基于增量谐波平衡法的含索铰可折展桁架非线性动力学特性

张 静， 刘荣强， 郭宏伟， 邓宗全

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150080)

可折展机构以折叠比大、质量轻、刚度大等优点，在航天任务中得到广泛应用和发展，如大型展开天线[1-2]、太阳帆和太空望远镜的展开支撑结构等[3-4]。为了满足大折展比的需求，实现机构的顺利展开和收拢，可折展机构中含有大量铰链。为了在降低结构质量的同时保证结构刚度，结构中多使用张紧索代替杆件。铰链非线性恢复力和索的拉压非线性使可展开桁架具有很强的非线性动力学特性，因此国内外相关研究较多，主要分为三个方面：基于力状态映射和参数识别的方法对铰链非线性特性进行研究，得到铰链非线性接触碰撞特性和能量耗散特性[5-7]；将铰链简化为弹簧、弹簧阻尼、间隙弹簧等模型，基于传递函数法、有限元法等，进行空间可展结构动力学仿真[8-9]；考虑索的预紧作用，分析不同的张拉形式对结构固有频率的影响[10]。国内主要是基于结构中铰链的连续化假设，通过应力应变和波导理论，对含铰桁架结构进行动力学计算[11-13]。

谐波平衡法在空间折展桁架的动力学计算中应用较少，但是在考虑间隙分段等非线性特性结构的动力学研究中得到发展：Bowden等[14-16]提出了将多自由度系统的非线性函数展开成描述函数表达式，利用谐波平衡方法对非线性系统进行分析；Sarkar等[17-18]利用增量谐波平衡(IHB)法对无约束含铰结构进行分析，得到非线性动力学响应。在国内，刘延柱等[19]利用谐波线性化方法研究了单自由度间隙系统的动力学问题，但尚未发现使用IHB法对悬臂支撑的含索铰结构研究的文献。

由于可折展机构在航天任务中，多进行单点或多点支撑，因此，需要对有约束空间结构进行研究，又由于可折展桁架中多使用柔性索代替刚性结构来满足轻质量和高刚度的需要，因此，为了更好掌握可折展结构的非线性特性，需要对含索铰的可折展桁架进行深入的研究。本文建立了含索铰的可折展机构动力学模型，利用IHB法将非线性动力学方程简化为代数方程组，通过迭代求解得到结构的稳态响应，以激振频率为变化参数，研究了铰链间隙、铰链刚度、激振力和索对结构动力学响应稳定性的影响，为进一步研究含索铰可折展桁架的动态特性、提高结构性能提供了理论基础。

1 含索铰可折展桁架动力学建模

1.1 含索铰可折展桁架动力学模型

如图1所示为含索和铰的可折展桁架，结构中杆件参数：弹性模量为E；截面惯性矩为I；截面积为A；单元长度为le；密度为ρ。为了满足可折展的要求，铰链中存在的间隙导致其呈现非线性接触、碰撞、摩擦等非线性特性，同时，索具有刚度分段特性，因此，铰链和索均为可折展桁架引入了很强的非线性特性。为了准确的评价铰链和索引入的非线性特性，将铰链简化为含有间隙e、刚度k和阻尼cj的单元，索则以集中力的形式作用于结构，建立考虑索铰非线性特性的可折展桁架的动力学模型。

图1 含索铰可折展结构

将铰链和索产生的非线性力以集中力形式引入桁架结构中，得到含索铰结构的动力学方程为：

(1)

1.2 索铰非线性函数

在含索铰可展桁架结构分析中，铰链力和位移关系具有四种非线性特性[20-22]：① 铰链间隙使非线性力出现分段特性；② 拉压刚度不等特性；③ 铰链接触过程中接触力与位移之间的非线性使其呈现三次弹簧特性；④ 铰链部件间的摩擦和阻尼使其呈现回滞特性。四种特性对应的四种非线性力fj表达式见表1。同时，索在拉压过程中出现刚度消失的现象，根据图1所示结构的几何关系及索的张紧和松弛特性，得到索的非线性力见表1。

