在解题教学中培养学生反思能力的方法思考

毛晓燕

摘要：反思是数学思维活动的核心。一般心理能力是顺利完成各种活动任务所必备的基本心理能力，如注意力、记忆力、想象力和思维力等。数学反思能力却是一种特殊的心理能力，它属于较高层次的能力——元认知能力。本文结合教学实例，分析了在解题教学过程中培养学生反思能力的具体方法。

关键词：数学；解题教学；反思能力；方法

中图分类号：G632.0 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2014）13-0100-03

《普通高中数学新课程标准（实验）》明确把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题，不断地经历直观感知……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”。在解题过程中注重培养学生的反思能力，能够有效优化思维品质，提高思维能力，进而促进学生的全面发展。

一、反思题目的数学模型，深思求源

高中数学的基本内容有限，但题目却灵活多变。同一个数学模型，命题者可以从不同的角度、不同的层次，以不同的题型进行命题。面对新题型、新情境问题，学生往往会觉得很难，不知从何处下手。因此在平时的教学中要引导学生掌握一些常见的数学模型，要学会进行有效的转化，让学生通过解题后的反思真正做到“以点带面”，达到对某些知识的强化和知识结构的优化，使得思维更加敏捷、有序、合理。

例1：（1）8个同样的小球，随机放入3个盒内，求：①有多少种不同的放法？②每盒内至少有1球的放法。（2）求方程x1+x2+x3+x4=7的正整数解的组数。（3）△ABC的三个内角都是■的整数倍，且三内角不全相等，这样的三角形有多少种？

上述3题，虽然形式和内容不同，但是通过分析、类比，不难发现，对于（2），可将整数7看成7个相同的小球，变量x1、x2、x3、x4看成4个盒子，那么7球入4盒且无空盒的不同放法种数就是方程正整数解的组数。对于（3），三角形内角之和是π，它是■的12倍，将这12个■的角分配到三个内角内，其不同的分配法（除去正三角形一种），就是所求的三角形的个数。这样，三个问题都“化归”为“小球入盒”的模型：将n个同样的小球随机放入m（m≤n）个盒子内的不同放法有mn种；若要求m个盒内均有球，则不同的放法有c■■种。这样，不难求出各个问题的答案。

二、反思解题的过程，深思求准

学生解题结束以后，教师应该要求学生对解题过程进行反思，目的是查找自己是否审清题意，能否理清题干之间的内在联系，能否快速找到解题突破口，存在哪些错误，思维偏差及障碍在哪里，这些困难及错误是如何一一克服的。通过这些反思使之内化为自身的知识结构，从而完成“二次思维”。

三、反思解题的本质，深思求同

在平时教学中，对例题、习题的学习应引导学生深入研究，揭示通性、通法，从而激发学生的求知欲由浅入深，水到渠成完成一类问题，达到螺旋式上升。

例2：已知椭圆：■+■=1的上、下顶点分别为A、B，P为椭圆上不同于A、B的任意一点，求证：直线PA、PB的斜率之积为定值。

该题难度不大，学生按题意翻译就可得到答案，讲完该题，做出如下几个设计：（1）A，B坐标改为■，-■，-■，■结果如何？（2）A，B坐标满足什么条件，结论不变，并给出证明。

通过特殊点展示通法，类比到一般情况，便于学生思考与掌握。利用这一结论可以快速完成2011江苏高考题18题的第三问：

（江苏18）如图，在平面直角坐标系xoy中，M、N分别是椭圆：■+■=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN，求k的值。

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d。

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB。

四、反思题目的结构，深思求变

在教学中，设计合理的变式教学，将一题变一串，拓宽思路，提高应变能力。

例3：已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为

变式1：求a的取值范围。

变式2：求b·f（a）的取值范围。

变式3：若有f（a）=g（b）=g（c），（b≠c）求a+b+c的取值范围。

通过四小题归纳反思变中有同有不同，不要思维定式，让学生的思维在解题后继续飞翔。

五、反思解题的角度，深思求异

教师应启发学生在掌握基本解法的基础上再思考其他方法，多角度观察联想，寻找最佳解题方案，以利于提高思维的广阔性和发散性。

例4：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：■+■=1，若点A，B分别是椭圆的E左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为K1，直线BP的斜率为K2，求证：K1·K2为定值.

