“盘点”数理巧结合

郭嘉民+魏茜

数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学的研究方法之一.在物理解题中，可以运用数学方法，将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，完成物理问题的求解.

一、圆与切线模型

对于物体受三个共点力作用，其中两个力是变化的这类问题，小船渡河问题等，可建立圆与切线模型，对原物理问题进行分析求解.

例1用绝缘细线悬挂一质量为ｍ，带电量为+q的小球，竖直平面内有场强为E、方向不定的匀强电场，且qE

分析与求解由于小球处于静止状态，因此，所受重力mg、电场力qE、细线拉力T三力矢量首尾相接构成封闭三角形.三力中，重力mg大小、方向均不变，电场力大小不变，但方向不定，对应不同方向的电场力，细线拉力的大小、方向均不同.如图1所示，以表示重力的矢量末端为圆心、表示电场力的矢量qE为半径做圆，则当表示细线拉力的矢量T与圆相切时，细线与竖直方向的夹角最大，由图可知，这个最大夹角为：θ=arcsinqEmg，这也是电场方向与水平方向的夹角，即，电场沿与水平方向成θ=arcsinqEmg角斜向上时，细线与竖直方向有最大夹角arcsinqEmg.

二、函数模型

函数模型就是建立起所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断.这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便.

例2一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车.求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？

分析与求解设汽车起动后经时间t还未追上自行车，则汽车的位移为：s1=12at2，自行车的位移为：s2=vt，二者间距为Δs=s2-s1=vt-12at2.

带入已知数据，建立Δs与ｔ的函数关系式：

Δs=-33(t-2)2+6.

由此式可知：当ｔ＝2 s时，Δs最大为6 m.即汽车从路口开动后，在追上自行车之前2 s两车相距最远，最远距离是6 m.

三、三角模型

有关涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可运用矢量合成与分解的平行四边形定则建立由表示已知量与未知量的矢量构成的矢量三角形，运用三角形的知识进行求解与分析.

例3如图2(a)所示，用细绳AB悬吊一质量为ｍ的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？

分析与求解以Ｏ点为研究对象，则它在AO绳的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三个力的作用下处于静止状态，因此，这三个力平衡.这样，表示这三个力的矢量，首尾相接应该组成一个封闭三角形.由于绳BO对O点的拉力FBO=mg恒定不变，绳AO 对O点的拉力方向不变.所以，当F方向变化时，由图2（b)可以看出，当F方向与AO垂直时，F最小，F=mgsinθ.

四、图象模型

图象模型就是，在平面直角坐标系中，建立起有某种关系的物理量间的关系图象，利用图象与坐标轴围成的面积，图象与坐标轴的交点，图象间的交点的物理意义进行分析和求解.这类问题求解时，准确画出图象是关键.

例4如图3（a)所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，两球由静止从顶端滑下，若球在右图斜面上的转折处无能量损失，则两球谁先滑至底端？

分析与求解由于两斜面光滑，高度相等.因此，两球滑至底端时的速度大小相等.ｂ球在C点之前的加速度大于ａ球的加速度，在C点之后的加速度小于a球加速度.又因为两斜面长度相等，即两球下滑的路程相等，故两图象下的面积相等.这样，做出速度图象如图3(b)所示，由图可看出：tb

五、不等式模型

所谓不等式模型，就是根据题意或解题要求，就所求量和题中已知量建立起不等关系式，通过不等式的求解和分析，完成物理问题的求解.

例5如图4（a）所示，用一水平力F使质量为ｍ的物体静止于倾角为θ的斜面上，已知斜面对物体的最大静摩擦力为它们接触面间压力的μ倍，求水平力F的大小？

分析与求解物体恰要上滑时，受力如图4（ｂ）所示，物体恰要下滑时受力如图（ｃ）所示.不管是上滑还是下滑，物体和斜面间的压力都为：

N＝mgcosθ+Fsinθ.

欲使物体不上滑，应有：

Fcosθ≤mgsinθ+μN.

欲使物体不下滑，应有：

Fcosθ+μN≥mgsinθ.

解以上几式得F的取值范围为：

sinθ+μcosθcosθ-μcosθmg≥F≥sinθ-μcosθcosθ+μsinθmg.

六、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使题中涉及的已知量和未知量构成一个一元二次方程，利用解根的判别式或韦达定理进行求解或分析.

