准素子群的几乎s正规性对超中心的影响

张 佳, 王克瑜, 郭继东

(伊犁师范学院 数学与统计学院,新疆 伊宁 835000)

0 引言

子群的广义正规性对有限群的构造起着重要的影响,国内外许多学者利用它们对有限群的结构进行了广泛而深入的研究.1980年,Srinivasan证明了:如果群G的所有Sylow子群的极大子群都是正规的,那么G是超可解的[1].1996年,王燕鸣提出c正规子群的概念,并证明了G是可解的当且仅当G的每个极大子群在G中c正规[2]．2005年,缪龙等提出了F-s补子群的概念,得到群p超可解性及超可解性的一些结果[3]．2009年,缪龙从子群极小补的角度出发提出了M可补子群的概念,并利用给定阶准素子群的M可补性得到了群G关于p幂零、p超可解、超可解等一些结果[4]．2010年,郭文彬等利用几乎s正规子群,对有限群的结构进行了刻画[5]．2012年,邱婷婷等利用某些准素子群的几乎M可补性质研究了有限群的结构，得到了群G为p超可解和超可解的相关结果[6].自从Shemetkov和Skiba教授[7]提出χΦ超中心概念后,这方面就有了较多的研究.基于以上工作，本文利用准素子群的几乎s正规性研究超可解群类p和超可解群类的超中心嵌入.

本文涉及的群皆为有限群,所用术语和符号也是标准的[8-9].符号U和N表示超可解群类和幂零群类．

1 预备知识

定义1[7]设H是群G的正规子群,若H中的所有非FrattiniG主因子在G中是F中心的,则称H在G中是FΦ超中心嵌入的．

引理1[10]设G是有限群,

1) 若H在G中s拟正规,则H在G中几乎s正规;

2) 若H≤K≤G,且H在G中几乎s正规,则H也在K中几乎s正规;

4) 令π是一个素数集,设K是G的正规π′子群,且H是G的π子群．若H在G中几乎s正规,则HK/K在G/K中几乎s正规;

引理3[10]设G是有限群,p是|G|的素因子,P是G的一个Sylowp子群．如果NG(P)是p幂零的且P的每一个极大子群在G中几乎s正规,则G是p幂零的．

引理4[11]令N是G的非平凡可解正规子群．若N∩Φ(G)=1,那么N的Fitting子群F(N)是包含在N中的G的极小正规子群的直积．

引理5[10]设L≠1是G的正规p群,若L是初等交换p子群,且L的任意极大子群在G中是几乎s正规的,则L的某个极大子群在G中是正规的．

引理6设G是有限群,E是G的p可解正规子群,p是|E|的素因子．如果Fp(E)的Sylowp子群都循环,那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是FΦ超中心嵌入的,F是p超可解群类．

证利用极小阶反例,假设(G,E)是满足引理条件但结论不成立的|G||E|最小的群对,则

1)Op′(E)=1．

事实上,若Op′(E)≠1,(G/Op′(E),E/Op′(E))满足引理条件,由(G,E)的极小性知,结论对(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,对(G,E)也成立,矛盾．

2)Op(E)≠1,且Fp(E)=Op(E)=F(E)．

因为E是p可解的且Op′(E)=1,所以包含于E的G的任意极小正规子群是初等交换的,即Op(E)≠1．由1)知,Fp(E)=Op(E)=F(E)．

3)Op(E)∩Φ(G)=1.

若Op(E)∩Φ(G)≠1,选择极小正规子群L,L≤Op(E)∩Φ(G)．若Fp(E)=L,则|Op(E)|=|Fp(E)|=p．因此,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群．所以,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾．若L

4) 完成证明．

由引理4及Fp(E)是循环群知,Op(E)是G的极小正规子群，且Op(E)的极大子群唯一．设M是Op(E)的极大子群．由3)知,M=1．所以,|Op(E)|=p．从而,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群．因此,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾．

2 主要结果

定理1设E是群G的正规子群,P是E的Sylowp子群,p是|E|的素因子．如果NE(P)是p幂零的且P的每个极大子群在G中几乎s正规,那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是UΦ超中心嵌入的．

