除的方法：只要A 的末h位能被q整除， A就能被q整除；（b）有限小数化成分数的方法：以有限小数的有效数字为分子，以1后面有h位0的整数为分母，再化简即可。

（九）设A为任一质数或合数，r/A=cr/cA=（cr-br）/（cA-bA）=r/A。设w为含有2、5的合数，r/w=ar/aw=（ar-br）/（aw-bw）=r/w。4×3=12是含有2的合数，1/12=0.083（·），为混循环小数，1000/12=83……4，12除尽了1000-4=996，1/12=83/996=（83-1×8）/（996-12×8）=（83-8）/（996-96）=75/900，恰巧，混循环小数化成分数，循环部分是几位写几个9，不循环部分是几位再在9的后面写几个0为分母；混循环小数的有效数字减去不循环部分的有效数字为分子，再化简。

（十）6r±1如果都是质数，称为对生质数，也叫孪生质数。一定范围内的对生质数，是可以筛选出来的。下面筛选r=30以内的对生质数，以示方法：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6×1×1=6 6-1-1=4 6+1-1=6 6+1+1=8 （将4、6、8字号缩小以示区别）

6×2×1=12 12-2-1=9 12-2+1=11 12+2-1=13 12+2+1=15

6×3×1=18 18-3-1=14 18-3+1=16 18+3-1=20 18+3+1=22

6×4×1=24 24-4-1=19 24-4+1=21 24+4-1=27 24+4+1=29

6×2×2=24 24-2-2=20 24+2-2=24 24+2+2=28

6×5×1=30 30-5-1=24 30-5+1=26 30+5-1=34 30+5+1=36

6×6×1=36 36-6-1=29 36-6+1=31 36+2+3=41

6×2×3=36 36-2-3=31

用以上方法计算出来的数字都是6的一个倍数，即是r。这些6r±1不可能都是质数。

收获：1 2 3 5 7 10 12 17 18 23 25 30 对生质数有：

5和7 11 和 13 17 和 19 29 和 31 41 和 43 59 和 61 71 和73

101 和 103 107 和 109 137 和 139 149 和 151 179和181

用此方法同样可以筛选出来一定范围内的所有质数，首先建立合数表，表中每一个方格代表一个6的倍数，记住上面（3）所述，在对应方格中写上+号或-号，然后再反转成质数表。在这样的质数表中，对生质数的分布，一目了然。

例：241，在2号质数表竖4横1的交叉处，此处方格中写有+号，即421×6+1=1447是质数。横竖交叉表示末两位数，横是末位数，表号是末两位前面的数。

循环节位数 1-60与循环节对应的同循合数和质数

1 3

2 11

3 37

4 101

5 〔5〕=41×271

6 91=7×13

7 《7》=239×4649

8 10001=73×137

9 333667

10 9091

11 《11》=21649×513239

12 9901

13 《13》=53×79×265371653

14 909091

15 90090991=31×2906161 3

16 100000001=17×5882353

17 《17》=2071723×5363222357

18 999001=19×52579

19 《19》

20 99009901=3541×27961

21 900900990991=43×1933×10838689

22 826446281=23×4093×8779

23 《23》

24 99990001

25 100001000010000100001=21401×25601×182521213001

26 909090909091=859×1058313049

27 333333333666666667=757×440334654777631

28 990099009901=29×281×121499449

29 《29》=3191×16763×43037×62003×77843839397

30 109889011=241×211×2161

31 《31》=2791×6943319×57336415063790604359

32 10000000000000001=353×449×641×1409×69857

33 90090090090990990991=67×1344628210313298373

34 9090909090909091=103×4013×21993833369

35 900009090090909909099991=71×123551×102598800232111471

36 999999000001

37 《37》2028119×247629013×2212394296770203368013

38 909090909090909091

39 900900900900990990990991

40 9999000099990001=1676321×5964848081

41 《41》=83×1231×538987×201763709900322803748657942361

42 156985855573=127×2689×459691

43 《43》=173×1527791×1963506722254397×2140992015395526641

44 99009900990099009901=89×1052788969×1056689261

45 999000000999000999999001=238681×4185502830133110721

46 9090909090909090909091=47×139×2531×549797184491917

47 《47》=35121409×316362908763458525001406154038726382279

48 9999999900000001

49 1000000100000010000001000000100000010000001 =505885997×19767301445981 90963568024679333

50 999999000009999900001=251×5051×78875945472201

51 90090090090090090990990990991=613×210631×52986961×13168164561429877

52 990099009900990099009901=521×1900381976777332243781

53 《53》=107×1659431×1325815267337711173×471988587 99491425660200071

54 999999999000000001=70541929×14175966169

55 9000090000990009900099900999009999099991= 1321×62921×83251631×1300635692678058358830121 4

56 999900009999000099990001=7841×127522001020150503761

57 900900900900900900990990990990990991=21319×10749631×393112302230512 9377976519

58 9090909090909090909090909091=59×154083204930662557781201849

59《59》=2559647034361×4340876285657460212144534289928559826755746751

60 10099989899000101=61×4188901×39526741