压力和温度共同作用下的水泥环应力分析

许红林， 张 智， 施太和， 熊继有

(油气藏地质及开发工程国家重点实验室(西南石油大学)，四川成都 610500)

高温高压井在井下作业和正常生产时,井筒压力和温度会发生大幅度变化，影响水泥环的机械性能和密封性能。水泥环密封失效可导致层间气窜、环空带压和套管损坏，酸性气田还可能对环境造成污染，给公众带来危害[1]。因此，研究水泥环的应力分布规律，对于提高高温高压井中水泥环的完整性、降低环空带压风险、保证气井长期安全生产具有重要意义[2-3]。目前，基于套管-水泥环-地层耦合作用的水泥环力学理论模型[4-10]较多，但很少同时考虑压力和温度。Li Yong等人[8]建立了非均匀地应力下耦合压力和温度的水泥环力学模型，该模型考虑的因素比较全面，但计算相对复杂。为此，笔者针对高温高压井的特点，基于弹性力学多层厚壁圆筒理论，假设井筒温度沿径向均匀变化，建立了耦合压力和温度且较为简洁的水泥环力学理论模型，分析了水泥环中径向应力和切向应力的分布规律，并提出了保护水泥环完整性的措施。

1 水泥环力学模型

1.1 基本假设

水泥环处于套管和地层岩石之间，水泥浆凝固后套管、水泥环和地层岩石可视为一个复合圆筒。为方便建立模型，特作如下假设：1) 套管、水泥环、地层岩石均为均质各向同性材料；2) 套管无缺陷、水泥环完整，套管与水泥环、水泥环与地层岩石完全胶结，三者均视为厚壁圆筒；3) 水泥环中无初始应力；4) 套管、水泥环、地层岩石的温度沿径向均匀变化；5) 复合圆筒受力视为平面应变。建立的套管-水泥环-地层岩石复合圆筒物理模型如图1所示。

图1 套管-水泥环-地层岩石复合圆筒物理模型Fig.1 Composite cylinder model of the casing-cement sheath-formation

1.2 力学模型的建立及求解

根据弹性力学基本理论，考虑温度效应时圆筒的切向应变可表示为：

(1)

圆筒的轴向应变为：

(2)

根据复合圆筒平面应变假设，εz≈0，从而由式

(2)可得：

σz=ν(σr+σθ)-αEΔt

(3)

将式(3)代入式(1)，可得：

(4)

从而得到圆筒的径向变形量为：

(5)

对于套管，其内壁受内压pi作用，外壁受接触压力pc1作用，由拉梅公式可得套管中径向应力和切向应力分别为：

(6)

(7)

根据假设，套管中∂(Δt)/∂r=0，则由式(5)、式(6)、式(7)可得套管外壁处的径向变形量为：

(8)

对于水泥环，其内外壁分别受接触压力pc1和pc2的作用，水泥环中径向应力和切向应力分别为：

(9)

(10)

根据假设，水泥环中∂(Δt)/∂r=0，则由式(5)、式(9)、式(10)可得水泥环内壁处的径向变形量为：

(11)

由套管外壁和水泥环内壁位移连续条件可知，式(8)和式(11)中的2个径向变形量相等，可得：

(12)

由式(5)、式(9)、式(10),也可得到水泥环外壁处的径向变形量为：

(13)

地层岩石的内外壁分别受接触压力pc2和地层压力pf的作用，其径向应力和切向应力分别为：

(14)

(15)

根据假设，地层中∂(Δt)/∂r=0，则由式(5)、(14)、(15)可得地层岩石内壁处的径向变形量为：

(16)

同样地，由水泥环外壁和地层岩石内壁位移连续条件,式(13)和式(16)中的2个变形量应该相等:

(17)

联立式(12)、式(17),可求出pc1和pc2，然后将pc1和pc2代入式(9)、式(10),可计算水泥环中的径向应力和切向应力。

2 水泥环应力分析

2.1 基本参数

高温高压气井在试压、压裂酸化(需环空加压)、完井管柱泄露等工况下，油层套管环空中会产生持续的套管压力psc，即环空带压，同时伴随着流体的注入或产出，井筒内的温度发生变化。为分析压力和温度共同作用下水泥环中的应力分布规律，以φ215.9 mm裸眼下入φ177.8 mm×12.65 mm套管进行固井为例进行计算。井眼几何参数为：ra=76.25 mm，rb=88.90 mm，rc=107.95 mm，rd=1 079.50 mm。P110钢级套管的材料参数为：Es=206 GPa，νs=0.30，αs=1.5×10-5/℃。水泥环的材料参数为：Ec=10 GPa，νc=0.25，αc=1.05×10-5/℃。地层岩石的材料参数为：Ef=25 GPa，νf=0.25，αf=1.05×10-5/℃。

