一类潜伏期具有传染性的流行病模型的稳定性

张 瑜

(哈尔滨商业大学，基础科学学院，哈尔滨 150028)

利用动力学的方法建立传染病传播的数学模型,通过模型分析疾病流行的规律,预测疾病蔓延的趋势并寻求预防和控制的最优策略是进行传染病研究的一个重要方面.目前对考虑潜伏期的传染病模型的研究已取得了不少结果[1-5].文献[1-3]对潜伏期不具备传染性的模型进行了分析[4-5]研究了潜伏期内同样具有传染性的SEIS流行病模型，但未考虑潜伏期内的康复可能.而一些传染病如肺结核，SARS等在潜伏期内不仅可传染同时也可获得康复.本文研究了一类潜伏期和染病期均具有传染性和康复可能的SEIQ 流行病模型，得到疾病存在与否的阈值，并讨论了两类平衡点的全局渐近稳定性. 最后将隔离率作为控制变量，用范数指标函数作为衡量控制变量的标准得出该模型最优控制元的存在惟一性.

1 模型描述

将t时刻的总人口N(t)分成四类：易感类S(t)，潜伏类E(t)，染病类I(t)，隔离类Q(t)，建立潜伏期和染病期均具有传染性和康复可能的SEIQ传染病模型：

(1)

其中：bN表示人口输入率;d表示个体的自然死亡率;β1,β2分别表示潜伏类、染病类与易感类之间的有效接触率;σ1,σ2分别表示潜伏类和染病类的隔离率；ε表示潜伏类向染病类的转化率;γ1,γ2和γ3分别表示潜伏类，染病类和隔离率的康复率.并假设β1,β2，b，d,ε,γ1,γ2,γ3,σ1,σ2均为正常数.

(2)

考虑到q=1-s-e-i，并令δ=b+ε+γ1+σ1，μ=b+γ2+σ2，将系统(2)简化为：

(3)

2 SEIQ模型传播系统的稳定性分析

定理1 当R0≤1时，系统(3)的无病平衡点P0是全局渐近稳定的;当R0>1时，无病平衡点P0是不稳定的.

当R0>1时，系统(3)在无病平衡点P0(1,0,0)处的特征方程为

(λ+b+γ3)[λ2+(μ+δ-β1)λ+μ(δ-β1)-εβ2]=0

注意到μ(δ-β1)-εβ2=δμ(1-R0)<0，方程存在正根，可知当R0>1时，系统(3)的无病平衡点P0是不稳定的.

由于当R0≤1时，系统(3)仅有惟一的平衡点P0，所以对地方病平衡点P*的讨论仅限于当R0>1时.

定理2 当R0>1时,系统(3)的地方病平衡点P*是局部渐近稳定的.

证明系统(3)在无病平衡点P0(1,0,0)处的特征方程为

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0

其中

a1=β1e*+β2i*+b+γ3+μ+δ-β1s*>β1e*+β2i*+b+γ3+μ>0

a2=(ε+b+σ1+γ3+μ)(β1e*+β2i*)+(b+γ3)(δ+μ-β1s*)>(ε+b+σ1+γ3+μ)(β1e*+β2i*)+(b+γ3)μ>0

a3=[μ(b+σ1)+ε(b+σ2)+γ3(ε+μ)](β1e*+β2i*)>0

从而

由Routh-Hurwitz 判据可知当R0>1时，系统(3)的地方病平衡点P*是局部渐近稳定的.

引理1[6]设f:R3→R3是一个Lipschitz连续向量场，Γ(t)是有向光滑曲面S⊂R3的边界曲线，它是闭的，分段光滑的.如果g:R3→R3在S的某邻域光滑，且对一切满足：

g(Γ(t))·f(Γ(t))≤0(≥0)

(curlg)·n≥0(≤0),在S上

而且在S上有一些点满足：

(curlg)·n>0(<0)

这里n是曲面S上的法向量，则Γ(t)不可能由系统x′=f(x)的轨线组成.

引理2 系统(3)在Ω2内不存在周期解.

证明显然Ω2的边界线不能构成系统(3)的周期解，下面仅在Ω2内部讨论.

