模态数量对薄壁短圆柱壳振动响应分析的影响

王宇，翟敬宇，李晖，罗忠

（1.东北大学机械工程与自动化学院，沈阳110819；2.辽宁科技大学机械工程学院，辽宁鞍山114051; 3.大连理工大学机械工程学院，辽宁大连116024）

模态数量对薄壁短圆柱壳振动响应分析的影响

王宇1,2，翟敬宇3，李晖1，罗忠1

（1.东北大学机械工程与自动化学院，沈阳110819；2.辽宁科技大学机械工程学院，辽宁鞍山114051; 3.大连理工大学机械工程学院，辽宁大连116024）

采用振型叠加法研究薄壁短圆柱壳受谐波激励的振动响应分析时模态截断数量的影响，且考虑简支—简支、固支—固支和固支—自由三种约束条件。首先基于Love壳体理论建立薄壁短圆柱壳的动力学模型。然后，给出采用振型叠加法进行薄壁短圆柱壳受径向谐波激励时的振动响应求解方法。在三种不同约束条件下，计算采用不同模态截断数量时的稳态响应的振动幅值，对比其一致性，并与实测结果进行比较。结果表明，在这三种约束条件下计算受谐波激励薄壁短圆柱壳的振动响应，需要截取前8阶模态函数用于表征位移模式；模态数据超过8阶对响应计算的精度没有明显改善，实测振动响应结果与解析结果基本吻合。

振动与波；薄壁短圆柱壳；谐波激励；振动响应；模态数量

薄壁短圆柱壳通常是指壁厚与其它最小特征尺寸（直径、长度）之比在1/80和1/5之间的圆柱筒体[1]，这类结构广泛应用于航空和造船等领域，常常由于处于复杂的工作环境中而容易产生共振和失稳等现象。掌握薄壁短圆柱壳结构在外激励条件下的振动响应分析方法，对于这类结构的动力学设计与分析具有重要意义。

目前，薄壁圆柱壳的固有特性研究已经非常充分[2]，针对薄壁短圆柱壳的振动响应特征，也已经做了大量工作。Huang等人研究了两端简支旋转圆柱壳的自由振动和谐波激励响应[3]。Christoforou等人利用解析法分析了两端简支圆柱壳在径向冲击载荷的振动响应[4]。Young-Shin等人利用振型叠加法分析了两端简支层合圆柱壳的响应特性[5]。戴向胜根据能量守恒和角度增量叠缩法研究了圆柱壳采用不同材料和几何参数时的冲击块的速度位移、载荷以及瞬时载荷位移历程[6]。李学斌使用Flügge壳体理论和振型叠加法，分析了两端简支圆柱壳的瞬态响应[7]。姚熊亮利用Donnell壳体理论和微分求积单元法研究了圆柱壳的谐响应问题[8]。叶文荣等人对圆柱壳总振动最小时的激励力位置和相位进行了最优设计[9]。对于薄壁圆柱壳构件，在受到谐波激励时振动响应的计算精度，也受到模态截断数量的影响。

本文针对简支—简支、固支—固支和固支—自由三种边界条件下的薄壁短圆柱壳，基于Love壳体理论建立动力学方程，利用振型叠加法进行求解，分析受到径向谐波激励下薄壁短圆柱壳的振动响应，重点讨论了模态截断数量对受迫振动响应幅值的影响，并通过实验测试对分析结果进行验证。

1 薄壁短圆柱壳响应分析的解析法

1.1 力学模型

如图1所示的薄壁短圆柱壳，在Q(x*,θ*,z*)点受到径向激励作用。建立柱坐标系Oxθz，u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分别表示薄壁圆柱壳的中面上任意一点在轴向x、切向θ和径向z的位移，L，H和R分别为圆柱壳的长度、壁厚和中面半径。

图1 受径向激励的薄壁短圆柱壳

本文基于Love壳体理论，考虑结构阻尼的影响，薄壁短圆柱壳的振动微分方程为[10]

