粗糙线性近似空间的代数结构

刘亚梅,马盈仓,鲁文霞,陈艳艳

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

粗糙集理论于1982年被Pawlak[1]提出以来，已经取得很大的发展。特别是在数据的决策与分析、模式识别、数据挖掘、机器学习与知识发现等方面。在粗糙集理论中有2种方式来定义近似算子：构造性方法和公理化方法。构造性方法是以论域上的二元关系、邻域系统或布尔子代数作为基本要素构造性地定义近似算子，然后得出粗糙集代数系统[2-4]。公理化方法就是先给定一个粗糙集代数系统，然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性方法定义的近似算子及导出的粗糙集代数系统就是给定的近似算子和粗糙集代数系统[5-9]。基于这2种方法，在代数结构方面，不少学者做出了一些研究并提出了许多新的概念，如粗糙群[10]、粗糙子群[11]、粗糙不变子群[12-13]等。在线性空间方面，日本学者N. Kuroki[14]研究了线性空间上粗糙集的性质，提出了在线性空间上的等价关系以及上下近似算子。国内学者W.J.Liu[15-16]、吴明芬[17]等也研究了粗糙线性空间的性质并联系线性空间本身的性质研究更深入的性质，同时还把粗糙集引入了线性空间和模糊线性空间中。本文就是在文献[17]基础上，结合模糊逻辑及其代数分析[18]的有关概念，以及H.G.Zhang[19]对经典粗糙集上信息丢失问题的提出的方法，根据上下近似算子的性质提出了2个集合，使信息丢失的问题得到解决，并建立基于布尔代数的粗糙线性近似空间模型。

1 基本概念

定义1[17]设V是数域P上的线性空间，X、Y是V上的非空子集，k是数域P上的任意元素，定义集合的和与数乘为：

X+Y={α=α1+α2|α1∈X,α2∈Y}

kX={kα|α∈X}

定义2[17]设线性空间V上一个等价关系ρ，若对∀α,β∈V，有(α,β)∈ρ，(α+γ,α+γ)∈ρ，(kα,kβ)∈ρ，∀γ∈V,k∈P。则称ρ为V上的一个同余关系。

定义3[17]设W是线性空间上V的一个子空间，定义一个二元关系ρW：

ρW={(α,β)|α,β∈V,α-β∈W}

定理1[17]设W是线性空间V的子空间，则下面结论成立：

1)ρW是V上的一个同余关系

2) ∀α∈V，同余类[α]ρW=α+W则可将[α]ρW记为ρW(α)。V/ρW={ρW(α)|∀α∈V}是全体同余类的集合。

性质1[17]ρW(α)+ρW(β)=ρW(α+β)

ρW(kα)=kρW(α)

定义4[17]设V是数域P上的线性空间，W是V的线性子空间，X是V上的任意一个非空子集，定义X在W上关于ρW的上、下近似分别为：

性质2[17]设V是数域P上的线性空间，W是V的线性子空间，X,Y是V上的非空子集，则有：

2 集合的交(并)的上(下)近似的等

式刻画

由性质2 中的5)、6)可以看出，在线性空间中交的上近似、并的下近似并不是等式刻画，存在信息丢失的问题。在本节中，主要解决这一问题，为此引入以下定义：

定义5 设V是数域P上的线性空间，W是V的一个子空间，X,Y是V的2个子集，记

PX(Y)=

{α|ρW(α)⊆X∪Y且ρW(α)⊄X,ρW(α)⊄Y}；

QX(Y)={α|ρW(α)∩(X∩Y)=∅,

且ρW(α)∩X≠∅,ρW(α)∩Y≠∅}。

定理2:

2) 此命题等价为

例1: 设线性空间V是全体实数，定义它的加法运算为a⊕b=ab，乘法运算为a⊗b=ab。V的一个线性子空间为W={-1,1}，V中的2个子集X={1,2,3,4,5}和Y={1,2,3,6}。求PX(Y),QX(Y)并验证以上结论。

解：由定义可得

PX(Y)={5}

QX(Y)={5}

3 粗糙线性近似空间及其代数结构

研究了基于同余关系的线性空间上下近似的性质，并通过2个集合解决了信息丢失的问题，下面要讨论上下近似的代数结构。

定义6 设V是数域P上的线性空间，X是V的任意子集，定义

定义7 设V是数域P上的线性空间，X,Y是V的任意子集，则粗糙线性空间的并、交、补、差运算定义为：

推论1 1)ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(X∪Y)

