商业折扣下批量订购优化模型的修订与应用

胡 平

(淮阴工学院 数理学院 江苏 淮安 223003)

0 引言

商家为了促销某种产品，一般采用商业折扣的优惠政策，购价为每次订货量Q的分段函数K(Q)：

(1)

其中，k1>k2>…>kn，0

购货企业为了得到商家的折扣优惠价格，必须加大购货量，从而增加了购货企业的商品储存成本。购货企业每次购货量为多少，才能使购货总成本最低？目前，解决这类问题的方法是比较选择法[1-3]：分别计算购货量为Q∈[ai-1,ai)时单位时间内购货总成本fi，从{fi}中选择最小的fmin，fmin所对应的Q就为最佳的订货量Q*。

这种比较选择方法计算麻烦，所以我们对这种商业折扣下的订购模型进行修订，引用0-1变量，构建了带有约束条件的非线性规划模型，由模型可直接解得最佳订货量Q*，并给出范例，以帮助大家理解与使用这种决策模型。

1 模型的修订

1.1 问题的描述

假设商家能够及时供货，有商业折扣；购货企业在单位时间内某种产品的需求量R为已知常数；该产品单位储存成本以及缺货成本，为已知常数(分别为C1、C2)，或与货价(成本)K(Q)有关；每次订货成本C3为已知常数；我们要建立一个综合的数学模型，以确定购货企业的最佳订货量Q*，或最大缺货量S。

1.2 模型的修订

单位时间内购货总成本f(Q)为：

f(Q)=储存成本+缺货成本+订货成本+购货费

(2)

如果单位时间内每件货物存储费为价格的u%，则单位时间内每件存储费为u%×K(Q)。一般地，可设单位时间内每件存储费为：

C1=(1-α)c1+α×u%×K(Q)

其中，存储费与货价无关时α=0，存储费与货价有关时α=1。

(3)

如果单位时间内每件缺货费为价格的v%，则单位时间内每件缺货费为v%×K(Q)，所以，单位时间内每件缺货费C2=(1-β)c2+β×v%×K(Q)，其中，缺货费与货价无关时β=0，缺货费与货价有关时β=1。

(4)

(5)

若单位时间内货物的需求量为R，则

单位时间内购货费=R×K(Q)

(6)

将式(3)、(4)、(5)和(6)代入式(2)得到：

由于K(Q)为分段函数，对f(Q)求极值较困难，所以我们引入0-1变量：

则式(1)可以表示为：

K(Q)=k1y1+k2y2+…+knyn

(7)

其中，满足以下约束条件：

(8)

M为比an-1充分大的常数。

在式(8)中，假如y2=1，由第1等式可得y1=y3=…=yn=0，由第2不等式Q-a1<(1-y1)M，得Q-a1

综上所述，我们得到了购货企业确定订货量Q的优化模型，见模型1。

模型1:

当S=0，α=0时，模型1属于不准缺货，C1为常量的情形1；

当S=0，α=1时，模型1属于不准缺货，C1与货价有关的情形2；

当S>0，α=0,β=0时，模型1属于允许缺货，C1、C2与货价无关情形3；

当S>0，α=1,β=0时，模型1属于允许缺货，C1与货价有关、C2与货价无关情形4；

当S>0，α=0,β=1时，模型1属于允许缺货，C1与货价无关、C2与货价有关情形5；

当S>0，α=1,β=1时，模型1属于允许缺货，C1、C2与货价都有关情形6。

2 实例

例1：某公司全年需用某种配件1200 件，每次订货成本 400 元，每件年存储成本 6 元，每件配件10元，如果订货批量在 600 件以上(含600件)，则有2%的价格折扣，那么该公司的最佳经济批量是多少？

依题意知此问题属于情形1。

依模型1，得到具体的规划模型2：

利用LINGO软件编程解得：按价格K=9.8元批量进货600 件，全年进货总成本为14360 元。此结果与文献[1]的结论一致。

例2：某公司全年需用一批外购件 8000 件，每次订货成本100元，每件年存储成本率25% ，订购时如果一次购进量不小于850 件时，单价8元；如果一次购进量小于850 件时，单价10元，那么该公司的最佳订购批量是多少？

依题意知此问题属于情形2。

构建规划模型3：

利用LINGO软件编程解得：按价格K=8元批量进货894.4272件，全年进货总费用为65788.85 元。此结果与文献[1]的结论一致。

例3：某公司全年需用一批外购件300件用于维修设备，每次订货成本200元，每件年存储成本率20% ，如果一次购进量小于50件时，单价为500元；如果一次购进量小于100件时，打九六折，单价为480元；如果一次购进量达到或超过100件时，打九五折，单价为475元。每件年缺货成本率为60% ，那么该公司的最佳订购批量和最大缺货量是多少？

依题意知此问题属于情形6。

构建规划模型4：

利用LINGO软件编程解得：按价格K =475元批量进货100件，最大缺货量25件，全年进货总费用为146662.5 元。

如果不允许缺货，例3就为文献[2]中的例题，在模型4中，增加条件，利用LINGO软件编程解得：按价格K =480元批量进货50件，全年进货总费用为147600 元。此结果与文献[2]的结论一致。

3 结论

针对商业折扣条件下的存储问题，我们引入0-1变量，建立了的批量订购优化模型，该模型适用于多种情形下，具有一定的通用性。由实例说明了我们建立的非线性规划模型，不但便于理解与构建，而且求解方便。如将此购货模型融入到运筹学教材中，将起到承上的作用，使学生更易理解与掌握。此规划模型可为企业经营管理者提供购货决策借鉴。

参考文献：

[1] 谭丽娜.不同折扣条件下存货经济批量研究[J].商业时代，2012(32): 20-21.

[2] 韩伯棠.管理运筹学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 田世海.管理运筹学[M].北京：科学出版社，2011.