证利用极小阶反例,假设(G,E)是满足定理条件但结论不成立的|G||E|最小的群对,则

1)Op′(E)=1．

事实上,若Op′(E)≠1,由引理1之3)及引理2知,(G/Op′(E),E/Op′(E))满足定理条件,由(G,E)的极小性知,结论对(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,对(G,E)也成立,矛盾．

2)E=P．

若E=G,由引理3知,G是p幂零的,E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾．若E≠G．由引理1之1),(E,E)满足定理条件,由(G,E)的极小性,结论对(E,E)成立,由引理3,E是p幂零的．因为Op′(E)=1,所以E=P．

3) 若L是包含于E的G的任意极小正规子群,则(G/L,E/L)满足定理条件．

若L=E,P1是P的一个极大子群，则P1在G中几乎s正规,由引理5,L的某个极大子群M在G中正规．由L的极小性,|E|=p．所以E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾．所以(G/L,E/L)满足定理条件．

4) 完成证明．

设L是包含于E的G的任意极小正规子群,则E/L在G/L中是UΦ超中心的,L≤/Φ(G),|L|>p,E∩Φ(G)=1．由引理4,E是包含于E的G的极小正规子群的直积．由3)知,存在包含于E的G的极小正规子群R,R≠L．由[1,引理A.9.11],LR/L≤/Φ(G/L),|R|=|LR/L|=p．因此,E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾．

定理2设G是有限群,E是G的p可解正规子群,p是|E|的素因子．如果Fp(E)的每个Sylowp子群的任意极大子群在G中几乎s正规,那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是FΦ超中心嵌入的,F是p超可解群类．

证利用极小阶反例,假设(G,E)是满足定理条件但结论不成立的|G||E|最小的群对,若Fp(E)的每个Sylowp子群循环,则根据引理6知结论成立．下面考虑Fp(E)存在非循环Sylowp子群的情形.

1)Op′(E)=1．

事实上,若Op′(E)≠1,由引理1之3),(G/Op′(E),E/Op′(E))满足定理条件,由(G,E)的极小性,结论对(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,对(G,E)也成立,矛盾．

2)Op(E)≠1,且Fp(E)=Op(E)=F(E)．

因为G是p可解的且Op′(E)=1,所以包含于E的G的任意极小正规子群是初等交换的,即Op(E)≠1．显然,Fp(E)=Op(E)=F(E)．

3)Op(E)∩Φ(G)=1

若Op(E)∩Φ(G)≠1,选择极小正规子群L,L≤Op(E)∩Φ(G)．若Fp(E)=L,则|Op(E)|=|Fp(E)|=p,矛盾．从而,L

4) 完成证明．

感谢扬州大学缪龙教授的悉心指导!感谢审稿老师的中肯建议！

参考文献:

[1] Srinivasan S.Two sufficient conditions for supersolvablility of finite groups[J].Israel J Math,1980,35(3):210.

[2] Wan Yanming.c-normality of groups and its properties[J].J Algebra,1996,180(3):954.

[3] Miao Long,Guo Wenbin.Finite groups with some primary subgroupsF-S-supplemented[J].Comm Algrebra,2005,33(8):2789.

[4] Miao Long,Lempken W.OnM-supplemented subgroups of finite groups[J].J Group Theory,2009,12(2):271.

[5] Wang Yan,Guo Wenbin.Nearlys-normality of groups and its properties[J].Comm Algrebra,2010,38(10):3821.

[6] 邱婷婷,王强，鲍宏伟．几乎M可补子群对群构造的影响[J].江苏师范大学学报：自然科学版，2012，30(3)：1．

[7] Shemetkov L A,Skiba A N.On theχΦ-hypercentre of finite groups[J].J Algebra,2009,322(6):2106.

[8] Doerk K,Hawkes T.Finite soluable groups[M].Berlin/New York:Walter de Gruyter,1992.

[9] 徐明曜.有限群导引:上册[M].北京:科学出版社,2007.

[10] Guo Wenbin,Wang Yan,Shi Lei.Nearlys-normal subgroups of a finite group[J].J Algrebra Discrete Struct,2008,6(2):95.

[11] Guo Wenbin.The theory of classes of groups[M].London:Science Press-Kluwer Acad,2000.