例说v-t图象在解物理题中的妙用

徐克田++王玉洁

在求解运动学中的某些问题时，我们时常用速度图象来处理，这样能使问题的处理变得简单、直观；而在解某些动力学问题时，我们也可以利用速度图象来处理，以下列两题为例来说明.

一、在动力学问题中的应用

图1例1如图1所示，质量相同的木块A、B，用轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，开始时弹簧处于自然状态.今用水平恒力F推木块A，则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中，下列说法正确的为（ ）.

A．A、B速度相同时，加速度aA=aB

B．A 、B速度相同时，加速度aA>aB

C．A、B加速度相同时，速度vA>vB

D．A、B加速度相同时，速度vA

解析假设物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧的压缩量为x，则在压缩过程中，由牛顿第二定律得：A物体的加速度aA=F-kxm，B物体的加速度aB=kxm，由此可得：随着弹簧压缩量的增加，A物体的加速度变小，B物体的加速度变大，且它们均做变加速直线运动，这样，我们就难以用匀变速直线运动的公式进行定量计图2算，但我们可根据A、B运动的规律做出它们的速度图象，如图2所示，这样，我们就可以进行定量的分析了，在t1时刻，两图线的斜率相同，即两物体的加速度相同，但速度却不同，即vA>vB，故选项C对选项D错；在t2时刻，两物体的速度相同，但两图线的斜率不相同，即aA

例2如图3所示，质量为2 m的长木板图3静止放在光滑的水平面上，一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速v0由木板左端恰好滑至木板的右端与木板相对静止，小铅块在运动中所受到摩擦力始终不变，现将木板分成长度和质量均相等的两段后紧挨着仍放在该水平面上，让小铅块仍以相同的初速度v0由左端开始滑动，则小铅块将（）.

A．滑到右端与木板保持相对静止

B．在滑到右端前就与木板保持相对静止

C．滑过右端后飞离木板

D．上述答案均有可能

解析本题如果用运动学和牛顿第二定律的知识去求解，运算过程十分繁琐，在此不再赘述；但如果利图4用速度图象的方法来处理，则变得非常简单.即我们可分别做出小铅块和木板的速度图象，如图4所示，利用木板在分开前后加速度的不同和图象的物理意义进行分析.

木板在分开前：小铅块和木板的速度图象分别对应图线的AB、OB；三角形ABO的面积为两者的相对距离，即木板的长度L；

木板在分开后：木板的速度在开始时为OC，当小铅块进入另一半木板时，木板的加速度变大，其图线为CD，小铅块的加速度不变，其图线变为AD，则它们的相对距离，即四边行AOCD的面积小于三角形ABO的面积，由此可得：把木板分成两段后，小铅块和木板的相对距离变小，即铅块未滑到右端就相对木板静止，正确答案为B.

二、在运动学中的应用

例3某物体做变速直线运动，其加速度方向不变，大小逐渐减小到零，该物体的运动情况不可能是（）.

A．速度不断增大，最后达到最大，并以此速度做匀速直线运动

B．速度不断减小，最后达到最小，并以此速度做匀速直线运动

C．速度不断减小，又不断增大，最后做匀速直线运动

D．速度不断增大，又不断减小，最后做匀速直线运动

解析我们对物体的运动情况做出v-t图象，如图5所示，根据题意和图象的物理意义，由图a知A项是可能的；由图b知，B项是可能的；由图c知，C项是可能的；故D项是不可能的.

图5例4一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ.初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，求此黑色痕迹的长度．

本题若用常规解法，比较复杂，即：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0，对煤块：由牛顿第二定律，可得a=μg, 设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，则：

v0=a0t①

煤块达到的速度v0的时间为t1，v0=(μg)t1②由于传送带的加速度大于煤的加速度，故传送带最先达到v0，然后便匀速运动，传送带匀速运动的时间为t′=t1-t③

则：x=［v202a0+v0t′］-v202μg④

由①②③④解得：x=v20(a-μg)2a0μg，即此黑色痕迹的长度为v20(a-μg)2a0μg ；

图6若用v-t图象法，就简单了，即：由题意得：传送带加速时间t1=v0a0，煤块加速时间t2=v02μg，由题意做出v-t图象，如图6所示，黑色痕迹的长度即为阴影的面积，x=12v0（t2-t1）=v20(a-μg)2a0μg .

由此可知：我们在解物理问题的过程中，灵活选择不同的解题方法，能使问题的解决变得简单、直观，从而达到事半功倍的解题效果.

