阶梯形水平井段等曲率双圆弧形设计问题的解析解

鲁 港， 陈崇斌

(1.中国石油辽河油田分公司勘探开发研究院，辽宁盘锦 124010；2.中国石油辽河油田分公司生产运行处，辽宁盘锦 124010)

阶梯形水平井是使用一个以上水平井段的井眼轨道，开发具有一定高度差的2个或多个层叠状油气藏，可以用一口井实现多层开采，达到2口甚至2口以上水平井的开发效果，从而降低钻井成本，具有良好的开发效果和显著的经济效益[1-3]。

阶梯形水平井设计的关键是水平井段的井眼轨道设计及优化。刘修善[4]研究了二维和三维阶梯形水平井段的轨道设计方法:二维模型采用“稳斜+圆弧+圆弧+稳斜”的轨道(圆弧曲率相等)，求解参数包括圆弧连接点处的井斜角以及稳斜井段长度或圆弧曲率，给出了解析解的计算公式；三维模型用自然曲线替代圆弧，建立了四元非线性方程组，但并未介绍如何利用数值方法求解该方程组。刘巨保等人[5]使用圆柱螺线模型建立了2个水平井段之间的弯曲连接井段的三维模型，并使用数值迭代算法进行求解,值得指出的是，井段坐标增量和井斜角变化规律都符合圆柱螺线模型，但方位角是随井深线性变化的，这与圆柱螺线模型中方位角变化规律不相符，因此计算结果的合理性值得商榷。闫铁等人[6]建立了以钻井成本或轨道总长为目标的非线性约束优化模型，并使用罚函数法求其近似解。

阶梯形水平井段一般采用“水平段+弯曲段+弯曲段+水平段”的轨道，其中弯曲段可以是圆弧，也可以是圆柱螺线、自然曲线、恒装置角曲线等，但是如果弯曲段采用圆弧之外的曲线模型，必须使用数值迭代法求解所得到的约束方程组。当弯曲段采用圆弧模型，并且不考虑2个圆弧井眼曲率相等时，鲁港等人[7-10]提出了一种基于多项式全部实数根的系统方法，可以求出约束方程组在各种未知数组合情况下的拟解析解。如果2个水平井段的长度和方向是已知的，仅考虑2个圆弧连接段，并且不考虑2个圆弧井眼曲率相等的情况，求解双圆弧模型约束方程组解析解的问题已经解决[11-13]。笔者对2个圆弧井眼曲率相等并且作为未知数时的约束方程组的解析解进行了研究，所得结果可用于求阶梯形水平井段轨道设计问题的解析解。

1 数学模型

约定：除非特别指明，具有长度量纲参数的单位为m，角度的单位为rad，井眼曲率的单位为m-1。

阶梯形水平井段由4个控制点A，B，C和D所确定，要求井段AB和井段CD均为稳斜稳方位井段，井段BC为弯曲井段。在此假设井段BC由2个圆弧井段衔接而成，连接点为M点(见图1)，井眼曲率依次为K2和K3。

1.1 约束方程组

设计问题所满足的约束方程组为[8]：

ΔL1t1+λ2(t1+tM)+λ3(tM+t4)+

ΔL4t4=r4-r1

(1)

(2)

(3)

cosε2=t1·tM

(4)

cosε3=t4·tM

(5)

图1 阶梯形水平井段设计Fig.1 Design of step-horizontal sections

假定参数ε2,ε3,λ2和λ3是未知的，需要在求解约束方程组之后才能确定；参数ΔL1，ΔL4，K2，K3，t1，tM和t4中，选定部分参数作为已知设计参数，其余参数作为未知数进行求解。当不假定K2=K3时，可求出约束方程组的所有未知数组合情况下的拟解析解[8]。

在阶梯形水平井段的情况下，假定K2=K3是合理的，在此研究在这一假定条件下的约束方程组的求解方法，这时参数ΔL1，ΔL4，t1和t4是已知的，tM和K=K2=K3为未知数(K2=K3为已知数的情况已解决[8])。