表1 铰链及索非线性力

表1中xj为铰链部件间的相对位移；k1为铰链特性2中的受拉刚度；k2为铰链特性2中的受压刚度；Ff为摩擦力；fi为索的预紧力；fc1，fc2为索1，索2的张紧力；fc为索的张紧力在竖直方向上的分量；kc为索刚度；H为索根部固定位置与桁架固定位置之间距离；Δlc1，Δlc2为索1，索2长度的变化量；le为杆单元长度；

1.3 动力学方程无量纲化

(2)

G=Fj+Fc

(3)

又可以将G表示为G=[g1g2…gn]T。

2 采用IHB法求解含索铰可折展桁架

2.1 增量谐波分析方法

设时间为τ=ωt，将位移向量X展开为有限傅里叶级数：

(4)

其中：An为位移向量的傅里叶展开系数，n=0,1…q。

将方程(3)代入动力学方程(2)中，利用公式(4)对方程(2)中的位移、速度和加速度项进行替换，则动力学方程可以表示为：

(5)

其中：

根据泰勒公式，对动力学方程(5)进行增量形式的展开：

(6)

应用Galerkin方法，对动力学方程(6)进行线性项和非线性项的分离，可以改写为：

JLY+H-F+(JL+JN)ΔY+VΔP+WΔω=0

(7)

式中:Y，ΔY为位移向量的傅里叶展开系数和位移增量的傅里叶展开系数；H，V，W为分别表示非线性函数G的傅里叶展开系数，R对P和ω的导数对应的傅里叶展开系数；JL，JN为动力学方程的线性项和非线性项的雅克比矩阵，将JL和JN用分块矩阵表示：

其中

其中 第一列

偶数列和奇数列分别为：

其中j，k=1,2…nf，nf为自由度数。

动力学方程组(7)满足正余弦项对应系数和为零，通过迭代进行代数方程组的求解。系统自由度为nf，对各参数进行q阶的三角函数展开，则需满足nf个动力学方程，即nf+q×2×nf个代数方程，各矩阵维数见表2。

表2 各矩阵维数

2.2 验证方法

为了验证IHB法的正确性，需要通过数值方法对动力学方程进行求解，由于非线性力是位移、速度和加速度的函数，很难直接进行求解，因此，将铰链和索引入的非线性力简化为集中力，将其与激振力叠加，利用Runge-Kutta方法进行微分方程的求解，则将动力学方程(2)改写为：

(8)

3 含索铰可展桁架动力学特性分析

3.1 数值方法与IHB法对比

以图1所示结构为例，只考虑铰链的分段非线性特性，参数设置见表3。

表3 结构参数及激励条件

IHB法中的傅里叶变换设置采样点数m为32，采样频率fs为m/(2π)，通过迭代实现单个周期仿真。Runge-Kutta方法中设置迭代步长为2×10-5，得到各自由度的响应曲线。分别利用这两种方法进行无索和有索结构的动力学仿真，结果如图2所示。

由图2(a)可以看到，Runge-Kutta方法计算得到稳定的位移响应曲线。如图2(b-c)所示，两种方法得到的无索和有索的位移响应曲线吻合较好。

图2 非线性结构位移响应对比(ω=5ωn)

3.2 索对结构动力学特性的影响

通过计算强迫振动下结构的响应来分析索对结构的影响，外部激励参数见表3，提取位移幅值得到对应的幅频曲线，进行不同方法下有索和无索结构的固有频率对比，如图3所示。

图3 非线性结构的幅频曲线

可以看到，当结构中含有索的预紧作用时，两种算法得到的一阶固有频率分别由0.75提高到1和1.5，可知索可以提高结构的固有频率，两种方法计算结果的差别主要由强非线性因素导致。