例6甲、乙两汽车相距s，甲在前，乙在后，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度v0匀速运动，乙由静止开始以加速度a匀加速运动.问什么情况下甲能追上乙？什么情况下甲追不上乙？

分析与求解设从运动开始到甲追上乙的时间为t，则这段时间里甲、乙辆车的位移分别为：s甲=v0t，s乙=12at2，这一过程中，两车的位移应有：s乙+s=s甲，由这三式得：

at2-2v0t+2s=0

这是关于t的一元二次方程，解此方程得：t=2v0±4v20-8as2a，由此可知：

(1)当4v20-8ax＜０即v0<2as时方程无解，甲追不上乙.

(2)当4v20-8as=0即v0=2as时方程有一解，运动开始后t=v0a时刻，甲追上乙，此时两车速度相等.

(3)当4v20-8as>0即v0>2as时方程有两解t1=2v0+4v20-8as2a，t2=2v0-4v20-8as2a，运动开始后t1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，t2时刻乙又赶上并超过甲.

故，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.

例7竖直上抛的物体，分别在t1秒末和t2秒末两次通过空中某一点，求该点离地面的高度和抛出时的速度.（不计空气阻力）

分析与求解设物体先后两次通过的这一点离地面的高度为H，物体被抛出时的速度为v0.由竖直上抛运动的位移公式可知，从物体被抛出到经过这一位置应有：H=v0t-12gt2，此时可变形为关于t的一元二次方程：t2-2v0gt+2Hg=0，物体通过高度为H的点的时刻t1、t2就是该方程的两个解.由韦达定理知：t1+t2=2v0g，t1t2=2Hg，由此两式可得：v0=12g(t1+t2)，H=12gt1t2.(收稿日期：2013-12-30)

数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学的研究方法之一.在物理解题中，可以运用数学方法，将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，完成物理问题的求解.

一、圆与切线模型

对于物体受三个共点力作用，其中两个力是变化的这类问题，小船渡河问题等，可建立圆与切线模型，对原物理问题进行分析求解.

例1用绝缘细线悬挂一质量为ｍ，带电量为+q的小球，竖直平面内有场强为E、方向不定的匀强电场，且qE

分析与求解由于小球处于静止状态，因此，所受重力mg、电场力qE、细线拉力T三力矢量首尾相接构成封闭三角形.三力中，重力mg大小、方向均不变，电场力大小不变，但方向不定，对应不同方向的电场力，细线拉力的大小、方向均不同.如图1所示，以表示重力的矢量末端为圆心、表示电场力的矢量qE为半径做圆，则当表示细线拉力的矢量T与圆相切时，细线与竖直方向的夹角最大，由图可知，这个最大夹角为：θ=arcsinqEmg，这也是电场方向与水平方向的夹角，即，电场沿与水平方向成θ=arcsinqEmg角斜向上时，细线与竖直方向有最大夹角arcsinqEmg.

二、函数模型

函数模型就是建立起所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断.这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便.

例2一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车.求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？

分析与求解设汽车起动后经时间t还未追上自行车，则汽车的位移为：s1=12at2，自行车的位移为：s2=vt，二者间距为Δs=s2-s1=vt-12at2.

带入已知数据，建立Δs与ｔ的函数关系式：

Δs=-33(t-2)2+6.

由此式可知：当ｔ＝2 s时，Δs最大为6 m.即汽车从路口开动后，在追上自行车之前2 s两车相距最远，最远距离是6 m.

三、三角模型

有关涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可运用矢量合成与分解的平行四边形定则建立由表示已知量与未知量的矢量构成的矢量三角形，运用三角形的知识进行求解与分析.

例3如图2(a)所示，用细绳AB悬吊一质量为ｍ的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？

分析与求解以Ｏ点为研究对象，则它在AO绳的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三个力的作用下处于静止状态，因此，这三个力平衡.这样，表示这三个力的矢量，首尾相接应该组成一个封闭三角形.由于绳BO对O点的拉力FBO=mg恒定不变，绳AO 对O点的拉力方向不变.所以，当F方向变化时，由图2（b)可以看出，当F方向与AO垂直时，F最小，F=mgsinθ.

四、图象模型

图象模型就是，在平面直角坐标系中，建立起有某种关系的物理量间的关系图象，利用图象与坐标轴围成的面积，图象与坐标轴的交点，图象间的交点的物理意义进行分析和求解.这类问题求解时，准确画出图象是关键.

