一类双障碍问题的很弱解的全局正则性

周树清

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081；高性能计算与随机信息处理省部共建教育部重点实验室，中国 长沙 410081)

一类双障碍问题的很弱解的全局正则性

周树清*

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081；高性能计算与随机信息处理省部共建教育部重点实验室，中国 长沙 410081)

应用Hodge分解定理，得到了非齐次A-调和方程-divA(x,Du(x))=f(x,u(x))对应控制的双障碍问题的很弱解W1，q(Ω)-正则性，其中，A(x,Du(x)),f(x,u(x))满足文中所给的条件，从而推广了相关文献中的有关结果.该结果在优化控制问题中有着广泛的应用.

非齐次A-调和方程；双障碍问题；优化控制；Hodge分解；W1，q(Ω)-正则性

1 主要结果及预备引理

设1

-divA(x,Du(x))=f(x,u(x))

(1)

对应的双障碍问题，其中，A(x,h)和f(x,u)为Caratheodory函数，满足：存在正常数γ,α,β,a,使得对a.e.x∈Ω和所有的h∈Rn,有

(i)椭圆性条件 〈A(x,h),h〉≥α|h|p,h∈Rn{0}；

(2)

(ii)控制增长条件 |A(x,h)|≤β|h|p-1+ξ(x)，|f(x,u)|≤a|u|(p-1)γ+m(x)，

(3)

这里，ξ(x),m(x)为Ω上给定的函数.

称区域Ω是正则的，是指使Hodge分解定理[1]都成立的区域.如Lipschitz区域是正则的.

|D(v-u)|r-pD(v-u)=Dφu,v+H.

(4)

受文献[2]的启发，引入如下的定义.

(5)

注1“很弱”的意思是指解空间的Sobolev指数r比算子的椭圆指数p小.由Hodge分解的唯一性知，当r=p时，此定义与通常的双障碍问题的弱解的定义相同[3].

对方程(1)的双障碍问题，有如下的正则性结果：

为了讨论双障碍问题的很弱解的全局正则性，需要对区域的边界∂Ω做一些正则性假设.

(6)

在上述定义中把方体改为球体，则称边界∂Ω是pB-Poincaré厚的.

注2易证上述两种边界正则性条件是等价的.

称区域Ω是A-型区域是指：对∀x0∈Ω,0<ρ

注3由文献[5]知，Lipschitz型区域是A型区域.

先给出一些记号和引理.设0

这里,uR其中C只依赖于p,q和n.

下面的引理是Sobleve-Poincaré不等式、Hölder不等式及引理1的简单推论.

引理3[1](Hodge分解定理) 设Ω是正则的，N为正整数,0<

|Du|Du=Dφ+H,

(7)

并且

(8)

其中C是一个只依赖于N,n与Ω的常数.

注4由(7)及(8)易知，Dφ也有类似于(11)的估计式.

引理4[16]假定X和Y是内积空间中的向量,0≤<1,则有

||X|X-|Y|Y|≤|X-Y|.

引理5[1，5](逆Hölder不等式) 假设f(x)和g(x)为Q⊂Rn上非负可测函数，并且满足：

其中Md(x)(g)(x)是g(x)的局部极大函数,b>1且0≤θ<1,而Q是Rn中的一个紧的方形，则存在一个常数0=0(b,n,p,θ),使得∀q∈[p,p+0),有(Q).

2 定理1及定理2的证明

约定仅依赖于n,p,α,β,γ,s,a,A及R0的常数都将用同一个字母C表示.

Dφu,v+H=|D(v-u)|D(v-u)=-|D{ηp[w-(u-u2R)]}|D{ηp[w-(u-u2R)]}，

(9)

并且

(10)

其中C是一个只依赖于n与Ω的常数.由w的定义易得

(11)

由Minkowski不等式、引理1、式(11)及不等式(a+b)p≤ap+bp(a≥0,b≥0,0≤p≤1)

(12)

于是由(10)、(12)得到

(13)

(14)

把φu,v代入(5)中，并利用条件(2)，(3)、引理4、Hodge分解(9)、(11)～(14)、Hölder不等式、Young不等式、Sobolev-Poincaré不等式以及Minkowski不等式，对任意V>0,有

|D{ηp[w-(u-u2R)]}D{ηp[w-(u-u2R)]}〉dx

(15)

(16)

(17)

由(13)～(17)得

(18)

|Dψ|r]dx+(C+υ+φ(R))—(|Du|t+|udx.

(19)

取υ,R1,1>0足够小，即存在r1=p-1

(20)

|D(v-u)|D(v-u)=Dφu,v+H=-|D[ηp(u-θ)]||D[ηp(u-θ)]|.

(21)

(22)

其中C是一个只依赖于n与Ω的常数.

连续零延拓函数u-θ到RnΩ,并考虑到区域是A型的，从而由引理2以及的选择可得，∂Ω是pB-Poincaré厚的.由Minkowski不等式、η的选取以及∂Ω是pB-Poincaré厚的，可得

于是

(23)

(24)

把φu,v代入(5)中，并利用条件(2)、(3)、引理4、Hodge分解(22)得

(25)

由(23)、(24)、(16)、Hölder不等式及Minkowski不等式得，

(26)

(27)

由(25)～(27)以及(16)得

(28)

这里，τ=C(+τ1+Rφ(R)),max{1,}≤t

(29)

取τ1,R0,0>0足够小，即存在r1=p-0

(30)

这里tr1,使得u∈W1,r2(Ω).类似，可取r2>p.证毕.

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(编辑 沈小玲)

Global Regularity for very Weak Solutions to a Class of Double Obstacle Problems

ZHOUShu-qing*

(School of Mathematics and Computer, Hunan Normal University, Changsha 410081, China;Key Laboratory of High Performance Computing and Stochastic Information Processing, Changsha 410081, China)

Using Hodge decomposition theorem,W1,q(Ω) -regularity for very weak solutions to double obstacle problems associated with non-homogeneousA-harmonic equations div(A(x,Du(x)))=f(x,u(x)) is obtained under certain conditions onA(x,Du(x)),f(x,u(x)) listed in the context, and therefore the corresponding results in related literatures are generalized. The results could be widely used in optimal control problems.

non-homogeneousA-harmonic equation; double obstacle problems; optimal control; Hodge decomposition;W1,q-regularity

2013-04-27

国家自然科学基金资助项目(10971061、11271120)；湖南省自然科学基金资助项目(11JJ6005);湖南省重点学科建设资助项目

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,E-mail：zhoushuqing@163.com

O175.25

A

1000-2537(2014)04-0072-05