式中‘·’表示位移对时间的求导，c为等效粘性阻尼系数，ρ为材料密度，P为外部激振力，L的表达式为

其中P激励力项的元素为px,pθ,pz,Lij(i,j=1, 2,3)为微分算子。

1.2 基于振型叠加法的固有特性求解方法

在求解圆柱壳的无阻尼固有频率时，不需考虑结构阻尼的影响，设式（1）的位移解为

式中λm，σm和ai(i=1,2,3,4)与边界条件有关。

求解固有频率时，把式(3)代入式(1)，进行Galerkin离散，可得常微分方程为

对式(6)进行积分，可以得到频率特征方程为

其中cij为系数。

由式(7)的非平凡解条件得到频率方程为其中βi为系数。

由式（8）求出基频后，即可求得振型比。

1.3 径向谐波激励下的振动响应分析方法

当薄壁短圆柱壳在Q点仅受到径向谐波激励时，激励力的表达式为

式中f0为激励力幅值，ω为激励力频率，δ为Dirac函数。

将式(3)代入式(1)，并利用空间和时间变量分离法，得到主共振模态下模态坐标的微分方程为

根据式(10)和式（11），得到稳态响应解为

将式(12)代入式(3)中，即可得到薄壁短圆柱壳的径向位移。同时，由稳态响应的时域和幅频特性曲线，研究模态截断数量对响应位移幅值的影响。

2 算例分析

考虑两端简支、两端固支和固支—自由三种约束条件下，圆柱壳的材料和尺寸参数如表1所示。

表1 薄壁圆柱壳的材料参数和尺寸参数

2.1 两端简支约束条件

设径向谐波激励作用在两端简支薄壁圆柱壳的（L/2,0∘,R）位置，拾振位置为点（L/2,0∘,R）处，激励幅值为2 N，模态阻尼比设为0.3%。

在响应求解时，取m=1,n=1～10个模态振型进行叠加，(1,7)阶的稳态时域响应曲线如图2所示；当激振频率在2 000 Hz～3 500 Hz之间变化时，振动响应的幅频特性曲线如图3所示。由图2可知，稳态响应曲线为正弦曲线，呈周期性变化。由图3发现，在(1,8)阶固有频率处，径向位移出现最大峰值，并且与(1,6)和(1,7)两阶的位移幅值相接近，而(1,9)、(1,5)、(1,10)和(1,4)的位移响应幅值逐渐减小；根据响应峰值所对应的模态阶数，出现的先后顺序依次为(1,7)、(1,8)、(1,6)、(1,9)、(1,5)、(1,10)和(1,4)，(1,1)、(1,2)和(1,3)阶的固有频率较高，未出现在上述频率范围内。

图2 (1,7)阶的稳态时域响应曲线

图3 稳态响应的幅频特性曲线

激励频率取第(1,7)阶固有频率2 404 Hz，当模态截断数量分别取（1,1～6）、（1,1～7）、（1,1～8）、（1,1～9）和（1,1～10）共五组振型分别进行叠加，不考虑相位差角的影响，对周向模态截断数量进行分析；当模态截断数量分别取（1,1～10）和（1～2,1～10）两组振型进行叠加时，对轴向模态截断数量进行分析。由误差分析可知，当轴向半波数为1时，周向波数为6的径向位移误差曲线最大，并且位移误差随着周向波数的增加而逐渐减小，当周向波数超过8时位移误差变化很小，例如当周向波数为9时的径向位移误差为0.82%；当周向半波数为10时，轴向半波数大于1时，位移响应误差变化很小，例如轴向半波数为3时误差为-0.58%。因此，对于谐波激励下两端简支的圆柱壳的响应分析，模态截断数量取m=1,n≥8时即可达到所需求解精度要求。

2.2 两端固支约束条件

设径向谐波激励作用在两端固支薄壁圆柱壳中部相位为0∘的点（L/2，0∘，R）处，拾振位置为点（L/2，0∘，R）处，激励幅值为2 N，模态阻尼比设为0.3%。

在响应求解时，取m=1，n=1～10个模态振型进行叠加，(1,6)阶的稳态时域响应曲线如图4所示；当激振频率在3 000 Hz～4 000 Hz之间变化时，响应的幅频特性曲线如图5所示。

图4 (1,7)阶的稳态时域响应曲线

图5 稳态响应的幅频特性曲线

由图4可知，稳态响应曲线为周期性变化的正弦曲线。由图5可以看出，在低阶固有频率的(1,8)阶位置，径向位移响应出现最大峰值，其次为(1,7)阶，从(1,6)开始径向位移幅值逐渐减小。按照固有频率所对应的模态阶数，出现的先后顺序依次为(1,7)、(1,8)、(1,6)、(1,9)、(1,5)、(1,10)和(1,4)，(1,1)，(1,2)和(1,3)阶的固有频率较高，未出现在图5所示的频率范围内。

