把握四个点 解好函数图像题

王丽

函数图像题在历年各地高考试题中出现机率很高.那么怎样才能解好图像题呢？我认为首先要读懂题目中有限的文字信息，弄清考查的是哪方面的数学知识，对题目的数量作了哪些说明等等；其次要看清横纵坐标轴所表示的具体意义；再有就是对整个函数图像进行多角度认真地分析，这是解好图像题的关键环节.解好函数图像题关键在于把握住它的四个点——起点、折点、交点、终点.下面以近几年各地高考题为例，对这四个点分别加以说明.

一、起点

起点是一个函数图像中必备的一个点，它的位置可在原点、x轴或y轴上.在判断一个图像是否正确的时候，起点往往是第一个要考虑的因素.

例1（2011年高考江西文10）如图1，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.

图1今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）

解析根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当顶点到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A.

二、折点

顾名思义，折点是指图像在变化过程中方向发生了大的转变的那个点.它的出现往往是两个变量中某一变量单方面停止造成的.图2

例2（2012年高考江西卷文10）如图2，|OA|=2（单位：m）,|OB|=1(单位：m),OA与OB的夹角为π6，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1（单位:m/s）沿线段OB行至点B，再以速率3（单位：m/s）沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是（）.

解析本题破解的切入点关键是抓住几个重要的时间点，确定不同时间段S（t）的形状，从而求出解析式，然后根据解析式来确定函数图象.

由|OA|=2,|OB|=1知，当t≤1时，所围成的图形是三角形，易得S（t）=12t2，对应的函数图象是开口向上的抛物线的一部分；存在t0(t0>1),当t=t0时，甲刚好运动到C，则1

例3(2011年高考安徽理10) 函数f(x)=axm(1-x)n在区间［0,1］上的图像如图3所示，则m，n的值可能是().

图3A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

解析代入验证，当m=1,n=2，f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)，则f ′(x)=a(3x2-4x+1)，由f ′(x)=a(3x2-4x+1)=0可知，x1=13,x2=1，结合图像可知函数应在(0,13)递增，在(13,1)递减，即在x=13处取得最大值，由f(13)=a×13(1-13)2=12，知a存在.故选B.

评注本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.

三、交点

图像题中有意义的交点一般有以下几种情况：（1）两条曲线的交点，表示该条件下这两种数量相同；（2）如果一个图像经过一系列的变化最后与x轴相交，则表示该点纵坐标取值为零.

图4例4（2012年高考天津文14）已知函数y=|x2-1|x-1的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是.

解析函数

y=|x2-1|x-1

=|(x-1)(x+1)|x-1，当x>1时，y=|x2-1|x-1=|x+1|=x+1，当x<1时，y=|x2-1|x-1=-|x+1|=-x-1,-1≤x<1

x+1,x<-1，综上函数y=|x2-1|x-1=x+1,x>1

-x-1,-1≤x<1,

x+1,x<-1做出函数的图象，要使函数y=|x2-1|x-1与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必须在阴影区域内，如图4，则此时当直线经过区域①时，k满足1

图5例5（2012年高考新课标文11）当0

A.(0，22) B.(22，1)

C.(1，2) D.(2，2)

解析当a>1时，显然不成立.若0

四、终点

终点也是一个函数图像中必备的一个点.不过利用终点直接解题的情况几乎没有，更多情况下是利用其与起点或折点所形成的图像的趋势来解题.

例6（2012年高考山东卷理9）函数y=cos6x2x-2-x的图像大致为().

解析因为函数f(x)=cos6x2x-2-x，所以f(-x)=cos6x2-x-2x=-f(x)，故函数为奇函数，当x→0，且x>0时f(x)→+∞；当x→0，且x<0时f(x)→-∞；当x→+∞时，2x-2-x→+∞，f(x)→0；当x→-∞时，2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案应选D.

评注本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.(收稿日期：2013-12-04)

函数图像题在历年各地高考试题中出现机率很高.那么怎样才能解好图像题呢？我认为首先要读懂题目中有限的文字信息，弄清考查的是哪方面的数学知识，对题目的数量作了哪些说明等等；其次要看清横纵坐标轴所表示的具体意义；再有就是对整个函数图像进行多角度认真地分析，这是解好图像题的关键环节.解好函数图像题关键在于把握住它的四个点——起点、折点、交点、终点.下面以近几年各地高考题为例，对这四个点分别加以说明.

一、起点

起点是一个函数图像中必备的一个点，它的位置可在原点、x轴或y轴上.在判断一个图像是否正确的时候，起点往往是第一个要考虑的因素.

例1（2011年高考江西文10）如图1，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.

图1今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）

解析根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当顶点到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A.

二、折点

顾名思义，折点是指图像在变化过程中方向发生了大的转变的那个点.它的出现往往是两个变量中某一变量单方面停止造成的.图2

例2（2012年高考江西卷文10）如图2，|OA|=2（单位：m）,|OB|=1(单位：m),OA与OB的夹角为π6，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1（单位:m/s）沿线段OB行至点B，再以速率3（单位：m/s）沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是（）.

解析本题破解的切入点关键是抓住几个重要的时间点，确定不同时间段S（t）的形状，从而求出解析式，然后根据解析式来确定函数图象.

由|OA|=2,|OB|=1知，当t≤1时，所围成的图形是三角形，易得S（t）=12t2，对应的函数图象是开口向上的抛物线的一部分；存在t0(t0>1),当t=t0时，甲刚好运动到C，则1

例3(2011年高考安徽理10) 函数f(x)=axm(1-x)n在区间［0,1］上的图像如图3所示，则m，n的值可能是().