例4如图3（a)所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，两球由静止从顶端滑下，若球在右图斜面上的转折处无能量损失，则两球谁先滑至底端？

分析与求解由于两斜面光滑，高度相等.因此，两球滑至底端时的速度大小相等.ｂ球在C点之前的加速度大于ａ球的加速度，在C点之后的加速度小于a球加速度.又因为两斜面长度相等，即两球下滑的路程相等，故两图象下的面积相等.这样，做出速度图象如图3(b)所示，由图可看出：tb

五、不等式模型

所谓不等式模型，就是根据题意或解题要求，就所求量和题中已知量建立起不等关系式，通过不等式的求解和分析，完成物理问题的求解.

例5如图4（a）所示，用一水平力F使质量为ｍ的物体静止于倾角为θ的斜面上，已知斜面对物体的最大静摩擦力为它们接触面间压力的μ倍，求水平力F的大小？

分析与求解物体恰要上滑时，受力如图4（ｂ）所示，物体恰要下滑时受力如图（ｃ）所示.不管是上滑还是下滑，物体和斜面间的压力都为：

N＝mgcosθ+Fsinθ.

欲使物体不上滑，应有：

Fcosθ≤mgsinθ+μN.

欲使物体不下滑，应有：

Fcosθ+μN≥mgsinθ.

解以上几式得F的取值范围为：

sinθ+μcosθcosθ-μcosθmg≥F≥sinθ-μcosθcosθ+μsinθmg.

六、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使题中涉及的已知量和未知量构成一个一元二次方程，利用解根的判别式或韦达定理进行求解或分析.

例6甲、乙两汽车相距s，甲在前，乙在后，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度v0匀速运动，乙由静止开始以加速度a匀加速运动.问什么情况下甲能追上乙？什么情况下甲追不上乙？

分析与求解设从运动开始到甲追上乙的时间为t，则这段时间里甲、乙辆车的位移分别为：s甲=v0t，s乙=12at2，这一过程中，两车的位移应有：s乙+s=s甲，由这三式得：

at2-2v0t+2s=0

这是关于t的一元二次方程，解此方程得：t=2v0±4v20-8as2a，由此可知：

(1)当4v20-8ax＜０即v0<2as时方程无解，甲追不上乙.

(2)当4v20-8as=0即v0=2as时方程有一解，运动开始后t=v0a时刻，甲追上乙，此时两车速度相等.

(3)当4v20-8as>0即v0>2as时方程有两解t1=2v0+4v20-8as2a，t2=2v0-4v20-8as2a，运动开始后t1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，t2时刻乙又赶上并超过甲.

故，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.

例7竖直上抛的物体，分别在t1秒末和t2秒末两次通过空中某一点，求该点离地面的高度和抛出时的速度.（不计空气阻力）

分析与求解设物体先后两次通过的这一点离地面的高度为H，物体被抛出时的速度为v0.由竖直上抛运动的位移公式可知，从物体被抛出到经过这一位置应有：H=v0t-12gt2，此时可变形为关于t的一元二次方程：t2-2v0gt+2Hg=0，物体通过高度为H的点的时刻t1、t2就是该方程的两个解.由韦达定理知：t1+t2=2v0g，t1t2=2Hg，由此两式可得：v0=12g(t1+t2)，H=12gt1t2.(收稿日期：2013-12-30)

数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学的研究方法之一.在物理解题中，可以运用数学方法，将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，完成物理问题的求解.

一、圆与切线模型

对于物体受三个共点力作用，其中两个力是变化的这类问题，小船渡河问题等，可建立圆与切线模型，对原物理问题进行分析求解.

例1用绝缘细线悬挂一质量为ｍ，带电量为+q的小球，竖直平面内有场强为E、方向不定的匀强电场，且qE

分析与求解由于小球处于静止状态，因此，所受重力mg、电场力qE、细线拉力T三力矢量首尾相接构成封闭三角形.三力中，重力mg大小、方向均不变，电场力大小不变，但方向不定，对应不同方向的电场力，细线拉力的大小、方向均不同.如图1所示，以表示重力的矢量末端为圆心、表示电场力的矢量qE为半径做圆，则当表示细线拉力的矢量T与圆相切时，细线与竖直方向的夹角最大，由图可知，这个最大夹角为：θ=arcsinqEmg，这也是电场方向与水平方向的夹角，即，电场沿与水平方向成θ=arcsinqEmg角斜向上时，细线与竖直方向有最大夹角arcsinqEmg.

二、函数模型

函数模型就是建立起所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断.这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便.

例2一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车.求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？

分析与求解设汽车起动后经时间t还未追上自行车，则汽车的位移为：s1=12at2，自行车的位移为：s2=vt，二者间距为Δs=s2-s1=vt-12at2.