激励频率取第(1,7)阶的固有频率3 146 Hz，模态数量分别取（1,1～6）、（1,1～7）、（1,1～8）、（1,1～9）和（1,1～10）五组振型进行叠加，对周向模态截断数量进行分析；当模态数量分别取（1,1～10）和（1～2,1～10）两组振型进行叠加时，对轴向模态截断数量进行分析。由误差分析可知，当轴向半波数为1，周向波数大于8时的响应幅值误差逐渐减小，例如周向波数为9时的位移响应误差为1.4%；当周向半波数为10时，轴向半波数对响应的位移幅值很小，例如轴向半波数为3时误差为-0.47%。此时，模态截断数量取m=1，n≥8即可达到一般求解精度要求。

2.3 固支—自由约束条件

设径向谐波激励作用在固支—自由边界约束薄壁圆柱壳的自由端相位为0∘的点（L,0∘,R）处，拾振位置为点（L,0∘,R）处，激励幅值为2 N，模态阻尼比设为0.3%。

在响应求解时，取m=1,n=1～10个模态振型进行叠加，(1,6)阶的稳态时域响应曲线如图6所示；当激振频率在1 000 Hz～3 000 Hz之间变化时，响应的幅频特性曲线如图7所示。

由图6可知，稳态响应曲线为正弦曲线，呈现周期性变化。由图7可以看出，在(1,6)与(1,7)、(1,5)与(1,8)阶处有位移响应峰值集中出现的现象，并且(1,4)和(1,9)两阶的峰值重合在一起，这与固有频率的分布关系相一致；在(1,6)和(1,7)两阶出现最大径向位移，并且位移响应幅值相接近。按照峰值所对应的固有频率出现的先后顺序，依次为(1,6)、(1,7)、(1,5)、(1,8)、(1,4)和(1,9)、(1,10)和(1,3)，(1,1)和(1,2)阶的固有频率较高，未出现在图7的激励频率范围内。

图6 (1,6)阶的稳态时域响应曲线

图7 稳态响应的幅频特性曲线

激励频率取第(1,6)阶固有频率1 668 Hz，模态截断数量分别取（1,1～6）、（1,1～7）、（1,1～8）、（1,1～9）和（1,1～10）五组振型分别进行叠加，对周向模态截断数量进行分析；当取（1,1～10）和（1～2,1～10）两组振型进行叠加时，对轴向模态截断数量进行分析。由误差分析可知，当轴向半波数为1时，周向波数大于6的径向位移响应幅值变化逐渐减小，例如当周向波数为9时的径向位移误差为0.38%。当周向半波数为10时，轴向半波数对响应幅值影响较小，轴向半波数等于1和2时的位移响应幅值误差为-0.079%，轴向半波数等于1和3时位移响应幅值误差为-1.06%。此时，对于固支—自由边界约束的薄壁圆柱壳响应分析中，模态截断数量一般取m=1，n≥8可以达到所需精度要求。

3 薄壁短圆柱壳振动响应的实验验证

以固支—自由约束边界的薄壁短圆柱壳为研究对象，样件如图8所示，进行谐波激励的响应测试，并对解析法计算得到的结果进行验证，步骤如下。

图8 固支—自由约束的薄壁短圆柱壳实物图

3.1 测试系统

薄壁短圆柱壳的样件底部设置固定安装边，安装边上均布24个螺孔，通过力矩扳手确定统一的预紧力拧紧螺栓，作为固支边界约束条件，采用单点激励单点采集的试验方案对其振动响应进行试验研究，主要仪器包括BK4824型电磁激振器、2732型功率放大器、LMS 16通道便携式数据仪、PCB压电力传感器和加速度传感器等。

3.2 测试方法

将圆柱壳的沿周向等分成48等份，传感器布置在圆柱壳外表面，垂直于柱面。数据采集前端参数设置后，先通过锤击法测试得到样件的固有频率和分布特点，再选择低阶固有频率作为激励频率，采用电磁激振器配合功率放大器作为谐波激励源，LMS控制软件将信号源的激励电压经功率放大器放大后，通过激振器前端配有PCB压电力传感器的顶杆对试件激励，并对谐波激励进行控制，采集激振力回馈的稳态振动响应信号。

3.3 测试结果

通过搭建的测试系统，采用测试样件得到的振频率1 065 Hz作为谐波激励频率，按照本测试流程对固支—自由约束边界的圆柱壳振动响应进行测试，设自由端激励点相位为0°，激励点位置取(L，0°，R)，激振力幅值设定为2 N。

