相交时难切也难

江战明

圆锥曲线是优美的，因为它本身就有着近乎完美的图象；圆锥曲线是简洁的，因为它有着如此和谐的方程；圆锥曲线是重要的，因为它几乎占据了高中解析几何的全部.正因为圆锥曲线是如此优美、简洁和重要，因此教师、学者、专家对圆锥曲线的研究已经非常到位，特别是当圆锥曲线与直线相交时，被挖掘的性质、定理可以说是不计其数. 当然，当直线与圆锥曲线相切时的结论也有很多，但对比相交时的情况，直线与圆锥曲线相切时的结论比较零散，不够系统.本文旨在以高中教师教学角度，由浅入深较系统地整理直线与圆锥曲线几类相切问题并加以拓展或一般化，相信这样的梳理可以对教学工作带来一定的帮助.

一、切线数问题

对于图象封闭的椭圆（包括圆）来说，过一定点能作出几条直线与曲线相切，只需通过观察就可以获得结论.当定点在曲线内部时，无法作出切线；当定点在曲线上时，可以作出一条切线；当定点在曲线外时，可以作出两条切线.但如果圆锥曲线是双曲线或抛物线时，情况会有所改变，一般会问过一定点能作出几条直线与曲线有“一个”公共点.显然两种问法在此有着本质的区别，因为双曲线和抛物线都是不封闭图形，有一个公共点也不一定是相切.那么如何确定过一定点有几条直线与曲线有一个公共点？下面以双曲线为例作说明.

对曲线是双曲线C：-=1 来说，如果定点P（x0，y0）在双曲线开口内，即满足->1所在区域，那么只能作出两条直线与双曲线有一个公共点，这两条直线与渐近线平行；如果定点位置在双曲线的开口外但在渐近线的左右开口内，即满足-<1且->0的区域，此时过定点能作出四条直线与双曲线有一个公共点，其中两条与渐近线平行，另外两条与曲线相切且切点在同一支双曲线上；如果定点在渐近线的上下开口内，即满足-<0，那么过定点与曲线一个公共点的直线也有四条，其中两条与渐近线平行，另外两条与曲线相切，切点在两支双曲线上；如果定点在双曲线上即满足-=1，那么过定点能作出三条直线与曲线有一个公共点，其中两条与渐近线平行，另外一条与曲线相切，定点即为切点；如果定点在一条渐近线上，即满足bx0-ay0=0或bx0+ay0=0（不包括原点），此时过定点能作出两条直线与曲线有一个公共点，其中一条与另一渐近线平行，一条与曲线相切；如果定点在双曲线的中心，即-=0，那么不能作出与曲线有一个公共点的直线.

其实过定点直线与圆锥曲线相切或有一个公共点问题，完全可以通过观察图象、结合韦达定理作出完整的证明，但因证明相对比较简单，这里不再赘述.

二、切线问题

因为圆锥曲线为二次曲线，故过一定点最多可以作出两条直线与之相切（具体如上），那么如何求出这两条切线（存在的话），有没有简单的方法或现存的结论？先说椭圆，因为椭圆（包括圆）为封闭图形，定点在曲线上或曲线外才有切线，同样双曲线和抛物线有类似的情况——定点须在曲线上或开口外才有切线，所以只需讨论两种情况.因为圆锥曲线具有统一型，所以下面以椭圆为例作具体说明，圆、双曲线、抛物线都可以看成椭圆的一种特殊情况. 首先讨论定点在曲线上的情况， 下面作具体探究.