2.2 结果分析

计算了不同持续套管压力和井筒温度变化值条件下水泥环内壁(与套管接触)和外壁(与地层接触)处的径向应力和切向应力，结果如图2—图5所示(其中，图2、图3分别为水泥环内、外壁径向应力，图4、图5分别为水泥环内、外壁切向应力；规定应力为正表示受拉，应力为负表示受压)。

由图2、图3可知：持续套管压力为10～50 MPa且井筒温度变化值在-50～50 ℃时，水泥环沿径向总体上受压，且水泥环内壁比外壁处的压应力更大；井筒温度变化值一定时，水泥环中的径向压应力随持续套管压力的增大而增大；持续套管压力一定时，水泥环中的径向压应力随井筒温度的升高而增大，随井筒温度的降低而减小。

图2 压力和温度共同作用下的水泥环内壁径向应力Fig.2 Radial stress at the cement sheath inner wall caused by both pressure and temperature

图3 压力和温度共同作用下的水泥环外壁径向应力Fig.3 Radial stress at the cement sheath outer wall caused by both pressure and temperature

图4 压力和温度共同作用下的水泥环内壁切向应力Fig.4 Tangential stress at the cement sheath inner wall caused by both pressure and temperature

由图4、图5可知：持续套管压力为10～50 MPa且井筒温度变化值在-50～50 ℃时，水泥环沿切向总体上受拉，且水泥环内壁比外壁处的拉应力更大；

图5 压力和温度共同作用下的水泥环外壁切向应力Fig.5 Tangential stress at the cement sheath outer wall caused by both pressure and temperature

井筒温度变化值一定时，水泥环中的切向拉应力随持续套管压力的增大而增大；持续套管压力一定时，水泥环中的切向拉应力随井筒温度的升高而增大，随井筒温度的降低而减小。

综合分析图2—图5可知，井筒温度升高会增大水泥环中的径向压应力和切向拉应力，从而增大水泥环的切向受拉失效风险；井筒温度降低虽然能降低水泥环切向受拉失效风险，但若井筒温度降低值过大,则其产生的径向拉应力(图2、图3中内外壁径向拉应力分别为0.77和0.60 MPa)会使水泥环与套管或地层界面发生径向分离。因此，高温高压井应考虑井筒温度变化对水泥环整体力学性能的影响。同时，无论是切向还是径向受拉失效，水泥环内壁总先于外壁发生失效，对此一方面可采用低弹性模量水泥，降低水泥环应力水平；另一方面可提高水泥环与套管和地层的胶结强度，从而降低高温高压井水泥环的失效风险。

3 结论及建议

1) 建立了考虑井筒温度变化的套管-水泥环-地层耦合作用力学理论模型，可方便地计算压力和温度共同作用下的水泥环应力。

2) 压力和温度共同作用下，水泥环总体上沿径向受压，沿切向受拉，且二者最大值均位于水泥环内壁。井筒温度升高，会加剧水泥环切向受拉失效风险，井筒温度降低，则可能使水泥环发生径向密封失效。

3) 为降低高温高压井的水泥环失效风险，建议采用低弹性模量水泥固井，以降低水泥环应力，同时提高水泥环与套管和地层的胶结强度。

符号说明

ra为套管内半径，mm；rb为套管外半径或水泥环内半径，mm；rc为水泥环外半径或地层内半径，mm；rd为地层外半径，mm；r为圆筒中任意一点距圆筒中心的径向距离，mm；pi为套管内压，MPa；pc1为套管与水泥环界面的接触压力，MPa；pc2为水泥环与地层界面的接触压力，MPa；pf为地层压力,MPa；σr，σθ，σz分别为圆筒径向应力、切向应力和轴向应力，MPa；εθ，εz分别为圆筒切向应变和轴向应变；E，Es，Ec，Ef分别为一般圆筒、套管、水泥环和地层弹性模量，MPa；ν，νs，νc，νf分别为一般圆筒、套管、水泥环和地层的泊松比；α，αs，αc，αf分别为一般圆筒、套管、水泥环和地层的线膨胀系数，1/℃；σrs，σθs分别为套管径向应力和切向应力，MPa；σrc，σθc分别为水泥环径向应力和切向应力，MPa；σrf，σθf分别为地层径向应力和切向应力，MPa；δr为圆筒r处的径向变形量，mm；δrso，δrci，δrco，δrfi分别为套管外表面、水泥环内表面、水泥环外表面、地层内表面径向变形量，mm；Δt为井筒温度平均变化值，℃；psc为油层套管中产生的持续套管压力，MPa。

参考文献
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