将系统(3)右端的表达式分别记为f1，f2,f3,则有：

f3(e,i)=εe-μi

其中

由引理1可知，系统(3)在Ω2内不存在周期解.

由定理2及引理2可得

定理3 当R0>1时，系统(3)的地方病平衡点P*是全局渐近稳定.

3 SEIQ模型传播系统的最优控制问题

令x1(t)=s(t)-1,x2(t)=e(t),x3(t)=i(t)，系统(3)转化为

(4)

在(0,0,0)T附近，系统(4)的解的性态与其线性系统

(5)

解的性态一致.

(6)

A(t)=

则方程组(6)可写成：

(7)

设T>0，记控制集为：

则U为L2[0,T]×L2[0,T]中的闭凸集.取Sobolev空间：

W1,2中范数为：

由Sobolev嵌入定理，W1，2([0，T]；R3)可看成L2([0，T]；R3)的完备子空间.

取集合W为：

W={X(t)∈W1,2([0,T];R3)|∃σ(t)∈U,使得X(t)是方程(7)关于σ(t)的解}

对∀σ(t)∈U，易知系统(7)的解是惟一存在的，于是SEIQ模型传播系统的最优控制问题等价于寻求σ(0)(t)∈U使与之相对应的解X(0)(t)∈W满足：

σ(0)(t)称为SEIQ传播系统的最优控制元[7].

引理3W是L2([0,T];R3)上的闭凸集.

证明先证明W是L2([0,T];R3)是上的凸集，设X(1)(t),X(2)(t)∈W,由W的定义知存在σ(1)(t),σ(2)(t)∈U,使得X(1)(t),X(2)(t)分别是方程(7)对应于σ(1)(t),σ(2)(t)的解，对∀0<λ<1,记X(t)=λX(1)(t)+(1-λ)X(2)(t)，有

其中:

下证W是L2([0,T];R3)上的闭集.

任取序列X(n)(t)∈W，满足：

(8)

由W的定义知存在一列{σ(n)(t)}⊂U，使得X(n)(t)为系统(7)的对应于σ(n)(t)的解，于是：

(9)

由于X(n)(t)收敛，易知σ(n)收敛，记极限函数为σ(0)(t)，即

对方程组(9)两端取极限得X(0)(t)为系统(7)的对应于σ(0)(t)的解.又因为U为闭集,可知σ(0)(t)∈U，于是X(0)(t)∈W.闭集得证.

最后由文献[8]中证明定理2的方法得到下面的结论.

定理4 设X*给定，SEIQ模型传播系统(7)在U中存在惟一的最优控制元.

参考文献：

[1] ZHANG Juan, LI Jianquan, MA Zhen. Global dynamics of an SEIR epidemic model with immigration of different compartments [J].Acta Mathematica Scientia, 2006, 26 (3): 551-567.

[2] 王 蕾, 刘 浩, 王 凯, 等.一类有饱和发生率及免疫的时滞SEIR传染病模型的全局渐近稳定性[J]. 数学的实践与认识, 2012,42(13): 180-184.

[3] 周玲丽, 孙光辉, 李爱芹. 具有潜伏期的离散SEIR模型的稳定性[J]. 数学的实践与认识2010, 40(7): 136-143

[4] 张 彤, 方道元. 一类潜伏期和染病期均传染且具非线性传染率的流行病模型[J]. 生物数学学报, 2006, 21(3): 345-350.

[5] 原三领, 韩丽涛, 马知恩. 一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型[J]. 生物数学学报, 2001, 16(4): 392-398.

[6] 马知恩, 周义仓, 王稳地, 等. 传染病动力学的数学建模与研究[M]. 北京: 科学出版社, 2004.

[7] WANG Xia, SONG Xinyu. Dynamic property of an epidemic model with nonlinear incidence rate [J]. Journal of Biomathematics, 2011, 26(4): 637-643.

[8] 张 瑜, 任泽洙, 孙李红. 一类具有垂直传播的HIV模型最优控制问题[J]. 哈尔滨商业大学学报:自然科学版, 2013, 29(6): 730-733.