1.定点在曲线上

已知定点P（x0，y0）在曲线C：+=1 上，即满足+=1，求过定点的切线方程.解决此类问题方法较多，最常规的方法是把过定点的直线方程代入曲线方程计算Δ，当Δ=0时求出直线方程中的参数即可，如果直线设成了点斜式，就要另外考虑斜率不存在的情况；另外还有一种较常用的方法是椭圆方程改写为函数即y=±b，然后通过一阶导数求出曲线在定点处的斜率予于解决，假如斜率不存在，切线即为x=x0；这两种方法同样适用于圆、双曲线、抛物线，但都有一定的不足.前一种计算量比较大，后一种对复合函数求导容易出错.对于这类问题笔者以为用“点差法”效果甚好，因为当直线与曲线相切时，其实还是可以理解为直线与曲线有“两个交点”（相同的），故可把定点P（x0，y0）看作A（x1，y1）和B（x2，y2）两个无限靠近的点，显然（x1，y1）和（x2，y2）的中点即为（x0，y0），那么切线方程可轻松求得，即+=1，此方法同样适用于双曲线、抛物线.

2.定点在曲线外

特别地，如果与椭圆相切的两直线相互垂直，即斜率乘积k=-1，那么两直线交点的轨迹就是椭圆外接矩形的外接圆（整个圆），其轨迹方程为y2+x2=b2+a2；如果两切线斜率乘积k=0，其轨迹是两条平行直线，方程为y=±b；如果斜率乘积k<0，且k≠-1，则交点轨迹是椭圆；如果斜率乘积k>0，且b2-ka2≠0时，交点轨迹为双曲线；如果斜率乘积k满足b2-ka2=0，则交点轨迹为两相交直线，方程为y=±x，当然以上轨迹都需满足在椭圆外部.显然，当a，b相等时即为圆中的情况，这里不再赘述.

2.与双曲线相切两直线交点轨迹问题

既然椭圆中有如此漂亮的结论，而双曲线与椭圆又有着如此相似的方程结构，那么在双曲线中是否有类似的性质？结论如下.

已知与双曲线C：-=1相切的两直线相交于点P（x0，y0），且两直线斜率乘积为定值k，则点P的轨迹方程为[y0][2]-k[x0][2]=-ka2-b2，同时需满足点在双曲线开口外.

五、小结与感悟

上文从圆锥曲线切线数的计算，切线方程的求法、切点弦方程的推导以及斜率乘积为定值的两切线交点问题展开了整理与探究.通过整理与探究也发现了一些性质或结论，特别是两切线交点轨迹问题，从上述探究过程不难发现，不仅仅斜率乘积为定值的两切线的交点可以求出轨迹方程（存在的话），其实两切线斜率之和为定值一样可以通过韦达定理求出交点的轨迹方程（存在的话）.当然以上这些只是研究整理了圆锥曲线中关于相切问题的“冰山一角”，还有很多性质或类似于“阿基米德三角形”这样的结论，等待大家进一步整理与研究.endprint

圆锥曲线是优美的，因为它本身就有着近乎完美的图象；圆锥曲线是简洁的，因为它有着如此和谐的方程；圆锥曲线是重要的，因为它几乎占据了高中解析几何的全部.正因为圆锥曲线是如此优美、简洁和重要，因此教师、学者、专家对圆锥曲线的研究已经非常到位，特别是当圆锥曲线与直线相交时，被挖掘的性质、定理可以说是不计其数. 当然，当直线与圆锥曲线相切时的结论也有很多，但对比相交时的情况，直线与圆锥曲线相切时的结论比较零散，不够系统.本文旨在以高中教师教学角度，由浅入深较系统地整理直线与圆锥曲线几类相切问题并加以拓展或一般化，相信这样的梳理可以对教学工作带来一定的帮助.

一、切线数问题

对于图象封闭的椭圆（包括圆）来说，过一定点能作出几条直线与曲线相切，只需通过观察就可以获得结论.当定点在曲线内部时，无法作出切线；当定点在曲线上时，可以作出一条切线；当定点在曲线外时，可以作出两条切线.但如果圆锥曲线是双曲线或抛物线时，情况会有所改变，一般会问过一定点能作出几条直线与曲线有“一个”公共点.显然两种问法在此有着本质的区别，因为双曲线和抛物线都是不封闭图形，有一个公共点也不一定是相切.那么如何确定过一定点有几条直线与曲线有一个公共点？下面以双曲线为例作说明.