通过对实验数据进行处理，得到的6阶固有频率值和理论计算得到的固有频率值如表2所示，模态振型图如表3所示。

表2 固有频率的实验测试结果

由表2可知，由实验得到的固有频率值在第(1, 6)阶误差较大，随着周向波数的增加，误差逐渐减小，例如，周向波数为11时，误差仅为0.27%，这主要是由于本文的分析对象为薄壁短圆柱壳，而上述梁函数法为一种近似解析法，固有频率在低阶的求解精度受到一定限制；同时，由于试验件的加工误差和测量方法等，对实验结果也有一定影响。由表3可知，模态振型在周向表现为花瓣形状，并且自由端的振动位移最大，例如，第(1,6)阶的模态振型表现为周向波数为6的花瓣形状。

表3 薄壁圆柱壳的模态振型

由实验得到的稳态径向位移响应信号，不同测点的径向位移幅值如表4所示。

表4 节点的径向响应位移幅值单位：μm

由表四可知，解析法和实验方法得到的位移响应结果数量级一致，当模态阻尼比为0.15%时，解析解在90°、180°和270°点径向位移幅值与试验结果吻合较好。在试验测试中，由于拾振点与激励点重合，受到激振器的磁头附加质量影响较大，故该点的径向位移与解析解有较大偏差。同时，由于安装边影响和固支端联接条件等因素均对其测试结果有一定影响，可以考虑采用非接触式激光测振仪等方面进行改进。

4 结语

针对两端简支、两端固支和固支—自由三种边界条件的薄壁短圆柱壳，采用振型叠加法进行径向谐波激励时的振动响应分析，可以得到与模态截断数量的关联，具有如下结论：

(1)对薄壁短圆柱壳进行谐波激励响应分析时，稳态时域响应曲线均为正弦曲线，通过对三种边界条件下的模态截断数量进行误差分析，当轴向半波数取1，周向波数大于等于8时，即可满足一般精度求解的要求。

(2)从薄壁短圆柱壳的频谱图可以看出，对于两端简支和两端固支时，响应的最大响应峰值出现在(1,8)阶，最低阶固有频率都出现在(1,7)阶；固支—自由边界约束时，最大响应峰值出现在峰值比较接近的(1,6)和(1,7)两阶，最低阶固有频率都出现在(1,6)阶，同时在(1,6)与(1,7)、(1,5)与(1,8)阶处有位移响应峰值集中出现的现象，同时(1,4)和(1,9)两阶的响应峰值重合在一起，这与固有频率的分布关系和阻尼大小有关。

(3)对固支—自由边界约束的薄壁短圆柱壳进行振动特性测试时，由实验和理论两种方法得到的固有频率值在第(1,6)阶误差较大，随着周向波数的增加，误差逐渐减小，并且由实验得到了相应的模态振型；由实验测试所得径向振动响应位移幅值结果与理论模型解析结果基本吻合。

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Influence of Modal Numbers of Short Thin Cylindrical Shell on Its Forced Vibration Response

WANG Yu1,2,ZHAI Jing-yu3,LIHui1,LUOZhong1

(1.School of Mechanical Engineering andAutomation,Northeast University,Shenyang 110819,China; 2.School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051,Liaoning China; 3.School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,Liaoning China)

An analysis was made to study on forced vibration response characteristics of a short thin cylindrical shell under a radial harmonic excitation force,and the modal numbers were considered for simply supported-simply supported, clamped-clamped and clamp-free boundary conditions.A dynamic model of a short thin cylindrical shell was constructed according to Love’s shell theory.Then,the dynamic equations were solved based on modal superposition method when the cylindrical shell was subject to a radial harmonic excitation force.Under three boundary conditions the vibration response results were calculated.The results show that the response amplitudes need the first eight modes to represent the displacement mode.If the modal numbers are more than eight,the precision are no more obvious improvement,and analytic results and experimental results are fundamental agreement.

vibration and vawe;short thin cylindrical shell;harmonic excitation;vibration responses;modal numbers

O326；O347.1

ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2014.02.011

1006-1355(2014)02-0050-06

2013-12-27

国家自然科学基金资助项目(51105064)；辽宁省自然科学基金资助项目(201202056)

王宇（1979-），男，辽宁铁岭人，东北大学博士生，辽宁科技大学讲师，主要研究方向：机械系统动力学研究。

罗忠（1978-），男，东北大学副教授。

E-mail:zhluo@mail.neu.edu.cn