(收稿日期：2013-12-20)

在求解运动学中的某些问题时，我们时常用速度图象来处理，这样能使问题的处理变得简单、直观；而在解某些动力学问题时，我们也可以利用速度图象来处理，以下列两题为例来说明.

一、在动力学问题中的应用

图1例1如图1所示，质量相同的木块A、B，用轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，开始时弹簧处于自然状态.今用水平恒力F推木块A，则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中，下列说法正确的为（ ）.

A．A、B速度相同时，加速度aA=aB

B．A 、B速度相同时，加速度aA>aB

C．A、B加速度相同时，速度vA>vB

D．A、B加速度相同时，速度vA

解析假设物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧的压缩量为x，则在压缩过程中，由牛顿第二定律得：A物体的加速度aA=F-kxm，B物体的加速度aB=kxm，由此可得：随着弹簧压缩量的增加，A物体的加速度变小，B物体的加速度变大，且它们均做变加速直线运动，这样，我们就难以用匀变速直线运动的公式进行定量计图2算，但我们可根据A、B运动的规律做出它们的速度图象，如图2所示，这样，我们就可以进行定量的分析了，在t1时刻，两图线的斜率相同，即两物体的加速度相同，但速度却不同，即vA>vB，故选项C对选项D错；在t2时刻，两物体的速度相同，但两图线的斜率不相同，即aA

例2如图3所示，质量为2 m的长木板图3静止放在光滑的水平面上，一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速v0由木板左端恰好滑至木板的右端与木板相对静止，小铅块在运动中所受到摩擦力始终不变，现将木板分成长度和质量均相等的两段后紧挨着仍放在该水平面上，让小铅块仍以相同的初速度v0由左端开始滑动，则小铅块将（）.

A．滑到右端与木板保持相对静止

B．在滑到右端前就与木板保持相对静止

C．滑过右端后飞离木板

D．上述答案均有可能

解析本题如果用运动学和牛顿第二定律的知识去求解，运算过程十分繁琐，在此不再赘述；但如果利图4用速度图象的方法来处理，则变得非常简单.即我们可分别做出小铅块和木板的速度图象，如图4所示，利用木板在分开前后加速度的不同和图象的物理意义进行分析.

木板在分开前：小铅块和木板的速度图象分别对应图线的AB、OB；三角形ABO的面积为两者的相对距离，即木板的长度L；

木板在分开后：木板的速度在开始时为OC，当小铅块进入另一半木板时，木板的加速度变大，其图线为CD，小铅块的加速度不变，其图线变为AD，则它们的相对距离，即四边行AOCD的面积小于三角形ABO的面积，由此可得：把木板分成两段后，小铅块和木板的相对距离变小，即铅块未滑到右端就相对木板静止，正确答案为B.

二、在运动学中的应用

例3某物体做变速直线运动，其加速度方向不变，大小逐渐减小到零，该物体的运动情况不可能是（）.

A．速度不断增大，最后达到最大，并以此速度做匀速直线运动

B．速度不断减小，最后达到最小，并以此速度做匀速直线运动

C．速度不断减小，又不断增大，最后做匀速直线运动

D．速度不断增大，又不断减小，最后做匀速直线运动

解析我们对物体的运动情况做出v-t图象，如图5所示，根据题意和图象的物理意义，由图a知A项是可能的；由图b知，B项是可能的；由图c知，C项是可能的；故D项是不可能的.

图5例4一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ.初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，求此黑色痕迹的长度．

本题若用常规解法，比较复杂，即：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0，对煤块：由牛顿第二定律，可得a=μg, 设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，则：

v0=a0t①

煤块达到的速度v0的时间为t1，v0=(μg)t1②由于传送带的加速度大于煤的加速度，故传送带最先达到v0，然后便匀速运动，传送带匀速运动的时间为t′=t1-t③

则：x=［v202a0+v0t′］-v202μg④

由①②③④解得：x=v20(a-μg)2a0μg，即此黑色痕迹的长度为v20(a-μg)2a0μg ；

图6若用v-t图象法，就简单了，即：由题意得：传送带加速时间t1=v0a0，煤块加速时间t2=v02μg，由题意做出v-t图象，如图6所示，黑色痕迹的长度即为阴影的面积，x=12v0（t2-t1）=v20(a-μg)2a0μg .

由此可知：我们在解物理问题的过程中，灵活选择不同的解题方法，能使问题的解决变得简单、直观，从而达到事半功倍的解题效果.