对曲线是双曲线C：-=1 来说，如果定点P（x0，y0）在双曲线开口内，即满足->1所在区域，那么只能作出两条直线与双曲线有一个公共点，这两条直线与渐近线平行；如果定点位置在双曲线的开口外但在渐近线的左右开口内，即满足-<1且->0的区域，此时过定点能作出四条直线与双曲线有一个公共点，其中两条与渐近线平行，另外两条与曲线相切且切点在同一支双曲线上；如果定点在渐近线的上下开口内，即满足-<0，那么过定点与曲线一个公共点的直线也有四条，其中两条与渐近线平行，另外两条与曲线相切，切点在两支双曲线上；如果定点在双曲线上即满足-=1，那么过定点能作出三条直线与曲线有一个公共点，其中两条与渐近线平行，另外一条与曲线相切，定点即为切点；如果定点在一条渐近线上，即满足bx0-ay0=0或bx0+ay0=0（不包括原点），此时过定点能作出两条直线与曲线有一个公共点，其中一条与另一渐近线平行，一条与曲线相切；如果定点在双曲线的中心，即-=0，那么不能作出与曲线有一个公共点的直线.

其实过定点直线与圆锥曲线相切或有一个公共点问题，完全可以通过观察图象、结合韦达定理作出完整的证明，但因证明相对比较简单，这里不再赘述.

二、切线问题

因为圆锥曲线为二次曲线，故过一定点最多可以作出两条直线与之相切（具体如上），那么如何求出这两条切线（存在的话），有没有简单的方法或现存的结论？先说椭圆，因为椭圆（包括圆）为封闭图形，定点在曲线上或曲线外才有切线，同样双曲线和抛物线有类似的情况——定点须在曲线上或开口外才有切线，所以只需讨论两种情况.因为圆锥曲线具有统一型，所以下面以椭圆为例作具体说明，圆、双曲线、抛物线都可以看成椭圆的一种特殊情况. 首先讨论定点在曲线上的情况， 下面作具体探究.

1.定点在曲线上

已知定点P（x0，y0）在曲线C：+=1 上，即满足+=1，求过定点的切线方程.解决此类问题方法较多，最常规的方法是把过定点的直线方程代入曲线方程计算Δ，当Δ=0时求出直线方程中的参数即可，如果直线设成了点斜式，就要另外考虑斜率不存在的情况；另外还有一种较常用的方法是椭圆方程改写为函数即y=±b，然后通过一阶导数求出曲线在定点处的斜率予于解决，假如斜率不存在，切线即为x=x0；这两种方法同样适用于圆、双曲线、抛物线，但都有一定的不足.前一种计算量比较大，后一种对复合函数求导容易出错.对于这类问题笔者以为用“点差法”效果甚好，因为当直线与曲线相切时，其实还是可以理解为直线与曲线有“两个交点”（相同的），故可把定点P（x0，y0）看作A（x1，y1）和B（x2，y2）两个无限靠近的点，显然（x1，y1）和（x2，y2）的中点即为（x0，y0），那么切线方程可轻松求得，即+=1，此方法同样适用于双曲线、抛物线.

2.定点在曲线外

特别地，如果与椭圆相切的两直线相互垂直，即斜率乘积k=-1，那么两直线交点的轨迹就是椭圆外接矩形的外接圆（整个圆），其轨迹方程为y2+x2=b2+a2；如果两切线斜率乘积k=0，其轨迹是两条平行直线，方程为y=±b；如果斜率乘积k<0，且k≠-1，则交点轨迹是椭圆；如果斜率乘积k>0，且b2-ka2≠0时，交点轨迹为双曲线；如果斜率乘积k满足b2-ka2=0，则交点轨迹为两相交直线，方程为y=±x，当然以上轨迹都需满足在椭圆外部.显然，当a，b相等时即为圆中的情况，这里不再赘述.