角度1：按题目阅读的顺序知，有了P点坐标，就可求出M点坐标，从而就有K1·K2的表达式，表达式中利用P点满足椭圆方程进行消元，得出结论，故而引入变量为P点坐标。

角度2：改变一下顺序，若有了M点坐标就可有直线AP方程，再联立直线AP与椭圆方程得到P点坐标，代入K1·K2计算即得，故引入变量为M点坐标。

角度3：若直线AP定了，联立直线AP与椭圆方程得到P点坐标，联立直线AP与l直线方程得到M点坐标，代入K1·K2计算即得，故引入变量为直线AP的斜率k。

归纳：角度1中P点坐标在椭圆上起到了消元作用，角度2、3中P点坐标通过联立直线与椭圆方程得到，哪种角度考虑最为简洁，一目了然。引导学生多角度反思，引入“谁”作变量。

仿照该角度就可轻松解决一类题：（2013苏锡常镇一模）已知椭圆E：■+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB，设直线PB，DC的斜率存在，且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围。

六、反思解题的结果，深思求真

解题后的验证过程是确保答案准确无误的一种有效做法。鉴于数学问题的特点，对解题结果的反思，一方面能确保答案准确无误，另一方面考查了学生审题的严密规范，能逐步养成良好的思维习惯，培养思维的严密性和批判性。

总之，解题反思是教学中的一个重要环节，教师在教学中要通过自己的示范、引导，对自己的教学内容、教学过程、教学重难点的把握进行反思，才能与学生形成师生间的积极互动，使学生在反思中优化数学认知结构，提高学习效率，不断优化思维品质，提升数学能力。endprint

摘要：反思是数学思维活动的核心。一般心理能力是顺利完成各种活动任务所必备的基本心理能力，如注意力、记忆力、想象力和思维力等。数学反思能力却是一种特殊的心理能力，它属于较高层次的能力——元认知能力。本文结合教学实例，分析了在解题教学过程中培养学生反思能力的具体方法。

关键词：数学；解题教学；反思能力；方法

中图分类号：G632.0 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2014）13-0100-03

《普通高中数学新课程标准（实验）》明确把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题，不断地经历直观感知……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”。在解题过程中注重培养学生的反思能力，能够有效优化思维品质，提高思维能力，进而促进学生的全面发展。

一、反思题目的数学模型，深思求源

高中数学的基本内容有限，但题目却灵活多变。同一个数学模型，命题者可以从不同的角度、不同的层次，以不同的题型进行命题。面对新题型、新情境问题，学生往往会觉得很难，不知从何处下手。因此在平时的教学中要引导学生掌握一些常见的数学模型，要学会进行有效的转化，让学生通过解题后的反思真正做到“以点带面”，达到对某些知识的强化和知识结构的优化，使得思维更加敏捷、有序、合理。

例1：（1）8个同样的小球，随机放入3个盒内，求：①有多少种不同的放法？②每盒内至少有1球的放法。（2）求方程x1+x2+x3+x4=7的正整数解的组数。（3）△ABC的三个内角都是■的整数倍，且三内角不全相等，这样的三角形有多少种？

上述3题，虽然形式和内容不同，但是通过分析、类比，不难发现，对于（2），可将整数7看成7个相同的小球，变量x1、x2、x3、x4看成4个盒子，那么7球入4盒且无空盒的不同放法种数就是方程正整数解的组数。对于（3），三角形内角之和是π，它是■的12倍，将这12个■的角分配到三个内角内，其不同的分配法（除去正三角形一种），就是所求的三角形的个数。这样，三个问题都“化归”为“小球入盒”的模型：将n个同样的小球随机放入m（m≤n）个盒子内的不同放法有mn种；若要求m个盒内均有球，则不同的放法有c■■种。这样，不难求出各个问题的答案。

二、反思解题的过程，深思求准

学生解题结束以后，教师应该要求学生对解题过程进行反思，目的是查找自己是否审清题意，能否理清题干之间的内在联系，能否快速找到解题突破口，存在哪些错误，思维偏差及障碍在哪里，这些困难及错误是如何一一克服的。通过这些反思使之内化为自身的知识结构，从而完成“二次思维”。

三、反思解题的本质，深思求同

在平时教学中，对例题、习题的学习应引导学生深入研究，揭示通性、通法，从而激发学生的求知欲由浅入深，水到渠成完成一类问题，达到螺旋式上升。

例2：已知椭圆：■+■=1的上、下顶点分别为A、B，P为椭圆上不同于A、B的任意一点，求证：直线PA、PB的斜率之积为定值。

该题难度不大，学生按题意翻译就可得到答案，讲完该题，做出如下几个设计：（1）A，B坐标改为■，-■，-■，■结果如何？（2）A，B坐标满足什么条件，结论不变，并给出证明。