1）行走机构：行走机构采用自行式驱动，可选择轮胎式和履带式2种。轮胎式是由轮胎、轴和轴承以及液压马达等组成驱动装置，车轮采用重载汽车轮胎。履带式是由驱动轮、托链轮、支重轮、履带架、履带、张紧装置、导向轮及液压马达组成。整机的重量通过履带架、支重轮传到履带上。托链轮托持上股履带的下垂。支重轮、托链轮均沿履带滚动。

2)ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(X∩Y)

所以ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(X∪Y)。

同理可得ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(X∩Y)。

定理3 设V是数域P上的线性空间，X、Y、Z是V的任意子集，则有

1)交换律：

ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(Y)∪ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(Y)∩ρW(X)。

2)结合律：

(ρW(X)∪ρW(Y))∪ρW(Z)=

ρW(X)∪(ρW(Y)∪ρW(Z))；

(ρW(X)∩ρW(Y))∩ρW(Z)=

ρW(X)∩(ρW(Y)∩ρW(Z))。

3)分配律：

ρW(X)∪(ρW(Y)∩ρW(Z))=

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X)∪ρW(Z))；

ρW(X)∩(ρW(Y)∪ρW(Z))=

(ρW(X)∩ρW(Y))∪(ρW(X)∩ρW(Z))。

4)幂等律：

ρW(X)∪ρW(X)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(X)=ρW(X)。

5)0-1律：

ρW(X)∪ρW(∅)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(V)=ρW(X)。

6)互补律：

ρW(X)∪ρW(X⊥)=ρW(V)；

ρW(X)∩ρW(X⊥)=ρW(∅)。

7)对偶律：

(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)；

(ρW(X)∩ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∪ρW(Y⊥)。

证明:

1)由PX(Y)和QX(Y)定义可以看出PX(Y)=PY(X)，QX(Y)=QY(X)。

所以

2)(ρW(X)∪ρW(Y))∪ρW(Z)=

ρW(X∪Y)∪ρW(Z)=

ρW(X)∪(ρW(Y)∪ρW(Z))

(ρW(X)∩ρW(Y))∩ρW(Z)=

ρW(X∩Y)∩ρW(Z)=

ρW(X)∩(ρW(Y)∩ρW(Z))。

3)ρW(X)∪(ρW(Y)∩ρW(Z))=

ρW(X)∪ρW(Y∩Z)=ρW((X)∪(Y∩Z))=

ρW(X∪Y)∩ρW(X∪Z)=

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X)∪ρW(Z))，

ρW(X)∩(ρW(Y)∪ρW(Z))=

ρW(X)∩ρW(Y∪Z)=

ρW(X∩Y)∪ρW(X∩Z)=

(ρW(X)∩ρW(Y))∪(ρW(X)∩ρW(Z))。

4)ρW(X)∪ρW(X)=ρW(X∪X)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(X)=ρW(X∩X)=ρW(X)。

5)ρW(X)∪ρW(∅)=ρW(X∪∅)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(V)=ρW(X∩V)=ρW(X)。

6)ρW(X)∪ρW(X⊥)=ρW(X∪X⊥)=ρW(V)；

ρW(X)∩ρW(X⊥)=ρW(X∩X⊥)=ρW(∅)。 7) 要证(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)，只需证(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=ρW(∅)。

(ρW(X)∪ρW(Y))∪(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=ρW(V)，

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=

[(ρW(X)∪ρW(Y))∩ρW(X⊥)]∩ρW(Y⊥)=

[(ρW(X)∩ρW(X⊥))∪(ρW(Y)∩ρW(X⊥))]∩

ρW(Y⊥)=[∅∪(ρW(Y)∩ρW(X⊥))]∩

ρW(Y⊥)=ρW(Y)∩ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)=

ρW(∅)∩R(X⊥)=R(∅)，

(ρW(X)∪ρW(Y))∪(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=

(ρW(X)∪ρW(Y)∪ρW(X⊥))∩

(ρW(X)∪ρW(Y)∪ρW(Y⊥))=

(ρW(V)∪ρW(Y))∩(ρW(V)∪ρW(X))=

ρW(V)∩ρW(V)=ρW(V)。

所以(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)。

同理可证(ρW(X)∩ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∪ρW(Y⊥)。

(X,ρW(X))∪(Y,ρW(Y))=(X∪Y,ρW(X∪Y))

(X,ρW(X))∩(Y,ρW(Y))=(X∩Y,ρW(X∩Y))

(X,ρW(X))⊥=(X⊥,ρW(X⊥))

