中心二项式系数的同余性质

崔汉哲

(上海电机学院 数理教学部， 上海 201306)

中心二项式系数的同余性质

崔汉哲

(上海电机学院 数理教学部， 上海 201306)

中心二项式系数;p进赋值函数; 同余性质

最近，孙智伟[14]证明了

1 定义与引理

引理1[14]对于任意正整数n都成立

定义1对于任意正整数n与素数p，定义p进赋值函数vp(n)为n的素因数分解中p的最高幂次。如对任意素数p有vp(1)=0，v3(9)=v3(36)=v2(36)=v2(4)等。

以下引理在任何一本数论的标准教材中都可以找到。如文献[15]中的第一部分第一章的定理1.6。

引理2对于任意正整数n与素数p都有

2 定理及其证明

定理1Sn为奇数⟺n为2的幂次。

证明将Sn的分子与分母重新整理，得

所要证者

v2(Sn)=v2(n!)+v2((6n)!)-v2((2n)!)-

v2((2n+1)!)-v2((3n)!)-1=0⟺n

为2的幂次。注意到

v2((2n+1)!)=v2((2n)!)=

v2(2·4…(2n-2)(2n))=v2(2nn!)=

n+v2(n!)

以及类似的

v2((6n)!)=3n+v2((3n)!)

可将v2(Sn)化简为n-v2(n!)-1。以下分两种情况，利用引理1具体计算该式。

(1) 当n=2l(l为非负整数)时，

2l-1=n-1

此即v2(Sn)=0。

(2) 当n不为2的幂次时，将n做二进制展开，即

n=2at+2at-1+…+2a0

其中，at>at-1>…>a0≥0且均为非负整数。因n不为2的幂次，故有t≥1。此时经简单计算可得

若a0=0，则(2a0-1+2a0-2+…+1)理解为0，

(2at-1-1)+…+(2a0-1)<

2at+2at-1+…+2a0-1=n

(注意到t≥1)

此即v2(Sn)>0。

证毕

定理2对任意正整数n，成立2n+3|3Sn。

证明经简单计算，可得

故所要证者即为对于任意素数p，都成立

vp(3)+vp((n+1)!)+vp((6n)!)≥

vp((2n)!)+vp((2n+3)!)+vp((3n)!)

(1)

也即

以下分p=2、p=3和p≥5三种情况讨论。

(2) 当p=3时，类似定理1中的证明，有

v3((6n)!)=2n+v3((2n)!)
v3((3n)!)=n+v3(n!)

成立，于是式(1)可简化为

1+n+v3((n+1)!)≥v3(n!)+v3((2n+3)!)

再根据n模3的不同取值分3种情况讨论(以下m均为自然数)。

①n=3m。经简单计算可得式(1)不等号左边=1+4m+v3(m!)，右边=1+3m+v3(m!)+v3((2m+1)!)，故此时要证v3((2m+1)!)≤m。而

v3((2m+1)!)=

由于m为自然数，此即v3((2m+1)!)≤m。

②n=3m+1。经简单计算可得式(1)不等号左边=2+3m+v3((3m)!)，右边=1+2m+v3((3m)!)+v3((2m+1)!)，故此时要证v3((2m+1)!)≤m+1。由①中结论，这显然成立。

③n=3m+2。经简单计算可得式(1)不等号左边=4+4m+v3((m+1)!)，右边=2+3m+v3(m!)+v3((2m+2)!)，故此时要证v3((2m+2)!)≤m+2+v3(m+1)。类似①中做法，有v3((2m+2)!)

(3) 当p≥5时，式(1)为

vp((n+1)!)+vp((6n)!)≥

vp((2n)!)+vp((2n+3)!)+vp((3n)!)

由引理1，只需证明对任意正整数k与n，均有

(2)

成立。

由于式(2)成立与否只依赖于n模pk的值，故以下设n=0,1,…,pk-1。然后，根据n+1,2n,2n+3,3n,6n与pk的不同大小关系逐一验证式(2)成立。为讨论方便，需要固定2n+3与3n的大小关系，即当n≥4时，有2n+3<3n。因此，n=0,1,2,3的情况首先单独验证。以下是具体过程(注意p≥5，k≥1)。

(1) 当n=0时，式(2)为

(2) 当n=1时，若p=5，且k=1，则式(2)为

其余情况下，式(2)均为

(3)n=2和n=3的情形与上文类似，本文省略具体过程。当n≥4时，分以下几种情况具体计算可得：

① 当6n

② 当3n

③ 当2n+3

④ 当2n

⑧ 当pk≤n+1，即n=pk-1时，式(2)为

这样便证明了对任意正整数k与n，式(2)均成立。

定理证毕

[1] Stanley R P.Enumerative Combinatorics: Vol.2[M].Cambridge： Cambridge University Press,1999: 219.

[2] Grimaldi R.Fibonacci and Catalan Numbers： An Introduction[M].New Jersey： John Wiley & Sons,2012: 147.

[3] Cao H Q，Pan H.Factors of alternating binomial sums[J].Advances in Applied Mathematics,2010,45： 96-107.

[4] Sun Zhiwei.Binomial coefficients,Catalan numbers and Lucas quotients[J].Science China Mathematics,2010,53： 2473-2488.

[5] Sun Zhiwei,Tauraso R.New congruences for central binomial coefficients[J].Advances in Applied Mathematics,2010,45： 125-148.

[6] Sun Zhiwei,Tauraso R.On some new congruences for binomial coefficients[J].International Journal of Number Theory,2011,7(3)： 645-662.

[7] Sun Zhiwei.On congruences related to central binomial coefficients[J].Journal of Number Theory,2011,131(11)： 2219-2238.

[8] Tauraso R.More congruences for central binomial coefficients[J].Journal of Number Theory,2010,130(12)： 2639-2649.

[9] Guo V J W,Zeng Jiang.Some congruences involving centralq-binomial coefficients[J].Advances in Applied Mathematics,2010,45(3)： 303-316.

[10] Mattarei S,Tauraso R.Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms[J].Journal of Number Theory,2013,133(1)： 131-157.

[11] Sun Zhiwei.Supercongruences involving products of two binomial coefficients[J].Finite Fields and Their Applications,2013,22： 24-44.

[12] Sun Zhiwei.On divisibility of binomial coefficients[J].Journal of the Australian Mathematical Society,2012,93(1/2)： 189-201.

[13] Guo V J W,Krattenthaler C.Some divisibility properties of binomial andq-binomial coefficients[J].Journal of Number Theory,2014,135： 167-184.

[14] Sun Zhiwei.Products and sums divisible by central binomial coefficients. The Electronic Journal of Combinatorics,2013,20(1)： 9.

[15] 特伦鲍姆G.解析与概率数论导引[M].陈华一,译.北京： 高等教育出版社，2011: 15.

Congruence Property of Central Binomial Coefficients

CUIHanzhe

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

central binomial coefficients;p-adic valuation function; congruence property

2014 - 05 - 26

崔汉哲(1980-),男,讲师，博士，主要研究方向为算子代数与组合数学，E-mail： cuihz@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2014)05 -0288 - 04

O 151.1

A