通过特殊点展示通法，类比到一般情况，便于学生思考与掌握。利用这一结论可以快速完成2011江苏高考题18题的第三问：

（江苏18）如图，在平面直角坐标系xoy中，M、N分别是椭圆：■+■=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN，求k的值。

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d。

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB。

四、反思题目的结构，深思求变

在教学中，设计合理的变式教学，将一题变一串，拓宽思路，提高应变能力。

例3：已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为

变式1：求a的取值范围。

变式2：求b·f（a）的取值范围。

变式3：若有f（a）=g（b）=g（c），（b≠c）求a+b+c的取值范围。

通过四小题归纳反思变中有同有不同，不要思维定式，让学生的思维在解题后继续飞翔。

五、反思解题的角度，深思求异

教师应启发学生在掌握基本解法的基础上再思考其他方法，多角度观察联想，寻找最佳解题方案，以利于提高思维的广阔性和发散性。

例4：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：■+■=1，若点A，B分别是椭圆的E左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为K1，直线BP的斜率为K2，求证：K1·K2为定值.

角度1：按题目阅读的顺序知，有了P点坐标，就可求出M点坐标，从而就有K1·K2的表达式，表达式中利用P点满足椭圆方程进行消元，得出结论，故而引入变量为P点坐标。

角度2：改变一下顺序，若有了M点坐标就可有直线AP方程，再联立直线AP与椭圆方程得到P点坐标，代入K1·K2计算即得，故引入变量为M点坐标。

角度3：若直线AP定了，联立直线AP与椭圆方程得到P点坐标，联立直线AP与l直线方程得到M点坐标，代入K1·K2计算即得，故引入变量为直线AP的斜率k。

归纳：角度1中P点坐标在椭圆上起到了消元作用，角度2、3中P点坐标通过联立直线与椭圆方程得到，哪种角度考虑最为简洁，一目了然。引导学生多角度反思，引入“谁”作变量。

仿照该角度就可轻松解决一类题：（2013苏锡常镇一模）已知椭圆E：■+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB，设直线PB，DC的斜率存在，且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围。

六、反思解题的结果，深思求真

解题后的验证过程是确保答案准确无误的一种有效做法。鉴于数学问题的特点，对解题结果的反思，一方面能确保答案准确无误，另一方面考查了学生审题的严密规范，能逐步养成良好的思维习惯，培养思维的严密性和批判性。

总之，解题反思是教学中的一个重要环节，教师在教学中要通过自己的示范、引导，对自己的教学内容、教学过程、教学重难点的把握进行反思，才能与学生形成师生间的积极互动，使学生在反思中优化数学认知结构，提高学习效率，不断优化思维品质，提升数学能力。endprint

摘要：反思是数学思维活动的核心。一般心理能力是顺利完成各种活动任务所必备的基本心理能力，如注意力、记忆力、想象力和思维力等。数学反思能力却是一种特殊的心理能力，它属于较高层次的能力——元认知能力。本文结合教学实例，分析了在解题教学过程中培养学生反思能力的具体方法。

关键词：数学；解题教学；反思能力；方法

中图分类号：G632.0 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2014）13-0100-03

《普通高中数学新课程标准（实验）》明确把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题，不断地经历直观感知……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”。在解题过程中注重培养学生的反思能力，能够有效优化思维品质，提高思维能力，进而促进学生的全面发展。

一、反思题目的数学模型，深思求源

高中数学的基本内容有限，但题目却灵活多变。同一个数学模型，命题者可以从不同的角度、不同的层次，以不同的题型进行命题。面对新题型、新情境问题，学生往往会觉得很难，不知从何处下手。因此在平时的教学中要引导学生掌握一些常见的数学模型，要学会进行有效的转化，让学生通过解题后的反思真正做到“以点带面”，达到对某些知识的强化和知识结构的优化，使得思维更加敏捷、有序、合理。

例1：（1）8个同样的小球，随机放入3个盒内，求：①有多少种不同的放法？②每盒内至少有1球的放法。（2）求方程x1+x2+x3+x4=7的正整数解的组数。（3）△ABC的三个内角都是■的整数倍，且三内角不全相等，这样的三角形有多少种？