0=(ρW(∅),ρW(∅))，1=(ρW(V),ρW(V))。 由以上分析可得出如下定理：

定理4 代数系统〈F,∪,∩,⊥,0,1〉为布尔代数。

4 结束语

粗糙集与代数系统的结合研究是粗糙集理论研究热点之一，把粗糙集与线性空间结合研究具有重要的理论意义。在本文中，根据线性空间中集合关于同余关系的上下近似的性质，提出了2个集合以解决线性空间中信息丢失的问题，通过对上近似的交和下近似的并的等式的刻画，同时研究了粗糙线性近似空间中上下近似的代数结构并证明了其构成了布尔代数。接下来将对此代数结构进行进一步的研究。但本文缺乏实际应用，未来将对上下近似的代数结构和实际应用做进一步的研究。

参考文献:

[1]PAWLAK Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Science, 1982, 11: 341-356.

[2]WU W Z, MI J S, ZHANG W X. Generalized fuzzy rough sets[J]. Information Sciences, 2003, 151: 263-282.

[3]WU W Z, ZHANG W X. Constructive and axiomatic approaches of fuzzy approximation operators[J]. Information Sciences, 2004, 159: 233-254.

[4]吴伟志,张文修,徐宗本. 粗糙模糊集的构造与公理化方法[J]. 计算机学报, 2004, 27(4): 197-203.

WU Zhiwei, ZHANG Wenxiu, XU Zongben. Characterizating rough fuzzy sets in constructive and axiomatic approaches[J]. Chinese Journal of Computers, 2004, 27(4): 197-203.

[5]YAO Y Y, LIN T Y. Generalization of rough sets using modal logic[J]. Intelligent Automation and Soft Computing: An International Journal, 1996, 2: 103-120.

[6]MI J S, ZHANG W X. An axiomatic characterization of fuzzy generalization of rough sets[J]. International Journal of General Systems, 2005, 34: 77-90.

[7]YAO Y Y. Two views of the theory of rough sets in finite universes[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 1996, 15: 291-317.

[8]YAO Y Y. Constructive and algebraic methods of the theory of rough sets[J]. Journal of Information Sciences, 1998, 109: 21-47.

[9]祝峰,何华灿. 粗集的公理化[J].计算机学报, 2000, 33(3): 330-333.

ZHU Feng, HE Huacan. The axiomatization of the rough set[J]. Chinese Journal of Computers, 2000, 33(3): 330-333.

[10]韩素青. 粗糙群的同态与同构[J]. 山西大学学报:自然科学版, 2001, 24(4): 303-305.

HAN Suqing. Homomorphism and isomorphism of rough group[J].Journal of Shanxi University ：Natural Science Edition, 2001, 24(4): 303-305.

[11]张金玲,张振良. 粗糙子群和粗糙子环[J]. 纯粹数学与应用数学, 2004, 20(1): 92-96.

ZHANG Jinling， ZHANG Zhenliang. Rough grougs and rough rings[J].Pure and Applied Mathematics, 2004, 20(1): 92-96.

[12]韩素青,胡桂荣. 粗糙陪集、粗糙不变子群[J]. 计算机科学期刊, 2001, 28(suppl.): 76-77.

HAN Suqing， HU Guirong. Rough coset and rough invariant subgroup[J]. Scientific Journal of Computer Science， 2001, 28(suppl.): 76-77.

[13]王德松,舒兰. 粗糙不变子群的若干性质与粗糙商群[J].模糊系统与数学, 2004, 18(4): 49-53.

WANG Desong, SHU Lan. Some properties of rough invariant subgroups and rough quotient groups[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2004, 18(4): 49-53.

[14]KUROKI N. Rough sets and convex subsets in a linear space[J]. RIMS Kokyuroku, 1997, 985: 42-47.

[15]LIU W J. Rough linear space[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2007, 21: 137-143.

[16]LIU W J, YANG P L. The Fuzzy Rough linear space[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2006, 20: 135-140.

[17]吴明芬.线性空间上基于同余的上下近似[J].模糊系统与数学, 2008, 22(1): 146-150.

WU Mingfen. Upper and lower approximation based on congruences on linear spaces[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2008, 22(1): 146-150.

[18]张小红. 模糊逻辑及其代数分析[M].北京: 科学出版社, 2008: 133-134.

[19]ZHANG H G, LIANG H L, LIU D R. Two new operators in rough set theory with applications to fuzzy sets[J]. Information Sciences, 2004 (166): 147-165.