矩阵方程X+A*X-1A+B*X-tB=I的正定解

崔晓梅, 刘丽波

(吉林化工学院 理学院, 吉林 吉林 132022)

矩阵方程X+A*X-1A+B*X-tB=I的正定解

崔晓梅, 刘丽波

(吉林化工学院 理学院, 吉林 吉林 132022)

首先给出方程有正定解的一个必要条件和充要条件,然后根据不动点理论,通过构造迭代序列,给出有解的一个充分条件。数值算例说明文中方法的有效性。

矩阵方程； 迭代序列； 正定解

0 引 言

文中研究了矩阵方程

(1)

的Hermite正定解,其中A,B是n阶非奇异复方阵,A*是A的共轭转置,I是n阶单位阵,t∈(0,1]。求解非线性矩阵方程是数值代数领域研究的重要课题之一,它在控制理论、运输理论、动态规划、统计学和椭圆微分方程的差分方法求解等多个领域有着广泛的应用[1-2]。近年越来越多的人对各种形式的方程取得了丰硕的成果,参见文献[3-5]。

记‖A‖2=λmax(A*A),‖B‖2=λmax(B*B)分别为A*A和B*B的最大特征值;A>0(A≥0)表示矩阵A是(半)正定矩阵,A>B(A≥B)表示矩阵A-B是(半)正定矩阵。

1 主要结果

引理1[6]若A>B>0(A≥B>0),Aα>Bα(Aα≥Bα>0),对α∈(0,1];Aα

引理2[7]若P,Q≥bI>0,θ∈(0,1],则

定理1 如果方程有正定解X,则

证明 显然X≤I,由引理1知I≤X-1,I≤X-t,则

由

有

即

进而

定理2 方程(1)有正定解X的充要条件是A,B有如下分解

证明 若方程(1)有正定解X,则X=W*W,W为非奇异方阵,重写方程(1)有如下:

即

令

则

反之,将A,B,X代入方程(1)可以验证X=W*W为方程(1)的解。

考虑以下矩阵序列:

(2)

定理3 假设矩阵A,B和0<γ<η<1满足如下条件:

1)ηt(1-η)I≤A*A+B*B≤γ(1-γ)I；

2)tγ-(t+1)‖B‖2+γ-2‖A‖2<1。

则由2)定义的序列{Xs}对α∈[γ,η]收敛于1)正定解X且γI≤X≤ηI。

证明 因X0=αI,故γI≤X0≤ηI。假设γI≤Xs≤ηI,则

且

因此

利用定理条件1)分别缩放不等式左右两边有如下：

即

利用引理2,有

令

由定理条件2)知q<1,得到

进而有

故{Xs}构成巴拿赫空间Ψn×n(由n×n阶正定阵Xs构成),由Schauder不动点定理,因此{Xs}有极限X。

2 数值算例

如下给出数值例子对文中给出的迭代方法进行说明。设残差

实验停机的条件设为

算例1:考虑方程(1),其中

任取t=0.5,经计算存在非奇异矩阵W,Y1,Y2如下:

满足定理2条件,故方程(1)有正定解。根据迭代序列(2)任取α=0.8,迭代13次,得到

R(X)=2.428 6e-017

算例2:

任取t=0.7,经计算存在非奇异矩阵W,Y1,Y2满足定理2条件,故方程(1)有正定解。根据迭代序列(2),任取α=0.6,计算得

R(X)=5.935 0e-016

通过算例说明文中的方法有效可行。

[1] W N Anderson, Jr T D Monley, G E Trapp. Positive solutions toX=A-BX-1B*[J]. Linear Algebra and Its Applications,1990,134:53-62.

[2] I G Ivanov, V I Hasanov, B V Minchev. On matrix equationsX±A*X-2A=I[J]. Linear Algebra Appl.,2001,326：27-44.

[3] M Salah, El-Sayed, M Asmaa Al-Dbiban. A new inversion free iteration for solving the equationX+A*X-1A=Q[J]. Journal of Computational and Applied Mathematices,2005,181:148-156.

[4] 杜仲复.矩阵方程X-A*X-αA-B*X-βB=I[J].吉林大学学报:理学版,2010,48(1):26-32.

[6] M Parodi. La localisation des valeurs caracterisiques des matrices etses application[M]. Gauthiervillars:Paris,1959.

[7] R Bhatca. Matrix analysis[M]. Berlin:Springer,1977.

Positive definite solutions of matrix equationX+A*X-1A+B*X-tB=I

CUI Xiao-mei, LIU Li-bo

(College of Sciences, Jilin Institute of Chemical Technology, Jilin 132022, China)

A necessary and sufficient condition is offered for the existence of the positive definite solution, and then a iterative sequence is estalbished based on the fixed point theory to give the sufficient condition. Numerical examples illustrates the feasibility of the algorithm.

matrix equation； iterative consequences; positive definite solutions.

2014-07-03

吉林化工学院课题(吉化院合字第2008-0812号)

崔晓梅(1981-)，女，汉族，吉林吉林人，吉林化工学院讲师，吉林大学博士研究生，主要从事基础数学研究,E-mail:cuixiaomei1981@126.com.

O 151.21

A

1674-1374(2014)06-0622-03