带入已知数据，建立Δs与ｔ的函数关系式：

Δs=-33(t-2)2+6.

由此式可知：当ｔ＝2 s时，Δs最大为6 m.即汽车从路口开动后，在追上自行车之前2 s两车相距最远，最远距离是6 m.

三、三角模型

有关涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可运用矢量合成与分解的平行四边形定则建立由表示已知量与未知量的矢量构成的矢量三角形，运用三角形的知识进行求解与分析.

例3如图2(a)所示，用细绳AB悬吊一质量为ｍ的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？

分析与求解以Ｏ点为研究对象，则它在AO绳的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三个力的作用下处于静止状态，因此，这三个力平衡.这样，表示这三个力的矢量，首尾相接应该组成一个封闭三角形.由于绳BO对O点的拉力FBO=mg恒定不变，绳AO 对O点的拉力方向不变.所以，当F方向变化时，由图2（b)可以看出，当F方向与AO垂直时，F最小，F=mgsinθ.

四、图象模型

图象模型就是，在平面直角坐标系中，建立起有某种关系的物理量间的关系图象，利用图象与坐标轴围成的面积，图象与坐标轴的交点，图象间的交点的物理意义进行分析和求解.这类问题求解时，准确画出图象是关键.

例4如图3（a)所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，两球由静止从顶端滑下，若球在右图斜面上的转折处无能量损失，则两球谁先滑至底端？

分析与求解由于两斜面光滑，高度相等.因此，两球滑至底端时的速度大小相等.ｂ球在C点之前的加速度大于ａ球的加速度，在C点之后的加速度小于a球加速度.又因为两斜面长度相等，即两球下滑的路程相等，故两图象下的面积相等.这样，做出速度图象如图3(b)所示，由图可看出：tb

五、不等式模型

所谓不等式模型，就是根据题意或解题要求，就所求量和题中已知量建立起不等关系式，通过不等式的求解和分析，完成物理问题的求解.

例5如图4（a）所示，用一水平力F使质量为ｍ的物体静止于倾角为θ的斜面上，已知斜面对物体的最大静摩擦力为它们接触面间压力的μ倍，求水平力F的大小？

分析与求解物体恰要上滑时，受力如图4（ｂ）所示，物体恰要下滑时受力如图（ｃ）所示.不管是上滑还是下滑，物体和斜面间的压力都为：

N＝mgcosθ+Fsinθ.

欲使物体不上滑，应有：

Fcosθ≤mgsinθ+μN.

欲使物体不下滑，应有：

Fcosθ+μN≥mgsinθ.

解以上几式得F的取值范围为：

sinθ+μcosθcosθ-μcosθmg≥F≥sinθ-μcosθcosθ+μsinθmg.

六、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使题中涉及的已知量和未知量构成一个一元二次方程，利用解根的判别式或韦达定理进行求解或分析.

例6甲、乙两汽车相距s，甲在前，乙在后，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度v0匀速运动，乙由静止开始以加速度a匀加速运动.问什么情况下甲能追上乙？什么情况下甲追不上乙？

分析与求解设从运动开始到甲追上乙的时间为t，则这段时间里甲、乙辆车的位移分别为：s甲=v0t，s乙=12at2，这一过程中，两车的位移应有：s乙+s=s甲，由这三式得：

at2-2v0t+2s=0

这是关于t的一元二次方程，解此方程得：t=2v0±4v20-8as2a，由此可知：

(1)当4v20-8ax＜０即v0<2as时方程无解，甲追不上乙.

(2)当4v20-8as=0即v0=2as时方程有一解，运动开始后t=v0a时刻，甲追上乙，此时两车速度相等.

(3)当4v20-8as>0即v0>2as时方程有两解t1=2v0+4v20-8as2a，t2=2v0-4v20-8as2a，运动开始后t1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，t2时刻乙又赶上并超过甲.

故，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.

例7竖直上抛的物体，分别在t1秒末和t2秒末两次通过空中某一点，求该点离地面的高度和抛出时的速度.（不计空气阻力）

分析与求解设物体先后两次通过的这一点离地面的高度为H，物体被抛出时的速度为v0.由竖直上抛运动的位移公式可知，从物体被抛出到经过这一位置应有：H=v0t-12gt2，此时可变形为关于t的一元二次方程：t2-2v0gt+2Hg=0，物体通过高度为H的点的时刻t1、t2就是该方程的两个解.由韦达定理知：t1+t2=2v0g，t1t2=2Hg，由此两式可得：v0=12g(t1+t2)，H=12gt1t2.(收稿日期：2013-12-30)