偏心激励下的非对称双层隔振系统的功率流特性研究

奚 鹰，王 鑫，张 攀，陈 哲

(同济大学机械与能源工程学院，上海 201804)

振动系统的功率流分析理论从能量传输的角度研究振动问题，在隔振效果评估方面更加科学合理，因而越来越受到振动工程界的重视［1-2］。文献［3］、［4］研究了单支承输入以无限均质梁、板构件为基础的简单隔振系统的功率流和导纳近似表达式。文献［5］对具有中间质量结构振动功率流的传递特性进行了研究。但这些研究大多都是基于隔振器对称布置或激励通过质心的对称系统，关于隔振器非对称布置的研究较少。文献［6］分析了单层非对称隔振系统在偏心力作用下的功率流特性，指出在高频振动下，偏心激励的作用将严重地影响隔振系统的效率，但未对偏心程度及不对称程度的影响作进一步的研究。因此对偏心激励下双层非对称隔振系统的功率流特性进行探讨，寻找振动系统偏心程度及不对称程度对振动传递的影响，具有重要意义。

1 双层柔性隔振系统的建模

1.1 隔振系统简图

如图1(a)所示，将基础简化为柔性梁的无阻尼双层隔振系统中，4 个自由度 x11，x12，x21，x22分别位于隔振弹簧与刚体的连接处，设各自由度只在x方向上发生位移，在y方向上无位移，且弹簧力只沿x方向。图中α，β分别是弹簧距刚体质量块m1，m2的质心距离的不对称系数;γ是简谐激励力的偏心系数;弹簧中心相距L。由于将基础看作两端固定的柔性梁，故基础在弹簧安装处各有一个位移：u1和 u2［7］。

图1 隔振系统及其子系统简图

如图1(b)所示，整个系统可以看作是3个子系统相互作用的集合，可以看出各子系统的受力情况。

1.2 根据达朗伯原理建模

式中：x1=(1-α)x11+αx12，x2=(1-β)x21+βx22分别是 m1，m2质心处的位移;分别是m1，m2分别旋转的角度。

联合上式可得：

则有：

将式(1)代入上面4个公式，推导可以得到振动微分方程：

式中：M是质量阵;K是刚度阵;F是载荷阵。

1.3 功率流

首先求加速度导纳阵˜a，在两端固定简支梁上，若x1处施加力F，则在x2处的加速度导纳可以表示为［6-7］：

系统输出功率流一般表示为［2］：

则在该简谐系统中：

式中H表示复数向量的共轭转置。

2 数值仿真实例

本文以地铁车辆悬挂空压机VV120的隔振为例，取 m1=50kg，m2=30kg，L=1m，γ =0．2，me=1kg，e0=0．2m，K=1．2 ×106N/m，J1=3kg·m2，J2=1．5kg·m2，且 F=meω2e0，ω =2πn/60，代入振动微分方程式(2)中求解振动微分方程。

2.1 频率谱曲线

为了研究隔振器关于质心的不对称布置及激励的偏心度对输出功率流的影响，首先考察隔振器是否对称、激励有无偏心的情况下，系统输出功率流随激振频率的变化曲线，如图2所示。

由图2可见，在非偏心力(质心力)作用下的对称双层隔振系统(简称为典型系统)可简化为2自由度，故其频率谱曲线只有2个共振波峰。而非对称或有偏心激励时(简称特殊系统)，质量块在平移的同时还带着旋转运动，故自由度为4，即对应的频率谱曲线上有4个共振波峰。在其低频段部分，典型系统的输出功率流比特殊系统略高一些，但在高频段特殊系统的输出功率流远远高于典型系统，并且都有一个较高的共振波峰。这说明系统的不对称性及其激励的偏心度在高频段对振动的影响尤为明显。

2.2 与单层隔振的比较

偏心激励在高频段严重损害单层隔振系统隔振效率［6］，如图3所示，采用隔振器对称布置，在相同位置施加相同的偏心激励的情况下，双层隔振系统在高频段比单层隔振系统更能有效地抑制振动功率流的传递，验证了双层系统在高频时的隔振优越性。

图2 不同系统的输出功率流频率谱曲线

图3 单、双层隔振系统比较

2.3 弹簧不对称布置及偏心激励的影响

图4 显示了由只第一层不对称 (α=0．65，β =0．50) 和只第二层不对称(β =0．65，α =0．50)分别作用所产生的系统功率流频率谱曲线。从中可以看出，在低频段α对功率流的影响较为明显，而β几乎不产生影响;但在高频段除了共振波峰外，α对功率流的影响较小，相反β的影响非常显著。这符合单层隔振系统对低频振动有效，而双层隔振对高频振动有效的特性［8］。这个特性结合图5所示的结果有助于对具有一定偏心激励的隔振系统进行合理的设计。

图4 第一、二层分别不对称时的功率流频率曲线

图5 α，β分别变化对功率流的影响

图5 (a)显示了在低频段β一定时，α的变化引起的功率流变化，并通过不同γ所对应的P-α曲线，表明弹簧的布置应使第一层的质心沿与激励偏心方向相反的方向偏移一定距离，才能使系统的输出功率流达到最低。图5(b)显示了高频段α一定时，β的变化引起的功率流变化，并通过不同γ所对应的P-β曲线，表明弹簧的布置应使第二层的质心沿与激励偏心方向相同的方向偏移一定距离，才能使系统的输出功率流达到最低。

3 结束语

在对有偏心激励的隔振系统设计中，要使隔振效率达到最高，应根据激励的偏心系数按照一定规律合理选择弹簧布置不对称系数。本文以实例的形式列举出不对称系数的变化规律，对有偏心激励的隔振设计具有一定的指导作用，但为了更准确和系统地进行偏心激励的隔振设计，还需通过进一步的研究和实验确定不对称系数的定性选取规律。

［1］ Goyder H G D，White R G．Vibrational power flow from machines into built-up structures，Part I：Introduction and approximate analyses of beam and plate-link foundations［J］．Journal of Sound and Vibration，1980，68(1)：59-75．

［2］ 朱石坚，楼京俊，何其伟，等．振动理论与隔振技术［M］．北京：国防工业出版社，2006．

［3］ Goyder H G D，White R G．Vibrational power flow from machines into built-up structures，partⅡ：wave-propagation and power flow in beam-stiffened plates［J］．Journal of Sound and Vibration，1980，68(1)：77-96．

［4］ Goyder H G D，White R G．Vibrational power flow from machines into built-up structures，Part III：power flow through isolation systems［J］．Journal of Sound and Vibration，1980，68(1)：97-117．

［5］ 张树生，张克国，宋孔杰，等．具有中间质量结构振动功率流的传递特性［J］．山东大学学报：工学版，2004，34(1)：35-43．

［6］ Song Kongjie，Ji lin，Huo Rui，et al．Power flow transmission of an asymmetrical flexible system excited by an off-centre force［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，1999，12(3)：183-187．

［7］ 方同，薛璞．振动理论及应用［M］．西安：西北工业大学出版社，2006．

［8］ 严济宽．机械振动隔离技术［M］．上海：上海科学技术文献出版社，1985．