上述3题，虽然形式和内容不同，但是通过分析、类比，不难发现，对于（2），可将整数7看成7个相同的小球，变量x1、x2、x3、x4看成4个盒子，那么7球入4盒且无空盒的不同放法种数就是方程正整数解的组数。对于（3），三角形内角之和是π，它是■的12倍，将这12个■的角分配到三个内角内，其不同的分配法（除去正三角形一种），就是所求的三角形的个数。这样，三个问题都“化归”为“小球入盒”的模型：将n个同样的小球随机放入m（m≤n）个盒子内的不同放法有mn种；若要求m个盒内均有球，则不同的放法有c■■种。这样，不难求出各个问题的答案。

二、反思解题的过程，深思求准

学生解题结束以后，教师应该要求学生对解题过程进行反思，目的是查找自己是否审清题意，能否理清题干之间的内在联系，能否快速找到解题突破口，存在哪些错误，思维偏差及障碍在哪里，这些困难及错误是如何一一克服的。通过这些反思使之内化为自身的知识结构，从而完成“二次思维”。

三、反思解题的本质，深思求同

在平时教学中，对例题、习题的学习应引导学生深入研究，揭示通性、通法，从而激发学生的求知欲由浅入深，水到渠成完成一类问题，达到螺旋式上升。

例2：已知椭圆：■+■=1的上、下顶点分别为A、B，P为椭圆上不同于A、B的任意一点，求证：直线PA、PB的斜率之积为定值。

该题难度不大，学生按题意翻译就可得到答案，讲完该题，做出如下几个设计：（1）A，B坐标改为■，-■，-■，■结果如何？（2）A，B坐标满足什么条件，结论不变，并给出证明。

通过特殊点展示通法，类比到一般情况，便于学生思考与掌握。利用这一结论可以快速完成2011江苏高考题18题的第三问：

（江苏18）如图，在平面直角坐标系xoy中，M、N分别是椭圆：■+■=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN，求k的值。

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d。

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB。

四、反思题目的结构，深思求变

在教学中，设计合理的变式教学，将一题变一串，拓宽思路，提高应变能力。

例3：已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为

变式1：求a的取值范围。

变式2：求b·f（a）的取值范围。

变式3：若有f（a）=g（b）=g（c），（b≠c）求a+b+c的取值范围。

通过四小题归纳反思变中有同有不同，不要思维定式，让学生的思维在解题后继续飞翔。

五、反思解题的角度，深思求异

教师应启发学生在掌握基本解法的基础上再思考其他方法，多角度观察联想，寻找最佳解题方案，以利于提高思维的广阔性和发散性。

例4：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：■+■=1，若点A，B分别是椭圆的E左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为K1，直线BP的斜率为K2，求证：K1·K2为定值.

角度1：按题目阅读的顺序知，有了P点坐标，就可求出M点坐标，从而就有K1·K2的表达式，表达式中利用P点满足椭圆方程进行消元，得出结论，故而引入变量为P点坐标。

角度2：改变一下顺序，若有了M点坐标就可有直线AP方程，再联立直线AP与椭圆方程得到P点坐标，代入K1·K2计算即得，故引入变量为M点坐标。

角度3：若直线AP定了，联立直线AP与椭圆方程得到P点坐标，联立直线AP与l直线方程得到M点坐标，代入K1·K2计算即得，故引入变量为直线AP的斜率k。

归纳：角度1中P点坐标在椭圆上起到了消元作用，角度2、3中P点坐标通过联立直线与椭圆方程得到，哪种角度考虑最为简洁，一目了然。引导学生多角度反思，引入“谁”作变量。

仿照该角度就可轻松解决一类题：（2013苏锡常镇一模）已知椭圆E：■+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB，设直线PB，DC的斜率存在，且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围。

六、反思解题的结果，深思求真

解题后的验证过程是确保答案准确无误的一种有效做法。鉴于数学问题的特点，对解题结果的反思，一方面能确保答案准确无误，另一方面考查了学生审题的严密规范，能逐步养成良好的思维习惯，培养思维的严密性和批判性。

总之，解题反思是教学中的一个重要环节，教师在教学中要通过自己的示范、引导，对自己的教学内容、教学过程、教学重难点的把握进行反思，才能与学生形成师生间的积极互动，使学生在反思中优化数学认知结构，提高学习效率，不断优化思维品质，提升数学能力。endprint