2.与双曲线相切两直线交点轨迹问题

既然椭圆中有如此漂亮的结论，而双曲线与椭圆又有着如此相似的方程结构，那么在双曲线中是否有类似的性质？结论如下.

已知与双曲线C：-=1相切的两直线相交于点P（x0，y0），且两直线斜率乘积为定值k，则点P的轨迹方程为[y0][2]-k[x0][2]=-ka2-b2，同时需满足点在双曲线开口外.

五、小结与感悟

上文从圆锥曲线切线数的计算，切线方程的求法、切点弦方程的推导以及斜率乘积为定值的两切线交点问题展开了整理与探究.通过整理与探究也发现了一些性质或结论，特别是两切线交点轨迹问题，从上述探究过程不难发现，不仅仅斜率乘积为定值的两切线的交点可以求出轨迹方程（存在的话），其实两切线斜率之和为定值一样可以通过韦达定理求出交点的轨迹方程（存在的话）.当然以上这些只是研究整理了圆锥曲线中关于相切问题的“冰山一角”，还有很多性质或类似于“阿基米德三角形”这样的结论，等待大家进一步整理与研究.endprint

圆锥曲线是优美的，因为它本身就有着近乎完美的图象；圆锥曲线是简洁的，因为它有着如此和谐的方程；圆锥曲线是重要的，因为它几乎占据了高中解析几何的全部.正因为圆锥曲线是如此优美、简洁和重要，因此教师、学者、专家对圆锥曲线的研究已经非常到位，特别是当圆锥曲线与直线相交时，被挖掘的性质、定理可以说是不计其数. 当然，当直线与圆锥曲线相切时的结论也有很多，但对比相交时的情况，直线与圆锥曲线相切时的结论比较零散，不够系统.本文旨在以高中教师教学角度，由浅入深较系统地整理直线与圆锥曲线几类相切问题并加以拓展或一般化，相信这样的梳理可以对教学工作带来一定的帮助.

一、切线数问题

对于图象封闭的椭圆（包括圆）来说，过一定点能作出几条直线与曲线相切，只需通过观察就可以获得结论.当定点在曲线内部时，无法作出切线；当定点在曲线上时，可以作出一条切线；当定点在曲线外时，可以作出两条切线.但如果圆锥曲线是双曲线或抛物线时，情况会有所改变，一般会问过一定点能作出几条直线与曲线有“一个”公共点.显然两种问法在此有着本质的区别，因为双曲线和抛物线都是不封闭图形，有一个公共点也不一定是相切.那么如何确定过一定点有几条直线与曲线有一个公共点？下面以双曲线为例作说明.

对曲线是双曲线C：-=1 来说，如果定点P（x0，y0）在双曲线开口内，即满足->1所在区域，那么只能作出两条直线与双曲线有一个公共点，这两条直线与渐近线平行；如果定点位置在双曲线的开口外但在渐近线的左右开口内，即满足-<1且->0的区域，此时过定点能作出四条直线与双曲线有一个公共点，其中两条与渐近线平行，另外两条与曲线相切且切点在同一支双曲线上；如果定点在渐近线的上下开口内，即满足-<0，那么过定点与曲线一个公共点的直线也有四条，其中两条与渐近线平行，另外两条与曲线相切，切点在两支双曲线上；如果定点在双曲线上即满足-=1，那么过定点能作出三条直线与曲线有一个公共点，其中两条与渐近线平行，另外一条与曲线相切，定点即为切点；如果定点在一条渐近线上，即满足bx0-ay0=0或bx0+ay0=0（不包括原点），此时过定点能作出两条直线与曲线有一个公共点，其中一条与另一渐近线平行，一条与曲线相切；如果定点在双曲线的中心，即-=0，那么不能作出与曲线有一个公共点的直线.

