de Sitter空间中的紧致极大类时子流形
2014-09-06胡有婧纪永强
胡有婧,纪永强
(1.宁夏大学 数学计算机学院,银川 750021； 2.湖州师范学院 理学院,浙江 湖州 313000)
deSitter空间中的紧致极大类时子流形
胡有婧1,纪永强2
(1.宁夏大学 数学计算机学院,银川 750021； 2.湖州师范学院 理学院,浙江 湖州 313000)
采用活动标架法,得到de Sitter空间中类时子流形的Ricci恒等式和第二基本形式长度平方的Laplacian,并得到de Sitter空间中紧致极大类时子流形成为全测地子流形的一些充分条件.
de Sitter空间； Ricci恒等式； 类时； 全测地
1 主要结果
对于de Sitter空间中的紧致类空子流形,目前已有许多研究结果[1-4].文献[5-6]将de Sitter空间中的子流形分类为类空、 类光和类时子流形.本文参考文献[7-12],通过计算de Sitter空间中类时子流形的Ricci恒等式和第二基本形式长度平方的Laplacian,获得了如下de Sitter空间中的紧致极大类时子流形成为全测地子流形的充分条件.
2 de Sitter空间中的类时子流形
约定各类指标范围如下:
1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p; 1≤A,B,C,…≤n+p.
将ω1,…,ωn+p限制到Mn上,由于ωα(e1)=…=ωα(en)=0,于是有
对式(6)外微分并利用Cartan引理[8]得
又由式(2),(3),(4),(6),(7),经过计算可得[8]
在伪Riemann标准正交标架下,有[5-8]
从而可得de Sitter空间中类时子流形的Ricci恒等式[9]:
设曲率张量场Kαijk的一阶共变导数为Kαijk;l,类似式(8),则有
由式(5),(9),(11),得
经过计算有
仿文献[10-11]的技巧,对一切实数A,有
3 定理的证明
3.1定理1的证明
将式(13)代入式(12)得
将式(15)两边关于α求和,再由式(13)得
经过计算易得
将式(17)两边关于α,β求和,有
此外,有如下Lincoln不等式[8]成立:
在式(14)中,令A≥1>0,又由式(16),(18),(19),得
从而
3.2定理2的证明
由文献[7],有
在式(14)中,令A≥1>0,由式(16),(18)和(21),得
从而
当σ=n(c-2Rmax)时,不等式(16),(18),(21)均为等式,从而有:
Rijij=Rmax,
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(责任编辑： 赵立芹)
TheCompactTimelikeSubmanifoldsinthedeSitterSpace
HU Youjing1,JI Yongqiang2
(1.CollegeofMathematicsandComputerScience,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,China;
2.CollegeofScience,HuzhouTeachersCollege,Huzhou313000,ZhejiangProvince,China)
Based on the moving frams,the Ricci identity and the Laplacian about the squared norm of the second fundamental form for the timelike submanifolds in de Sitter space were calculated,and some necessary conditions for the compact maximal timelike submanifold in de Sitter space were given.
de Sitter space; Ricci identity; timelike; totally geodesic
2013-12-05.
胡有婧(1978—),女,汉族,硕士,讲师,从事子流形几何的研究,E-mail: hyq@nxu.edu.cn.
国家自然科学基金青年基金(批准号： 11201253)和国家自然科学基金地区基金(批准号： 11261042).
O186.12
A
1671-5489(2014)05-0895-06