(收稿日期：2013-12-20)

在求解运动学中的某些问题时，我们时常用速度图象来处理，这样能使问题的处理变得简单、直观；而在解某些动力学问题时，我们也可以利用速度图象来处理，以下列两题为例来说明.

一、在动力学问题中的应用

图1例1如图1所示，质量相同的木块A、B，用轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，开始时弹簧处于自然状态.今用水平恒力F推木块A，则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中，下列说法正确的为（ ）.

A．A、B速度相同时，加速度aA=aB

B．A 、B速度相同时，加速度aA>aB

C．A、B加速度相同时，速度vA>vB

D．A、B加速度相同时，速度vA

解析假设物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧的压缩量为x，则在压缩过程中，由牛顿第二定律得：A物体的加速度aA=F-kxm，B物体的加速度aB=kxm，由此可得：随着弹簧压缩量的增加，A物体的加速度变小，B物体的加速度变大，且它们均做变加速直线运动，这样，我们就难以用匀变速直线运动的公式进行定量计图2算，但我们可根据A、B运动的规律做出它们的速度图象，如图2所示，这样，我们就可以进行定量的分析了，在t1时刻，两图线的斜率相同，即两物体的加速度相同，但速度却不同，即vA>vB，故选项C对选项D错；在t2时刻，两物体的速度相同，但两图线的斜率不相同，即aA

例2如图3所示，质量为2 m的长木板图3静止放在光滑的水平面上，一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速v0由木板左端恰好滑至木板的右端与木板相对静止，小铅块在运动中所受到摩擦力始终不变，现将木板分成长度和质量均相等的两段后紧挨着仍放在该水平面上，让小铅块仍以相同的初速度v0由左端开始滑动，则小铅块将（）.

A．滑到右端与木板保持相对静止

B．在滑到右端前就与木板保持相对静止

C．滑过右端后飞离木板

D．上述答案均有可能

解析本题如果用运动学和牛顿第二定律的知识去求解，运算过程十分繁琐，在此不再赘述；但如果利图4用速度图象的方法来处理，则变得非常简单.即我们可分别做出小铅块和木板的速度图象，如图4所示，利用木板在分开前后加速度的不同和图象的物理意义进行分析.

木板在分开前：小铅块和木板的速度图象分别对应图线的AB、OB；三角形ABO的面积为两者的相对距离，即木板的长度L；

木板在分开后：木板的速度在开始时为OC，当小铅块进入另一半木板时，木板的加速度变大，其图线为CD，小铅块的加速度不变，其图线变为AD，则它们的相对距离，即四边行AOCD的面积小于三角形ABO的面积，由此可得：把木板分成两段后，小铅块和木板的相对距离变小，即铅块未滑到右端就相对木板静止，正确答案为B.

二、在运动学中的应用

例3某物体做变速直线运动，其加速度方向不变，大小逐渐减小到零，该物体的运动情况不可能是（）.

A．速度不断增大，最后达到最大，并以此速度做匀速直线运动

B．速度不断减小，最后达到最小，并以此速度做匀速直线运动

C．速度不断减小，又不断增大，最后做匀速直线运动

D．速度不断增大，又不断减小，最后做匀速直线运动

解析我们对物体的运动情况做出v-t图象，如图5所示，根据题意和图象的物理意义，由图a知A项是可能的；由图b知，B项是可能的；由图c知，C项是可能的；故D项是不可能的.

图5例4一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ.初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，求此黑色痕迹的长度．

本题若用常规解法，比较复杂，即：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0，对煤块：由牛顿第二定律，可得a=μg, 设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，则：

v0=a0t①

煤块达到的速度v0的时间为t1，v0=(μg)t1②由于传送带的加速度大于煤的加速度，故传送带最先达到v0，然后便匀速运动，传送带匀速运动的时间为t′=t1-t③

则：x=［v202a0+v0t′］-v202μg④

由①②③④解得：x=v20(a-μg)2a0μg，即此黑色痕迹的长度为v20(a-μg)2a0μg ；

图6若用v-t图象法，就简单了，即：由题意得：传送带加速时间t1=v0a0，煤块加速时间t2=v02μg，由题意做出v-t图象，如图6所示，黑色痕迹的长度即为阴影的面积，x=12v0（t2-t1）=v20(a-μg)2a0μg .

由此可知：我们在解物理问题的过程中，灵活选择不同的解题方法，能使问题的解决变得简单、直观，从而达到事半功倍的解题效果.

(收稿日期：2013-12-20)