其实过定点直线与圆锥曲线相切或有一个公共点问题，完全可以通过观察图象、结合韦达定理作出完整的证明，但因证明相对比较简单，这里不再赘述.

二、切线问题

因为圆锥曲线为二次曲线，故过一定点最多可以作出两条直线与之相切（具体如上），那么如何求出这两条切线（存在的话），有没有简单的方法或现存的结论？先说椭圆，因为椭圆（包括圆）为封闭图形，定点在曲线上或曲线外才有切线，同样双曲线和抛物线有类似的情况——定点须在曲线上或开口外才有切线，所以只需讨论两种情况.因为圆锥曲线具有统一型，所以下面以椭圆为例作具体说明，圆、双曲线、抛物线都可以看成椭圆的一种特殊情况. 首先讨论定点在曲线上的情况， 下面作具体探究.

1.定点在曲线上

已知定点P（x0，y0）在曲线C：+=1 上，即满足+=1，求过定点的切线方程.解决此类问题方法较多，最常规的方法是把过定点的直线方程代入曲线方程计算Δ，当Δ=0时求出直线方程中的参数即可，如果直线设成了点斜式，就要另外考虑斜率不存在的情况；另外还有一种较常用的方法是椭圆方程改写为函数即y=±b，然后通过一阶导数求出曲线在定点处的斜率予于解决，假如斜率不存在，切线即为x=x0；这两种方法同样适用于圆、双曲线、抛物线，但都有一定的不足.前一种计算量比较大，后一种对复合函数求导容易出错.对于这类问题笔者以为用“点差法”效果甚好，因为当直线与曲线相切时，其实还是可以理解为直线与曲线有“两个交点”（相同的），故可把定点P（x0，y0）看作A（x1，y1）和B（x2，y2）两个无限靠近的点，显然（x1，y1）和（x2，y2）的中点即为（x0，y0），那么切线方程可轻松求得，即+=1，此方法同样适用于双曲线、抛物线.

2.定点在曲线外

特别地，如果与椭圆相切的两直线相互垂直，即斜率乘积k=-1，那么两直线交点的轨迹就是椭圆外接矩形的外接圆（整个圆），其轨迹方程为y2+x2=b2+a2；如果两切线斜率乘积k=0，其轨迹是两条平行直线，方程为y=±b；如果斜率乘积k<0，且k≠-1，则交点轨迹是椭圆；如果斜率乘积k>0，且b2-ka2≠0时，交点轨迹为双曲线；如果斜率乘积k满足b2-ka2=0，则交点轨迹为两相交直线，方程为y=±x，当然以上轨迹都需满足在椭圆外部.显然，当a，b相等时即为圆中的情况，这里不再赘述.

2.与双曲线相切两直线交点轨迹问题

既然椭圆中有如此漂亮的结论，而双曲线与椭圆又有着如此相似的方程结构，那么在双曲线中是否有类似的性质？结论如下.

已知与双曲线C：-=1相切的两直线相交于点P（x0，y0），且两直线斜率乘积为定值k，则点P的轨迹方程为[y0][2]-k[x0][2]=-ka2-b2，同时需满足点在双曲线开口外.

五、小结与感悟

上文从圆锥曲线切线数的计算，切线方程的求法、切点弦方程的推导以及斜率乘积为定值的两切线交点问题展开了整理与探究.通过整理与探究也发现了一些性质或结论，特别是两切线交点轨迹问题，从上述探究过程不难发现，不仅仅斜率乘积为定值的两切线的交点可以求出轨迹方程（存在的话），其实两切线斜率之和为定值一样可以通过韦达定理求出交点的轨迹方程（存在的话）.当然以上这些只是研究整理了圆锥曲线中关于相切问题的“冰山一角”，还有很多性质或类似于“阿基米德三角形”这样的结论，等待大家进一步整理与研究.endprint