1.2 无量纲化

将式(1)改写成下面的形式：

λ2t1+(λ2+λ3)tM+λ3t4=

δ=r4-r1-ΔL1t1-ΔL4t4

(6)

显然，根据已知条件，δ为已知矢量。

(7)

则式(6)和式(2)、式(3)可以写成下面的形式：

x2t1+(x2+x3)tM+x3t4=p

(8)

(9)

(10)

式(4)、式(5)和式(8)—(10)组成无量纲化的约束方程组，未知数为k，x2，x3和tM。

为了下文需要，再定义几个已知量:

p1=t1·p，p4=t4·p

(11)

a=t1·t4，b=1-a，c=1+a，q2=bc

(12)

2 求解析解

使用拟解析解方法[8]求无量纲化约束方程组的解析解。

2.1 特征多项式

未知数k2满足下面的多项式方程[8]：

G(k2)=0，H(k2)≠0

(13)

式中：G(x)和H(x)为多项式函数，由式(14)—(22)依序逐个计算。

A(x)=(b+2p1p4)x-4b

(14)

(15)

(16)

E(x)=p4x-2bp1

(17)

F(x)=p1x-2bp4

(18)

H(x)=A(x)2-B(x)C(x)

(19)

I(x)=A(x)E(x)-B(x)F(x)

(20)

J(x)=A(x)F(x)-E(x)C(x)

(21)

G(x)=2bI(x)J(x)+2p1I(x)+

2p4J(x)-H(x)2

(22)

可以证明，G(x)是参数x的4次多项式，为约束方程组的特征多项式。根据代数方程论，特征多项式至多有4个实数根[14]。由于k2>0，只需求特征多项式所有的正实数根即可，其余根略去。

另外，有：

(23)

2.2 约束方程组的解析解

求约束方程组解析解的步骤为：

1) 先根据已知设计条件计算出公式中所使用的各个常量。

2) 求特征多项式的全部正实数根，假设有N个。若N=0，则设计问题无解，算法终止；如果1≤N≤4,记这些正实数根为ηi(1≤i≤N)。

4) 由式(9)和式(10)，利用反正切函数计算圆弧井段狗腿角ε2和ε3。

7) 将所得到的解带入约束方程组进行验证，如果成立，则为真解；否则，为伪解，应舍弃。

从以上求解步骤来看，除了求特征多项式实数根[14]需要一定的计算量，其余计算步骤都是使用解析表达式计算，相对来说计算量可以忽略不计。而且设计问题有没有解，该算法一定能给出确切的答案；如果设计问题有多个解，该算法也能求出全部的解。

2.3 多项式的数值计算

从式(14)—(22)可以看出，需要计算并给出10个多项式函数系数的具体表达式，这些表达式可以人工推导出来，但是推导过程和最终结果非常繁琐。笔者采用计算机编程语言中的C++语言实现多项式函数的加法、减法、乘法等运算。

任给2个多项式f(x)和g(x)为：

f(x)=fmxm+fm-1xm-1+…+f1x+f0

(24)

g(x)=gnxn+gn-1xn-1+…+g1x+g0

(25)

它们分别对应于数组f*=[f0,f1,…,fm-1,fm]和g*=[g0,g1,…,gn-1,gn]。

多项式加法f(x)+g(x)则对应于数组

s*=f*⊕g*=[s0,s1,…,sp-1,sp]

(26)

其中

p=max{m,n}

(27)

(28)

多项式乘法f(x)g(x)则对应于数组

u*=f*⊗g*=[u0,u1,…,um+n-1,um+n]

(29)

其中

(30)

