多阶段均值-方差投资组合选择问题研究

张笑美，刘宣会

(西安工程大学 理学院，西安 710048)

芝加哥大学的Markowitz教授于1952年提出的“证券组合选择理论” (Portfolio Selection Theory)[1], 标志着现代投资组合理论的诞生，在该文中Markowitz首次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发, 论述了不确定性经济系统中最优资产组合的选择问题. 自20世纪60年代以来, 国内外大批学者致力于投资组合理论的研究与创新并取得了丰硕的成果，这些研究主要集中在以下几个方面: 一是不断探索符合投资者心理的新的风险度量方法, 提出很多新的风险度量函数和投资组合模型由于均值方差模型; 二是放宽均值方差模型的假设条件, 考虑有摩擦情况下或增加其他约束条下的投资决策问题并研究相应的有效算法. 三是将单周期理论推广到多期, 形成动态投资组合选择理论.例如1968年, Mossin首次提出多阶段投资组合问题的数学模型[2], Li D等首次利用把问题嵌入到另外一个可以通过动态规划求解的问题的做法, 得到了比较理想的多阶段安全-首要模型的解析解[3], 后来把结论推广到了一般的多阶段均值-方差模型中[4],李仲飞也对这类问题做了一些研究[5]，Wei和Ye又进一步在随机市场假设下推广了以上模型[6].

但是以上研究都没有考虑到影响投资决策的重大不确定因素影响，本文克服了这个问题，引入贝叶斯理论，建立一个新的多阶段均值-方差最有投资组合选择模型，并推导出其最优投资策略的解析表达式.

1 模 型

令νt是投资者的财富从第一阶段初到第阶段初增长的倍数，t=1,2,…,T+1,则

ν1=1，

(1)

(2)

投资者的目标是求得在整个投资区间内财富增长的倍数νT+1的期望最大与方差最小之间合理的权衡下的最佳投资组合策略X(α)={x1(α),x2(α),…,xT(α)}.下面给出模型：

t=1,2,…,T,ω∈(0,∞),α∈Ωα=(α1，α2,…,αs}.

2 模型求解

2.1 引理1

各阶段的投资决策：

(3)

其中qt(αj)=p(α=αj|xt)为在t时刻α=αj的后验概率.

2.2 对xt(α=αj)的求解

固定α后模型固定为

由于上述问题具有在动态规划意义下的不可分结构，难以用动态规划的方法直接求解.考虑如下辅助问题：

记A(λ,ω)的最优解X的集合为ΠA(λ，ω),P(ω,αj)的最优解X的集合为Πp(ω,αj).

记d(X,ω)=1+2ωE(νT+1)|X.

引理2 若X*∈Πp(ω,aj)，则X*∈ΠA(d(X*,ω),ω).证明见参考文献[3].

引理3 若X*∈ΠA(λ*,ω)，则X*∈p(ω,αj)的一个必要条件是λ*=1+2ωE(νT+1)|x*.

上式对求一阶偏导数并令其为0得

λ*=1+2ωE(νT+1(λ*,ω))=1+2ωE(νT+1)|X*

2.2.1 对辅助问题的求解

(4)

对上式大括号里函数对xT求偏导数并令其为0，得上式最优解

带入式(4)

(5)

只要令ωT+1=ω,λT+1=λ则上式对t=T也成立.所以有

将其代入式(5)得辅助问题的最优解

t=1,2,…,T.

(6)

2.2.2 对xt(a=aj)的求解

把λ*代入式(6)得到P(ω,αj)的最优解

再由式(1)和(2)可依次求出x1(α),x2(α),…,xT(α).

3 结 语

本文考虑到现实生活中影响多阶段投资决策的不确定因素，建立一个新的多阶段均值-方差最有投资组合选择模型，构造辅助问题，利用动态规划方法最终得到最优投资策略的表达式.考虑了一种无风险资产，对不存在无风险的情形我们也可以建立相应的模型，本模型允许卖空和借贷，但是当不允许卖空和借贷时，是否可以求出最优投资策略的解析表达式，这些都是一些值得深入研究的问题.

参考文献：

[1] MARKOWITZ H. Portfolio Selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 77-91.

[2] MOSSIN J. Optimal multi-period portfolio policies[J]. Journal of Business, 1968, 41:215-229.

[3] LI D, CHAN T. Safety-first dynamic portfolio selection[J]. Dynamics of Continuous Discrete and Impulsive Systems, 1998, 4(4):585-600.

[4] LI D, NG L. Optimal dynamic portfolio selection: multi-period mean-variance formulation [J]. Mathematical Finance, 2000, 10: 387-406.

[5] 李仲飞. 投资组合与无套利分析[D]. 北京: 中国科学院系统科学研究所, 2000.

[6] WEI S Z, YE Z Z. Multi-period optimization portfolio with bankruptcy control in stochastic market[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 186(1): 414-425.

[7] HO Y C, LEE R. A Bayesian approach to problems in stochastic estimation and control[J]. Automatic Control, 1964, 9(4):333- 339.

[8] SARIDIS G N, DAO T K. A learning approach to the parameter adaptive self-organization control problem[J]. Automatica, 1972, 8(5):589-597.