图3A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

解析代入验证，当m=1,n=2，f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)，则f ′(x)=a(3x2-4x+1)，由f ′(x)=a(3x2-4x+1)=0可知，x1=13,x2=1，结合图像可知函数应在(0,13)递增，在(13,1)递减，即在x=13处取得最大值，由f(13)=a×13(1-13)2=12，知a存在.故选B.

评注本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.

三、交点

图像题中有意义的交点一般有以下几种情况：（1）两条曲线的交点，表示该条件下这两种数量相同；（2）如果一个图像经过一系列的变化最后与x轴相交，则表示该点纵坐标取值为零.

图4例4（2012年高考天津文14）已知函数y=|x2-1|x-1的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是.

解析函数

y=|x2-1|x-1

=|(x-1)(x+1)|x-1，当x>1时，y=|x2-1|x-1=|x+1|=x+1，当x<1时，y=|x2-1|x-1=-|x+1|=-x-1,-1≤x<1

x+1,x<-1，综上函数y=|x2-1|x-1=x+1,x>1

-x-1,-1≤x<1,

x+1,x<-1做出函数的图象，要使函数y=|x2-1|x-1与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必须在阴影区域内，如图4，则此时当直线经过区域①时，k满足1

图5例5（2012年高考新课标文11）当0

A.(0，22) B.(22，1)

C.(1，2) D.(2，2)

解析当a>1时，显然不成立.若0

四、终点

终点也是一个函数图像中必备的一个点.不过利用终点直接解题的情况几乎没有，更多情况下是利用其与起点或折点所形成的图像的趋势来解题.

例6（2012年高考山东卷理9）函数y=cos6x2x-2-x的图像大致为().

解析因为函数f(x)=cos6x2x-2-x，所以f(-x)=cos6x2-x-2x=-f(x)，故函数为奇函数，当x→0，且x>0时f(x)→+∞；当x→0，且x<0时f(x)→-∞；当x→+∞时，2x-2-x→+∞，f(x)→0；当x→-∞时，2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案应选D.

评注本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.(收稿日期：2013-12-04)

函数图像题在历年各地高考试题中出现机率很高.那么怎样才能解好图像题呢？我认为首先要读懂题目中有限的文字信息，弄清考查的是哪方面的数学知识，对题目的数量作了哪些说明等等；其次要看清横纵坐标轴所表示的具体意义；再有就是对整个函数图像进行多角度认真地分析，这是解好图像题的关键环节.解好函数图像题关键在于把握住它的四个点——起点、折点、交点、终点.下面以近几年各地高考题为例，对这四个点分别加以说明.

一、起点

起点是一个函数图像中必备的一个点，它的位置可在原点、x轴或y轴上.在判断一个图像是否正确的时候，起点往往是第一个要考虑的因素.

例1（2011年高考江西文10）如图1，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.

图1今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）

解析根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当顶点到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A.

二、折点

顾名思义，折点是指图像在变化过程中方向发生了大的转变的那个点.它的出现往往是两个变量中某一变量单方面停止造成的.图2

例2（2012年高考江西卷文10）如图2，|OA|=2（单位：m）,|OB|=1(单位：m),OA与OB的夹角为π6，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1（单位:m/s）沿线段OB行至点B，再以速率3（单位：m/s）沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是（）.

解析本题破解的切入点关键是抓住几个重要的时间点，确定不同时间段S（t）的形状，从而求出解析式，然后根据解析式来确定函数图象.

由|OA|=2,|OB|=1知，当t≤1时，所围成的图形是三角形，易得S（t）=12t2，对应的函数图象是开口向上的抛物线的一部分；存在t0(t0>1),当t=t0时，甲刚好运动到C，则1

例3(2011年高考安徽理10) 函数f(x)=axm(1-x)n在区间［0,1］上的图像如图3所示，则m，n的值可能是().

图3A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

解析代入验证，当m=1,n=2，f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)，则f ′(x)=a(3x2-4x+1)，由f ′(x)=a(3x2-4x+1)=0可知，x1=13,x2=1，结合图像可知函数应在(0,13)递增，在(13,1)递减，即在x=13处取得最大值，由f(13)=a×13(1-13)2=12，知a存在.故选B.

评注本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.

三、交点

图像题中有意义的交点一般有以下几种情况：（1）两条曲线的交点，表示该条件下这两种数量相同；（2）如果一个图像经过一系列的变化最后与x轴相交，则表示该点纵坐标取值为零.

图4例4（2012年高考天津文14）已知函数y=|x2-1|x-1的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是.

解析函数

y=|x2-1|x-1

=|(x-1)(x+1)|x-1，当x>1时，y=|x2-1|x-1=|x+1|=x+1，当x<1时，y=|x2-1|x-1=-|x+1|=-x-1,-1≤x<1

x+1,x<-1，综上函数y=|x2-1|x-1=x+1,x>1

-x-1,-1≤x<1,

x+1,x<-1做出函数的图象，要使函数y=|x2-1|x-1与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必须在阴影区域内，如图4，则此时当直线经过区域①时，k满足1

图5例5（2012年高考新课标文11）当0

A.(0，22) B.(22，1)

C.(1，2) D.(2，2)

解析当a>1时，显然不成立.若0

四、终点

终点也是一个函数图像中必备的一个点.不过利用终点直接解题的情况几乎没有，更多情况下是利用其与起点或折点所形成的图像的趋势来解题.

例6（2012年高考山东卷理9）函数y=cos6x2x-2-x的图像大致为().

解析因为函数f(x)=cos6x2x-2-x，所以f(-x)=cos6x2-x-2x=-f(x)，故函数为奇函数，当x→0，且x>0时f(x)→+∞；当x→0，且x<0时f(x)→-∞；当x→+∞时，2x-2-x→+∞，f(x)→0；当x→-∞时，2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案应选D.

评注本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.(收稿日期：2013-12-04)