因此，多项式的加法、减法、乘法可以使用数组存储多项式系数来构造，使用C++语言实现。

2.4 退化情况的解析解

当水平井段AB与CD平行时，可知：a=1，b=0，c=2，q=0，t1=t4。这时，H(x)=0，上述算法失效，需要另外给出解法。经过简单的推导，得：

k=4q1

(31)

(32)

(33)

(34)

另一种退化情况是H(x)=0时,可以直接从二次代数方程H(k2)=0解得k，这样就可以归结为井眼曲率已知的情况去求解[9]。

3 算例

算例使用C++语言编程来完成，其中实数采用双精度实数。为了检查计算精度，保留数据小数点后足够的位数。

3.1 算例1

这个算例是为了检验上述算法而构造的理论算例。水平井段由4个控制点A，B，C和D确定，AB和CD为线段，BC由2个圆弧连接而成，在M点连接。AB段长度ΔL1=210 m、井斜角α1=88°、方位角φ1=25°，CD段长度ΔL4=150 m、井斜角α4=90°、方位角φ4=34°，M点的井斜角αM=86°、方位角φM=30°。

计算得到2个圆弧段的狗腿角分别为ε2=5.378 562°和ε3=5.654 555°。水平井段设计轨道参数见表1。

表1 算例1的轨道设计数据

利用上述已知数据，计算特征多项式g(x)=x4+g3x3+g2x2+g1x+g0，其中g3=-0.114，g2=0.004 87，g1=-9.128×10-5，g0=6.375×10-7。该特征多项式有2个实数根：η1=0.025 8，η2=0.037 0。经验证，η1为增根，η2为真解。使用η2计算出的其他参数如下：x2=0.244，x3=0.257，λ2=10.007 m，λ3=10.522 m，ε2=5.378 562°，ε3=5.654 555°，ΔL2=19.999 999 92 m，ΔL3=21.026 270 m，αm=86.000 000 000 3°，φm=30.000 000 000 9°，K=8.067 843°/30m。

将计算结果与已知数据进行对比，可见仅相差在小数点后第7位数字上。轨道设计参数与表1完全相同(坐标数据仅在小数点后第7位略有差异),说明文中算法是非常精确的。

3.2 算例2

数据来自于文献[4]的算例3，水平井段是二维阶梯形。已知数据为：水平井设计方位角φ1=φ4=30°；油层井段的井斜角为α1=88°和α4=90°，段长为ΔL1=210 m和ΔL4=150 m；首末靶垂深差ΔH=10 m，水平位移ΔS=420 m。采用一套具有相同增斜率、降斜率的钻具组合，连续完成阶梯形调整井段。文献[4]得到的计算结果为：αm=85.62°，K=3.37°/30m。

计算特征多项式g(x)=x4+g3x3+g2x2+g1x+g0，其中g3=-0.016 5，g2=3.714×10-5，g1=-2.446×10-8，g0=2.203×10-12，该特征多项式有2个实数根：η1=9.649×10-5，η2=0.013 9。经验证，η1为增根，η2为真解。使用η2计算出的其他参数如下：x2=0.176，x3=0.324，ε2=2.383°，ε3=4.383°，λ2=10.603 m，λ3=19.509 m，ΔL2=21.202 m，ΔL3=38.998 m，αm=85.617°，φm=30.000°，K=3.372°/30m。

计算结果与文献[4]几乎相同，轨道设计参数见表2，其中还包含了文献[4]表3中的部分数据，可见文中计算结果与文献[4]的计算结果相一致。这说明文中算法在设计问题退化为二维设计时也是有效的。

表2 算例2的轨道设计数据

4 结束语

水平井段的优化设计是阶梯形水平井顺利施工的关键，给出了三维阶梯形水平井段等曲率双圆弧轨道形式的解析解算法，并通过设计算例验证了算法的可靠性和实用性。解析解算法的核心是求一个4次多项式方程的全部正实数根，而其他未知数均可以使用包含这些正实数根的解析表达式来计算，避免了其他迭代型算法的缺陷，计算速度快，易于编程实现。

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