图4 非线性结构的幅频曲线

由图4可知，相同激振条件下，有索结构的振动幅度较无索结构减小很多，固有频率提高很大，因此，张力索可提高结构固有频率和刚度。IHB法和Rung-Kutta方法均可以作为分析非线性系统动力学行为的研究方法，由于IHB法不需要进行微分方程的求解，因此，其在满足一定精度的条件下，计算速度较数值分析方法更加快速。

4 含索铰可展桁架动力学响应稳定性分析

4.1 稳定性分析方法

为了深入了解铰链和索的非线性特性对结构动力学特性的影响，需要通过雅克比矩阵或者系统相图对其解的稳定性进行研究。由于动力学方程(7)得到响应傅里叶展开系数与其增量之间关系为：

ΔY=(JL+JN)-1[-JLY-(+H-F+VΔP+WΔω)]

(9)

方程(9)又可以简写为：

ΔY=-(JL+JN)-1JLY+Δ

(10)

其中Δ=-(JL+JN)-1(+H-F+VΔP+WΔω)

因此，解的稳定性可以通过非线性雅克比矩阵(JL+JN)-1JL来判断。同时，输出结构中各自由度相图也可以判断响应的稳定性，以如图1所示结构为例，设铰链具有间隙非线性特性，结构的基本参数见表3，研究不同参数对结构动力力学响应稳定性的影响。

4.2 参数对结构响应稳定性影响

4.2.1 铰链间隙对响应稳定性影响

铰链侧向间隙设置为0.1、0.01 m，分别进行无量纲频率ω=0.5，1，1.5激励，谐波展开项为32，不同结构参数对结构响应稳定性的影响如图5所示。

由图5可知，在铰链间隙变化时，相同激振频率下响应的稳定性有所变化，随着铰链间隙增大，不稳定响应对应的激振频率降低，其不稳定响应不会向相邻激振频率扩展。

4.2.2 铰链刚度对响应稳定性影响

取铰链刚度k为0.15，0.6，无量纲频率ω为0.75、1和1.25，相图如图6所示。

图5 不同铰链间隙和频率下结构响应的相轨迹

图6 不同铰链刚度和频率下的相轨迹

由图6及图5(a-c)可知，在一定激励条件下，当铰链刚度取较小值0.15时，结构在ω=0.75～1.25范围内均有稳定解；当铰链刚度由0.3增大到0.6时，不稳定解均出现在ω=1，铰链刚度较大情况下，结构响应出现混沌现象。

4.2.3 激振力幅值对响应稳定性影响

取无量纲激振力为0.2，得到不同激振力幅值下响应相图。

由图7及图5(a-c)可以看到，随着激振力的增大，响应不稳定范围增大，但对应的频率不变，在ω=0.5～1.5范围内，不稳定响应对应的频率达到1。

4.2.4 索对响应稳定性影响

在考虑索的张拉作用时结构的动力学响应如图8所示，由图8及图5(a-c)可知，含索结构在较低频率时响应出现不稳定现象，其对应的频率范围扩大。

5 结 论

(1) 考虑铰和索的非线性特性，建立了含索铰的可折展桁架结构动力学模型，利用增量谐波展开方法实现了含索铰悬臂结构的动力学响应求解，与数值方法对比，验证了动力学模型的正确性；

图7 不同激振力和频率下的相轨迹

图8 有索结构的稳定性

(2) 通过对无索和含索结构的分析及对比，可知含索结构的固有频率较无索结构有明显提高，振动幅值明显减小。因此索的添加提高了结构刚度和改善了结构动态特性；

(3) 利用非线性系统相图进行了结构响应的稳定性研究，以频率为变量，得到各参数对响应稳定性的影响，发现激振力的提高、索的添加和铰链刚度的提高均使结构的不稳定响应对应的频率范围扩大，铰链间隙的增大使不稳定响应对应的频率降低。

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